Bevezetés az általános relativitáselméletbe

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

1. Előadás

Tematika: ld. http://glu.elte.hu/~ bene/ Ajánlott irodalom:

• Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. Klasszikus erőterek (Tankönyvkiadó, 1976).
• Hraskó Péter: Bevezetés az általános relativitáselméletbe (Műegyetemi kiadó, 1997).
• Hraskó Péter: Relativitáselmélet (Typotex, 2002).
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet (ELTE Eötvös Kiadó, 1999).
• http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5

Eredeti cikkek:

Általános relativitáselmélet:

A.Einstein, Die Feldgleichungen der Gravitation, Berl. Ber. 44 (1915) 844. ).

Eötvös Loránd szerepe. Az Eötvös-kísérlet, 1908-1909.

[1] R. v. Eötvös, Mathematishe und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn, 8,65,1890.

[2] R. v. Eötvös, Verhandlungen der 16. Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung (London-Cambridge, 21-29 September 1909)

[3] R. v. Eötvös, D. Pekár, E. Fekete: Beiträge zum Gesetz der Proportionalität von Trägheit und Gravität; a Beneke Alapítványhoz benyújtott pályamű, 1909.

1.1. Előzmény: a speciális relativitáselmélet (A.Einstein, 1905)

• Események, vonatkoztatási rendszer, inerciarendszer
• Lorentz-transzformáció
  

  $$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

  $$y'=y$$ (1)

  $$z'=z$$

  $$t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

  
  

  A klasszikus elektrodinamika egyenletei kovariánsak a Lorentz-transzformációra nézve (a transzformált mennyiségek közötti kapcsolat ugyanolyan alakú, mint amilyen a nem transzformált mennyiségek között volt).

  $\bm{\rightarrow}$ A fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora. Michelson-kísérlet, 1881 és Michelson-Morley-kísérlet, 1887.

• Nincs kitüntetett inerciarendszer: a természet minden törvénye azonos alakú a különböző inerciarendszerekben (relativitás elve) $\bm{\rightarrow}$ A Lorentz-transzformáció a téridő tulajdonságait jellemzi.

  Ívhossz:
  

  $$s^2=c^2t'^2-\bm{r'}^2=c^2t^2-\bm{r}^2$$
  
  
  (Levezetések: az ívhossz invarianciája, Lorentz-transzformáció) Másképpen
  
  $$s^2=g_{ik}x^ix^k$$
  
  
  ahol
  
  $$x^0=ct,\;x^1=x,\;x^2=y,\;x^3=z$$
  
  
  és
  
  $$g_{ik}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)$$
  
  
  Sajátidő:
  
  $$\tau^2=t^2-\bm{r}^2/c^2$$
  
  

  Minkowski-tér. Időszerű, térszerű, fényszerű ívhosszak.

  Ábra: A téridő egyes tartományainak kauzális kapcsolata az origóban történt eseménnyel.

  

• Az egyidejűség relativitása

  Ábra: Az A pontból kibocsájtott fényjelek a K' rendszerből mérve egyidejűleg érnek a B és C pontokba, míg a K rendszerből mérve különböző időpontokban.

  
  
  

  $$x_1\ne x_2,\; t_1=t_2 \bm{\rightarrow} t_1'\ne t_2'$$ (2)

  
  
  A Lorentz-transzformáció szerint ui.
  

  $$t_2'-t_1'=\frac{-\frac{v}{c^2}(x_2-x_1)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (3)

  
  

• Lorentz-kontrakció

  Mozgó méterrúd végei (t,x) a K rendszerből mérve: $(0,0)$ és $(0,L)$

  A K' (együttmozgó) rendszerben ugyanezek az események: $(0,0)$ és $(t',L_0)$

  A Lorentz-transzformáció alapján
  

  $$L_0=\frac{L}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (4)

  
  
  azaz
  

  $$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ (5)

  
  

• Idődilatáció

  Mozgó óra adott (0 ill. $\tau$) mutatóállásai a K rendszerből mérve: $(0,0)$ és $(t,x)$

  A K' (együttmozgó) rendszerben ugyanezek az események: $(0,0)$ és $(\tau,0)$

  A Lorentz-transzformáció alapján
  

  $$t=\frac{\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (6)

  
  

• Ikerparadoxon

• Sebességek transzformációja

  
  

  $$v_x=\frac{v'_x+V}{1+\frac{v'_xV}{c^2}}$$
  
  

  
  

  $$v_y=\frac{v'_y\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{v'_xV}{c^2}}$$
  
  

  
  

  $$v_z=\frac{v'_z\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{v'_xV}{c^2}}$$
  
  

  (a sebeség irányának megváltozása, fényaberráció)

• Négyesvektorok

  Az idő és a koordináták transzformációs szabálya szerint transzformálódó mennyiségek.

  $t, x, y, z$

  $E, p_x, p_y, p_z$

  $\phi, A_x, A_y, A_z$

• Relativisztikus mechanika

  Négyessebesség:
  

  $$u^i=\frac{dx^i}{d\tau}$$
  
  
  
  
  $$u_x=\frac{v}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
  
  
  
  
  $$u_t=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
  
  
  Négyesimpulzus:
  
  $$p^i=m u^i$$
  
  
  Az időszerű komponens az energia.

  Legkisebb hatás elve.
  

  $$S=-mc\int_a^b ds$$
  
  

  
  

  $$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
  
  

  $c\rightarrow \infty$ határátmenet.

1.2. Gyorsuló koordinátarendszerek

• Az eredeti kérdésfeltevés: megfogalmazhatók-e a természeti törvények olyan alakban, amely tetszőleges koordinátatranszformációra nézve kovariáns?
• Forgó koordinátarendszer

  Ábra: A forgó korong kerülete mentén elhelyezett mérőrudak Lorentz-kontrakciót szenvednek, míg a sugár mentén elhelyezett mérőrudak hossza változatlan.

  
  
  
  $$x=x'\cos \omega t-y'\sin \omega t, y=x'\sin \omega t+y'\cos \omega t, z=z'$$
  
  
  Ívelemnégyzet:
  
  $$ds^2=\left[c^2-\omega^2(x'^2+y'^2)\right]dt^2-dx^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2+2\omega y'dx' dt-2\omega x'dy' dt$$
  
  
  Az ívelemnégyzet invariáns (skalár), de a koordinátadifferenciálokkal kifejezett alakja más és más.
• Metrikus tenzor Általános esetben
  
  $$ds^2=g_{ik}dx^idx^k$$
  
  

• Az ekvivalencia elve

  (Hasonlóságok és különbségek)

• Görbevonalú koordináták

  
  

  $$x^i=f^i(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)$$
  
  

  
  

  $$dx^i=\frac{\partial x^i}{\partial x'^k}dx'^k$$
  
  

  Kontravariáns négyesvektor:

  
  

  $$A^i=\frac{\partial x^i}{\partial x'^k}A'^k$$
  
  

  Négyestenzorok. Kontravariáns metrikus tenzor:

  
  

  $$g^{ik}$$
  
  

  Jacobi-determináns:

  (levezetés)
  

  $$J=\frac{\partial(x^0,x^1,x^2,x^3)}{\partial(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)}=\frac{1}{\sqrt{-g}}$$
  
  

  Invariáns térfogatelem:

  
  

  $$\sqrt{-g}d\Omega$$
  
  

• Távolságok és időtartamok

  Adott pontban eltelt idő:

  (levezetés)
  

  $$\tau=\frac{1}{c}\int \sqrt{g_{00}}dx^0$$
  
  

  Két pont távolsága:

  (levezetés)
  

  $$dl^2=\gamma_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta$$
  
  

  
  

  $$\gamma_{\alpha \beta}=-g_{\alpha \beta}+\frac{g_{0 \alpha}g_{0 \beta}}{g_{0 0}}$$
  
  

  
  

  $$\gamma^{\alpha \beta}=-g^{\alpha \beta}$$
  
  

• Egyidejűség, órák szinkronizálása

  (levezetés)
  

  $$\Delta x^0=-\frac{g_{0 \alpha}dx^\alpha}{g_{0 0}}$$