Általános relativitáselmélet

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

2. Előadás

2.1. Ismétlés

• Gyorsuló koordinátarendszerekben az ívelemnégyzet $$ds^2=g_{ik}dx^idx^k$$ $\rightarrow$ görbevonalú koordináták
• Lokálisan a gravitációs tér gyorsuló rendszerrel ekvivalens (ekvivalencia elve)
• A gravitációs tér a téridő nem-Minkowski geometriájaként jelenik meg az általános relativitáselméletben
• A vonatkoztatási rendszer fogalma
• Kovariáns és kontravariáns négyesvektorok és négyestenzorok

2.2. Példa (távolságok, időtartamok, órák szinkronizálása): forgó vonatkoztatási rendszer

• Ívelemnégyzet:

  
  

  $$ ds^2=(c^2-\omega^2 r^2)dt^2-2\omega r^2 d\varphi dt-dz^2- r^2 d\varphi^2-dr^2 $$
  

• Időtartam:

  
  

  $$ \tau=\sqrt{1-\frac{\omega^2 r^2}{c^2}}\;t $$
  
  A forgó rendszerben rögzített helyen bekövetkező két esemény közt eltelt $\tau$ sajátidő kevesebb, mint az inerciarendszerben ugyanezen két esemény között eltelt $t$ idő.

  ($\rightarrow$ vöröseltolódás: $t$ és $\tau$ legyen fényhullám periódusideje.)

• Szinkronizálás zárt görbe mentén nem lehetséges:

  
  

  $$ \Delta t=-\frac{1}{c}\oint \frac{g_{0\alpha}}{g_{00}}dx^\alpha=\frac{1}{c^2}\oint \frac{\omega r^2 d\varphi}{1-\frac{\omega^2 r^2}{c^2}} \approx \frac{\omega}{c^2}\oint r^2 d\varphi =\pm \frac{2\omega}{c^2}S $$
  

• Távolság:

  
  

  $$ dl^2= dr^2+dz^2+\frac{r^2 d\varphi^2}{1-\frac{\omega^2 r^2}{c^2}} $$
  

  A kerület és a sugár aránya:
  

  $$ \frac{2\pi}{\sqrt{1-\frac{\omega^2 r^2}{c^2}}}>2\pi $$
  
  $\rightarrow$ nemeuklideszi geometria

2.3. Mozgás görbült téridőben

• A metrikus tenzor ($g_{ik}$) tulajdonságai (szimmetrikus, 10 független komponens, +-- szignatúra)

• Görbült téridő: a metrikus tenzor semmilyen koordinátatranszformációval nem hozható mindenütt Minkowski-alakra.

• Kovariáns differenciálás.
  • 
    
    $$ A_i=\frac{\partial x'^k}{\partial x^i}A'_k $$
    

    
    

    $$ dA_i=\frac{\partial x'^k}{\partial x^i}dA'_k+A'_k d\frac{\partial x'^k}{\partial x^i}= \frac{\partial x'^k}{\partial x^i}dA'_k+A'_k \frac{\partial^2 x'^k}{\partial x^i\partial x^l}dx^l $$
    

    $\rightarrow$ $dA_i$ nem transzformálódik vektorként!

    Ok: nem azonos pontbeli vektorokat vontunk ki egymásból.

  • Párhuzamos eltolás

    
    

    $$ DA^i=(A^i+dA^i)-(A^i+\delta A^i)=dA^i-\delta A^i $$
    

    Infinitezimális eltolás esetén $\delta A^i$ homogén lineáris függvénye a vektorkomponenseknek és az eltolásnak:

    
    

    $$ \delta A^i=-\Gamma^i_{\phantom{1}kl}A^kdx^l $$
    

    $\Gamma^i_{\phantom{1}kl}$: Christoffel-szimbólum ("affine connection"). Nem tenzor!

    
    

    $$ \delta A_i=\Gamma^k_{\phantom{1}il}A_kdx^l $$
    

  • Kovariáns differenciál, kovariáns derivált:

    
    

    $$ DA^i=\left(\frac{\partial A^i}{\partial x^l}+\Gamma^i_{\phantom{1}kl}A^k\right)dx^l $$
    

    
    

    $$ DA_i=\left(\frac{\partial A_i}{\partial x^l}-\Gamma^k_{\phantom{1}il}A_k\right)dx^l $$
    
    (levezetés)

    
    

    $$ A^i_{;l}=\frac{\partial A^i}{\partial x^l}+\Gamma^i_{\phantom{1}kl}A^k $$
    

    
    

    $$ A_{i;l}=\frac{\partial A_i}{\partial x^l}-\Gamma^k_{\phantom{1}il}A_k $$
    

    
    

    $$ A^i_{k;l}=\frac{\partial A^i_k}{\partial x^l}-\Gamma^m_{\phantom{1}kl}A^i_m+\Gamma^i_{\phantom{1}ml}A^m_k $$
    

  • A Christoffel-szimbólumok alsó indexeikben szimmetrikusak

    (levezetés)

  • A Christoffel-szimbólumok és a metrikus tenzor kapcsolata

    
    

    $$ DA_i=g_{ik}DA^k $$
    

    
    

    $$ DA_i=D\left(g_{ik}A^k\right)=g_{ik}DA^k+A^kDg_{ik} $$
    

    $\rightarrow$ A metrikus tenzor kovariáns deriváltja nulla.

    
    

    $$ g_{ik;l}=0 $$
    

    Ezt felhasználva

    
    

    $$ \Gamma^i_{\phantom{1}kl}=\frac{1}{2}g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l}+\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m}\right) $$
    

    (levezetés)

  • A kovariáns deriváltakra vonatkozó hasznos összefüggések

• Részecske mozgása gravitációs térben.

  A legkisebb hatás elve:

  
  

  $$ \delta S=-mc \delta\;\int ds =0 $$
  

  Mozgásegyenlet:

  
  

  $$ \frac{Du^i}{Ds}=0 $$
  

  (ahol $u^i=\frac{dx^i}{ds}$ a négyessebesség), azaz

  
  

  $$ \frac{d^2 x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{\phantom{1}kl}\frac{d x^k}{ds}\frac{d x^l}{ds}=0 $$
  

• Hamilton-Jacobi-egyenlet

  
  

  $$ p^i=mcu^i $$
  

  
  

  $$ p_ip^i=m^2c^2 $$
  

  
  

  $$ g^{ik}\frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^k}-m^2c^2=0 $$
  

• Fény terjedése

  
  

  $$ \frac{d k^i}{d\lambda}+\Gamma^i_{\phantom{1}kl}k^k k^l=0 $$
  

• Gyenge gravitációs tér

  Nemrelativisztikus Lagrange-függvény:

  
  

  $$ L=-mc^2+\frac{mv^2}{2}-m\varphi $$
  

  
  

  $$ ds^2=(c^2+2\varphi)dt^2-d\boldsymbol{r}^2 $$
  

  
  

  $$ g_{00}=1+\frac{2\varphi}{c^2} $$
  

• Állandó gravitációs tér, gravitációs vöröseltolódás

  Sajátidőben mért frekvencia:

  
  

  $$ \omega=\frac{\omega_0}{\sqrt{g_{00}}}\approx \omega_0\left(1-\frac{\varphi}{c^2}\right) $$
  

  
  

  $$ \Delta \omega=\frac{\varphi_1-\varphi_2}{c^2}\omega $$
  

• Az elektromágnesség egyenletei gravitációs térben.

  Térerősségtenzor:

  
  

  $$ F_{ik}=A_{k;i}-A_{i;k}=\frac{\partial A_k}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^k} $$
  

  Négyes áramsűrűség:

  
  

  $$ j^i=\frac{\rho c}{\sqrt{g_{00}}}\frac{dx^i}{dx^0} $$
  

  Maxwell-egyenletek:

  
  

  $$ \frac{\partial F_{ik}}{\partial x^l}+\frac{\partial F_{li}}{\partial x^k}+\frac{\partial F_{kl}}{\partial x^i}=0 $$
  

  
  

  $$ F^{ik}_{;k}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial }{\partial x^k}\left(\sqrt{-g}F^{ik}\right)=-\frac{j^i}{\epsilon_0 c^2} $$
  

  Töltött részecske mozgása elektromágneses és gravitációs erőtérben:

  
  

  $$ m\left(\frac{d u^i}{ds}+\Gamma^i_{\phantom{1}kl}u^k u^l\right)=qF^{ik}u_k $$