Általános relativitáselmélet

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

11. Előadás: Relativisztikus kozmológia II.

11.1. Ismétlés

• Homogén és izotrop tér, Friedmann-Robertson-Walker-metrika: $$ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-K\;r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)$$ Itt $K=0, \pm 1$.
• Távolságok:

  Sugárirányra merőlegesen: $$d{\ell} =R(t)\;r\;d\vartheta$$ Sugárirányban: $$d{\ell} =R(t)\frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}$$

• Fény terjedése:
  $$\int_0^{r(t_i)}\frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}=\int_{t_0}^{t_i}\frac{cdt}{R(t)}$$
• Vöröseltolódás: $$\frac{\omega(t_2)}{\omega(t_1)}=\frac{R(t_1)}{R(t_2)}$$
• Intenzitás: $$I\propto \frac{\omega^2}{A}\propto \frac{1}{R^4(t) r^2(t)}$$ $$\frac{I(t_2)}{I(t_1)}= \frac{R^4(t_1)r^2(t_1) }{R^4(t_2)r^2(t_2) }$$
• Friedmann-egyenletek: $$\frac{\dot R^2}{R^2}+\frac{Kc^2}{R^2}=\frac{8\pi k}{3c^2}\epsilon$$ $$\frac{2\ddot R}{R}+\frac{\dot R^2}{R^2}+\frac{Kc^2}{R^2}=-\frac{8\pi k}{c^2}p$$

11.2. Sík tér, anyagdominált univerzum
$$K=0\;,\quad p=0$$

11.3. A divergenciaegyenlet
$$T^{\phantom x k}_{i\phantom x ;k}=0$$ $i=0$ esetén: $$T^{\phantom x k}_{0\phantom x ,k}+\Gamma^k_{\phantom x jk}T^{\phantom x j}_{0}-\Gamma^j_{\phantom x 0k}T^{\phantom x k}_{j}=0$$ $$T^{\phantom x 0}_{0}=\epsilon\;,\quad T^{\phantom x \beta}_{\alpha}=-p\delta^{\beta}_{\alpha}\;,\quad \Gamma^\alpha_{\phantom x0\beta} =\frac{\dot R}{R}\delta^\alpha_{\beta} $$ Divergenciaegyenlet: $$\dot \epsilon+3\frac{\dot R}{R}(\epsilon+p)=0$$ Másképp: $$\int \frac{d\epsilon}{\epsilon+p}=-3\int \frac{dR}{R}$$ A görbületi tagnak megfelelő állapotegyenlet: $$p=-\frac{1}{3}\epsilon$$

11.4. Kozmológiai állandó
$$S_g=-\frac{c^3}{16\pi k}\int(R+2\Lambda)\sqrt{-g}d\Omega$$ $$R_{ik}-\frac{1}{2}Rg_{ik}=\frac{8\pi k}{c^4}T_{ik}+\Lambda g_{ik}$$ A kozmológiai állandónak megfelelő állapotegyenlet: $$p=-\epsilon$$

11.5. A Friedmann-egyenletek megoldása

Megoldások egy-egy domináns anyagtípus esetén

anyagfajta	állapotegyenlet	energiasűrűség skálafüggése	skálafaktor időfüggése
nemrelativisztikus anyag	$p=0$	$\epsilon\propto 1/R^3$	$R\propto t^{2/3}$
ultrarelativisztikus anyag	$p=\frac{1}{3}\epsilon$	$\epsilon\propto 1/R^4$	$R\propto t^{1/2}$
görbület	$p=-\frac{1}{3}\epsilon$	$\epsilon\propto 1/R^2$	$R\propto t \quad (K=-1)$
kozmológiai állandó	$p=-\epsilon$	$\epsilon\propto 1$	$R\propto exp\left(\sqrt{\Lambda/3}ct\right)$
-	$p=w\epsilon$	$\epsilon\propto 1/R^{3(1+w)}$	$R\propto t^{2/3/(1+w)}$

11.6. A kozmológiai standard modell nehézségei

11.6.1. A finomhangolási probléma

11.6.2. A horizont-probléma

11.6.3. Gyorsuló tágulás: sötét energia?

• About this document ...