Bevezetés az általános relativitáselméletbe

Bene Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A 2002. október 4.

1. Előadás

Tematika: ld. http://glu.elte.hu/˜ bene/

Ajánlott irodalom:

• Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. Klasszikus erőterek (Tankönyvkiadó, 1976).

• Hraskó Péter: Bevezetés az általános relativitáselméletbe (Műegyetemi kiadó, 1997).

• Hraskó Péter: Relativitáselmélet (Typotex, 2002).

• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet (ELTE Eötvös Kiadó, 1999).

• http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5 Eredeti cikkek: Általános relativitáselmélet: A.Einstein, Die Feldgleichungen der Gravitation, Berl. Ber. 44 (1915) 844. ). Eötvös Loránd szerepe. Az Eötvös-kísérlet, 1908-1909.

[1] R. v. Eötvös, Mathematishe und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn, 8,65,1890.

[2] R. v. Eötvös, Verhandlungen der 16. Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung (London-Cambridge, 21-29 September 1909)

[3] R. v. Eötvös, D. Pekár, E. Fekete: Beiträge zum Gesetz der Proportionalität von Trägheit und Gravität; a Beneke Alapítványhoz benyújtott pályamű, 1909.

1.1. Előzmény: a speciális relativitáselmélet (A.Einstein, 1905)

• Események, vonatkoztatási rendszer, inerciarendszer

• Lorentz-transzformáció

x′ = \frac{x − vt}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

y′ = y  (1)

z′ = z

t′ = \frac{t − \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

A klasszikus elektrodinamika egyenletei kovariánsak a Lorentz-transzformációra nézve (a transzformált mennyiségek közötti kapcsolat ugyanolyan alakú, mint amilyen a nem transzformált mennyiségek között volt). → A fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora. Michelson-kísérlet, 1881 és Michelson-Morley-kísérlet, 1887.

• Nincs kitüntetett inerciarendszer: a természet minden törvénye azonos alakú a különböző inerciarendszerekben (relativitás elve) → A Lorentz-transzformáció a téridő tulajdonságait jellemzi. Ívhossz:

s^{2} = c^{2}t^{′2} − r^{′2} = c^{2}t^{2} − r^{2}

(Levezetések: az ívhossz invarianciája, Lorentz-transzformáció) Másképpen

s^{2} = g_{ik}x^{i}x^{k}

ahol

x^{0} = ct, x^{1} = x, x^{2} = y, x^{3} = z

és

g_{ik} = diag(1, −1, −1, −1)

Sajátidő:

τ^{2} = t^{2} − r^{2}/c^{2}

Minkowski-tér. Időszerű, térszerű, fényszerű ívhosszak.

• Az egyidejűség relativitása

x_{1} ≠ x_{2}, t_{1} = t_{2} → t′_{1} ≠ t′_{2}  (2)

A Lorentz-transzformáció szerint ui.

t′_{2} − t′_{1} = \frac{−\frac{v}{c^{2}}(x_{2} − x_{1})}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}}  (3)

• Lorentz-kontrakció Mozgó méterrúd végei (t,x) a K rendszerből mérve: (0, 0) és (0, L) A K’ (együttmozgó) rendszerben ugyanezek az események: (0, 0) és (t′, L_{0}) A Lorentz-transzformáció alapján

L_{0} = \frac{L}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}}  (4)

azaz

L = L_{0}\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}  (5)

• Idődilatáció Mozgó óra adott (0 ill. τ) mutatóállásai a K rendszerből mérve: (0, 0) és (t, x) A K’ (együttmozgó) rendszerben ugyanezek az események: (0, 0) és (τ, 0) A Lorentz-transzformáció alapján

t = \frac{τ}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}}  (6)

ábra 1: A téridő egyes tartományainak kauzális kapcsolata az origóban történt eseménnyel. 5 ábra 2: Az A pontból kibocsájtott fényjelek a K’ rendszerből mérve egyidejűleg érnek a B és C pontokba, míg a K rendszerből mérve különböző időpontokban.

• Ikerparadoxon

• Sebességek transzformációja

v_{x} = \frac{v′_{x} + V}{1 + \frac{v′_{x}V}{c^{2}}}

v_{y} = \frac{v′_{y}\sqrt{1 − \frac{V^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{v′_{x}V}{c^{2}}}

v_{z} = \frac{v′_{z}\sqrt{1 − \frac{V^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{v′_{x}V}{c^{2}}}

(a sebeség irányának megváltozása, fényaberráció)

• Négyesvektorok Az idő és a koordináták transzformációs szabálya szerint transzformálódó mennyiségek. t, x, y, z E, p_{x}, p_{y}, p_{z} ϕ, A_{x}, A_{y}, A_{z}

• Relativisztikus mechanika

Négyessebesség:

u^{i} = \frac{dx^{i}}{dτ}

u_{x} = \frac{v}{c\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

u_{t} = \frac{1}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Négyesimpulzus:

p^{i} = mu^{i}

Az időszerű komponens az energia. Legkisebb hatás elve.

S = −mc ∫_{a}^{b} ds

L = −mc^{2}\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}

c → ∞ határátmenet. 1.2. Gyorsuló koordinátarendszerek

• Az eredeti kérdésfeltevés: megfogalmazhatók-e a természeti törvények olyan alakban, amely tetszőleges koordinátatranszformációra nézve kovariáns?

• Forgó koordinátarendszer x = x′ cos ωt − y′ sin ωt, y = x′ sin ωt + y′ cos ωt, z = z′

Ívelemnégyzet: ds^{2} = [c^{2} − ω^{2}(x^{′2} + y^{′2})] dt^{2} − dx^{2} − dx^{′2} − dy^{′2} − dz^{′2} + 2ωy′dx′dt − 2ωx′dy′dt Az ívelemnégyzet invariáns (skalár), de a koordinátadifferenciálokkal kifejezett alakja más és más.

• Metrikus tenzor Általános esetben ds^{2} = g_{ik}dx^{i}dx^{k}

• Az ekvivalencia elve (Hasonlóságok és különbségek)

ábra 3: A forgó korong kerülete mentén elhelyezett mérőrudak Lorentz-kontrakciót szenvednek, míg a sugár mentén elhelyezett mérőrudak hossza változatlan.

• Görbevonalú koordináták

x^{i} = f^{i}(x^{′0}, x^{′1}, x^{′2}, x^{′3})

dx^{i} = \frac{∂x^{i}}{∂x^{′k}} dx^{′k}

Kontravariáns négyesvektor:

A^{i} = \frac{∂x^{i}}{∂x^{′k}} A^{′k}

Négyestenzorok. Kontravariáns metrikus tenzor:

g^{ik}

Jacobi-determináns: (levezetés)

J = \frac{∂(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})}{∂(x^{′0}, x^{′1}, x^{′2}, x^{′3})} = \frac{1}{\sqrt{−g}}

Invariáns térfogatelem:

\sqrt{−g}dΩ

• Távolságok és időtartamok Adott pontban eltelt idő: (levezetés)

τ = \frac{1}{c} ∫ \sqrt{g_{00}}dx^{0}

Két pont távolsága:

(levezetés) dl^{2} = γ_{αβ}dx^{α}dx^{β}

γ_{αβ} = −g_{αβ} + \frac{g_{0α}g_{0β}}{g_{00}}

γ^{αβ} = −g^{αβ}

• Egyidejűség, órák szinkronizálása

(levezetés)

Δx^{0} = −\frac{g_{0α}dx^{α}}{g_{00}}