Bevezetés az általános relativitáselméletbe

Bene Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A 2002. október 11.

3. Előadás

3.1. Ismétlés

• Vektor megváltozása akkor transzformálódik vektorként, ha azonos pontban levő vektorokat vonunk ki egymásból.

• Vektor párhuzamos eltolása, Christoffel-szimbólumok, kovariáns deriváltak • A Christoffel-szimbólumok alsó indexeikben szimmetrikusak

• A metrikus tenzor kovariáns deriváltja nulla

• → A Christoffel-szimbólumok kifejezhetők a metrikus tenzor deriváltjaival.

• Mozgás görbült téridőben, geodetikus mozgás

• A Maxwell-egyenletek általánosítása görbült téridőre 3.2. A görbületi tenzor

• Kérdés: milyen lokális mennyiség jelzi, hogy görbült a téridő?

• Vektor párhuzamos eltolása: a komponensek lokálisan Minkowski téridőben változatlanok.

• Párhuzamos eltolás során a pálya érintőjével bezárt szög állandó.

• Párhuzamos eltolás zárt görbe mentén

ábra 1: Görbült felületen szakaszonként geodetikus zárt görbe mentén végzett párhuzamos eltolás eredménye nem egyezik meg a kiindulási vektorral.

• ΔA_{k} = ∮ Γ_{kl}^{i}A_{i}dx^{l}

\frac{∂A_{i}}{∂x^{l}} = Γ_{il}^{n}A_{n}

• Stokes tétele

•

ΔA_{k} = \frac{1}{2} [\frac{∂ (Γ_{km}^{i}A_{i})}{∂x^{l}} − \frac{∂ (Γ_{kl}^{i}A_{i})}{∂x^{m}}] Δf^{lm}

•

ΔA_{k} = \frac{1}{2}R_{klm}^{i}A_{i}Δf^{lm}

•

R_{klm}^{i} = \frac{∂Γ_{km}^{i}}{∂x^{l}} − \frac{∂Γ_{kl}^{i}}{∂x^{m}} + Γ_{nl}^{i}Γ_{km}^{n} − Γ_{nm}^{i}Γ_{kl}^{n}

•

ΔA^{k} = −\frac{1}{2}R_{ilm}^{k}A^{i}Δf^{lm}

•

A_{i;k;l} − A_{i;l;k} = A_{m}R_{ikl}^{m}

•

A_{;k;l}^{i} − A_{;l;k}^{i} = −A^{m}R_{mkl}^{i}

• A görbületi tenzor tulajdonságai

–

R_{iklm} = g_{in}R_{klm}^{n} = \frac{1}{2} (\frac{∂^{2}g_{im}}{∂x^{k}∂x^{l}} + \frac{∂^{2}g_{kl}}{∂x^{i}∂x^{m}} − \frac{∂^{2}g_{il}}{∂x^{k}∂x^{m}} − \frac{∂^{2}g_{km}}{∂x^{i}∂x^{l}} )

+g_{np} (Γ_{kl}^{n}Γ_{im}^{p} − Γ_{km}^{n}Γ_{il}^{p})

–

R_{iklm} = −R_{kilm} = −R_{ikml}

–

R_{iklm} = R_{lmik}

–

R_{iklm} + R_{imkl} + R_{ilmk} = 0

– Bianchi-azonosság:

R_{ikl;m}^{n} + R_{imk;l}^{n} + R_{ilm;k}^{n} = 0

Bizonyítás lokálisan geodetikus rendszerben:

R_{ikl;m}^{n} = \frac{∂^{2}R_{ikl}^{n}}{∂x^{m}} = \frac{∂^{2}Γ_{il}^{n}}{∂x^{m}∂x^{k}} − \frac{∂^{2}Γ_{ik}^{n}}{∂x^{m}∂x^{l}}

– Ricci-tenzor:

R_{ik} = g^{lm}R_{limk} = R_{imk}^{m}
R_{ik} = R_{ki}

– Invariáns görbület:

R = g^{ik}R_{ik}

– Kétdimenziós eset:

R = \frac{2P_{1212}}{γ}

\frac{P}{2} = K = \frac{1}{ρ_{1}ρ_{2}}

(levezetés)