\documentclass{article}
\oddsidemargin -2cm
\evensidemargin -2cm
\textwidth 18cm
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{graphicx}% Include figure files
\usepackage{dcolumn}% Align table columns on decimal point
\usepackage{bm}% bold math
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\title{Bevezetés az általános relativitáselméletbe}
\vskip0.5cm
\author{Bene Gyula\\Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék\\
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A}

\maketitle


\Large



\centerline{\huge \bf 1. Előadás}

Tematika: ld.  http://glu.elte.hu/\~{ }bene/
\vskip2cm
Ajánlott irodalom:
\begin{itemize}
\item Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. Klasszikus erőterek (Tankönyvkiadó, 1976).
\item Hraskó Péter: Bevezetés az általános relativitáselméletbe (Műegyetemi kiadó, 1997).
\item Hraskó Péter: Relativitáselmélet (Typotex, 2002).
\item Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet (ELTE Eötvös Kiadó, 1999).
\item http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5
\end{itemize}

\newpage
Eredeti cikkek:

Általános relativitáselmélet: 

A.Einstein, Die Feldgleichungen der Gravitation, Berl. Ber. 44 (1915) 844. ). 

Eötvös Loránd szerepe. Az Eötvös-kísérlet, 1908-1909.

[1] R. v. Eötvös, Mathematishe und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn, 8,65,1890. 

[2] R. v. Eötvös, Verhandlungen der 16. Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung
(London-Cambridge, 21-29 September 1909) 

[3] R. v. Eötvös, D. Pekár, E. Fekete: Beitr\"age zum Gesetz der Proportionalit\"at von Tr\"agheit und Gravit\"at; a
Beneke Alapítványhoz benyújtott pályamű, 1909.

\newpage

{\bf 1.1. Előzmény: a speciális relativitáselmélet (A.Einstein, 1905)}

\begin{itemize}
\item Események, vonatkoztatási rendszer, inerciarendszer
\item Lorentz-transzformáció
\begin{eqnarray}
x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\nonumber\\
y'=y\\
z'=z\nonumber\\
t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\nonumber
\end{eqnarray}

A klasszikus elektrodinamika egyenletei kovariánsak a Lorentz-transzformációra nézve (a transzformált mennyiségek közötti kapcsolat ugyanolyan alakú, mint 
amilyen a nem transzformált mennyiségek között volt).

$\bm{\rightarrow}$ A fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora. Michelson-kísérlet, 1881 és Michelson-Morley-kísérlet, 1887.
\item Nincs kitüntetett inerciarendszer: a természet {\bf minden} törvénye azonos alakú a különböző inerciarendszerekben 
({\bf relativitás elve})
$\bm{\rightarrow}$ A Lorentz-transzformáció a téridő tulajdonságait jellemzi.

Ívhossz:
$$
s^2=c^2t'^2-\bm{r'}^2=c^2t^2-\bm{r}^2
$$
(Levezetések: az ívhossz invarianciája, Lorentz-transzformáció)
Másképpen
$$s^2=g_{ik}x^ix^k$$
ahol
$$x^0=ct,\;x^1=x,\;x^2=y,\;x^3=z$$
és
$$g_{ik}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)$$
Sajátidő:
$$
\tau^2=t^2-\bm{r}^2/c^2
$$

Minkowski-tér. Időszerű, térszerű, fényszerű ívhosszak.

\begin{figure}
%\begin{flushleft}
\includegraphics{abra3.eps}
%\end{flushleft}
\caption{A téridő egyes tartományainak kauzális kapcsolata az origóban történt eseménnyel.}
\end{figure}


\item Az egyidejűség relativitása
\begin{figure}
%\begin{flushleft}
\includegraphics{abra1.eps}
%\end{flushleft}
\caption{Az {\bf A} pontból kibocsájtott fényjelek a {\bf K'} rendszerből mérve egyidejűleg érnek a {\bf B} és {\bf C} pontokba, míg
a {\bf K} rendszerből mérve különböző időpontokban.}
\end{figure}
\begin{eqnarray}
x_1\ne x_2,\; t_1=t_2 \bm{\rightarrow} t_1'\ne t_2'
\end{eqnarray}
A Lorentz-transzformáció szerint ui.
\begin{eqnarray}
t_2'-t_1'=\frac{-\frac{v}{c^2}(x_2-x_1)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{eqnarray}
\item Lorentz-kontrakció

Mozgó méterrúd végei (t,x) a K rendszerből mérve:      $(0,0)$ és $(0,L)$

A K' (együttmozgó) rendszerben ugyanezek az események: $(0,0)$ és $(t',L_0)$

A Lorentz-transzformáció alapján
\begin{eqnarray}
L_0=\frac{L}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{eqnarray}
azaz
\begin{eqnarray}
L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}
\end{eqnarray}

\item Idődilatáció

Mozgó óra adott (0 ill. $\tau$) mutatóállásai a K rendszerből mérve:      
                                                       $(0,0)$ és $(t,x)$

A K' (együttmozgó) rendszerben ugyanezek az események: $(0,0)$ és $(\tau,0)$

A Lorentz-transzformáció alapján
\begin{eqnarray}
t=\frac{\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{eqnarray}

\item Ikerparadoxon


\item Sebességek transzformációja

$$v_x=\frac{v'_x+V}{1+\frac{v'_xV}{c^2}}$$

$$v_y=\frac{v'_y\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{v'_xV}{c^2}}$$

$$v_z=\frac{v'_z\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{v'_xV}{c^2}}$$

(a sebeség irányának megváltozása, fényaberráció)

\item Négyesvektorok

Az idő és a koordináták transzformációs szabálya szerint transzformálódó mennyiségek. 

$t, x, y, z$

$E, p_x, p_y, p_z$

$\phi, A_x, A_y, A_z$
   
\item Relativisztikus mechanika

Négyessebesség: 
$$u^i=\frac{dx^i}{d\tau}$$
$$u_x=\frac{v}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
$$u_t=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
Négyesimpulzus:
$$p^i=m u^i$$
Az időszerű komponens az energia.

Legkisebb hatás elve. 
$$S=-mc\int_a^b ds$$

$$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

$c\rightarrow \infty$ határátmenet.
\end{itemize}

{\bf 1.2. Gyorsuló koordinátarendszerek}

\begin{itemize}
\item Az eredeti kérdésfeltevés: megfogalmazhatók-e a természeti törvények 
olyan alakban, amely tetszőleges koordinátatranszformációra nézve kovariáns?
\item Forgó koordinátarendszer
\begin{figure}
%\begin{flushleft}
\includegraphics{abra2.eps}
%\end{flushleft}
\caption{A forgó korong kerülete mentén elhelyezett mérőrudak Lorentz-kontrakciót szenvednek, míg a sugár mentén elhelyezett mérőrudak hossza változatlan.}
\end{figure}
$$x=x'\cos \omega t-y'\sin \omega t, y=x'\sin \omega t+y'\cos \omega t, z=z'$$
Ívelemnégyzet:
$$ds^2=\left[c^2-\omega^2(x'^2+y'^2)\right]dt^2-dx^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2+2\omega y'dx' dt-2\omega x'dy' dt$$
Az ívelemnégyzet invariáns (skalár), de a koordinátadifferenciálokkal kifejezett alakja más és más.
\item Metrikus tenzor
Általános esetben 
$$ds^2=g_{ik}dx^idx^k$$
\item Az ekvivalencia elve

(Hasonlóságok és különbségek)

\item Görbevonalú koordináták

$$x^i=f^i(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)$$

$$dx^i=\frac{\partial x^i}{\partial x'^k}dx'^k$$

Kontravariáns négyesvektor:

$$A^i=\frac{\partial x^i}{\partial x'^k}A'^k$$

Négyestenzorok. Kontravariáns metrikus tenzor:

$$g^{ik}$$

Jacobi-determináns:

(levezetés)
$$J=\frac{\partial(x^0,x^1,x^2,x^3)}{\partial(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)}=\frac{1}{\sqrt{-g}}$$

Invariáns térfogatelem:

$$\sqrt{-g}d\Omega$$

\item Távolságok és időtartamok

Adott pontban eltelt idő: 

(levezetés)
$$\tau=\frac{1}{c}\int \sqrt{g_{00}}dx^0$$

Két pont távolsága:

(levezetés)
$$dl^2=\gamma_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta$$

$$\gamma_{\alpha \beta}=-g_{\alpha \beta}+\frac{g_{0 \alpha}g_{0 \beta}}{g_{0 0}}$$

$$\gamma^{\alpha \beta}=-g^{\alpha \beta}$$

\item Egyidejűség, órák szinkronizálása

(levezetés)
$$\Delta x^0=-\frac{g_{0 \alpha}dx^\alpha}{g_{0 0}}$$

\end{itemize}

\end{document}










