Bevezetés az általános relativitáselméletbe

Bene Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

2002. november 4.

4. Előadás

4.1. Ismétlés

• A görbületi tenzor definíciója (zárt görbe mentén körbevitt vektor változásával arányos)

• A görbületi tenzor tulajdonságai (antiszimmetria az első ill. a második indexpárban, szimmetria az indexpárok felcserélésére, ciklikus összeg eltűnése, Bianchi-azonosság)

• Ricci-tenzor, skalár görbület, Weil-tenzor

4.2. Klasszikus térelméleti bevezető

• q(x, y, z, t): térmennyiség (pl. elektromágneses térerősség komponense, metrikus tenzor komponense)

• Λ (q, q_{,i}): Lagrange-sűrűség (a térmennyiségektől és azok koordináták szerinti ill. időderiváltjától függ, itt q_{,i} = \frac{∂q}{∂x^{i}})

•

S = ∫ Λ (q, q_{,i}) dΩ

(dΩ = c dV dt)

•

δS = ∫ [\frac{∂Λ}{∂q}δq + \frac{∂Λ}{∂q_{,i}}δq_{,i}] dΩ = ∫ [\frac{∂Λ}{∂q}δq + \frac{∂}{∂x^{i}} (\frac{∂Λ}{∂q_{,i}}δq) − δq\frac{∂}{∂x^{i}} \frac{∂Λ}{∂q_{,i}}] dΩ = 0

• Euler-Lagrange-egyenlet (mozgásegyenlet):

\frac{∂}{∂x^{i}} \frac{∂Λ}{∂q_{,i}} − \frac{∂Λ}{∂q} = 0

• Energia- és impulzusmegmaradás:

Mivel a Langrange-sűrűség nem függ expliciten a koordinátáktól és az időtől,

\frac{∂Λ}{∂x^{i}} = \frac{∂Λ}{∂q} \frac{∂q}{∂x^{i}} + \frac{∂Λ}{∂q_{,k}} \frac{∂q_{,k}}{∂x^{i}}

A mozgásegyenletet felhasználva:

\frac{∂Λ}{∂x^{i}} = \frac{∂}{∂x^{k}} \frac{∂Λ}{∂q_{,k}} q_{,i} + \frac{∂Λ}{∂q_{,k}} q_{,k,i} = \frac{∂}{∂x^{k}} (q_{,i} \frac{∂Λ}{∂q_{,k}} )

Nullára redukálva:

\frac{∂}{∂x^{k}} (q_{,i} \frac{∂Λ}{∂q_{,k}} − δ_{i}^{k}Λ) = 0

• Energia-impulzus-tenzor:

T_{i}^{k} = q_{,i} \frac{∂Λ}{∂q_{,k}} − δ_{i}^{k}Λ

• A \frac{∂T_{i}^{k}}{∂x^{k}} = 0 kontinuitási egyenletet a t_{1} és t_{2} időpontok közötti négyestérfogatra

integráljuk:

\frac{dP^{i}}{dt} = 0

ahol

P^{i} = ∫ T^{ik}dS_{k}

a megmaradó négyesimpulzus.

• T^{ik} határozatlan:

T^{ik} + \frac{∂}{∂x^{l}} ψ^{ikl}

is kielégíti a kontinuitási egyenletet, ha ψ^{ikl} = −ψ^{ilk}. A megmaradó négyesimpulzus értékét ez nem befolyásolja, mivel

∫ \frac{∂ψ^{ikl}}{∂x^{l}} dS_{k} = \frac{1}{2} ∫ (dS_{k} \frac{∂ψ^{ikl}}{∂x^{l}} − dS_{l} \frac{∂ψ^{ikl}}{∂x^{k}} ) = \frac{1}{2} ∫ ψ^{ikl}df_{kl}^{∗} = 0

ahol df_{kl}^{∗} = ϵ_{klmn}df^{mn} a df^{mn} = dx^{(1)m}dx^{(2)n} − dx^{(1)n}dx^{(2)m} négyes felületelem duálisa. A végtelen távoli felületen az integrandus eltűnik.

• Az impulzusmomentum megmaradása (skalár térre):

– Az impulzusmomentum négyestenzora:

J^{ik} = ∫ (x^{i}dP^{k} − x^{k}dP^{i}) = ∫ (x^{i}T^{kl} − x^{k}T^{il}) dS_{l}

– Az impulzusmomentum megmaradása ekvivalens az impulzusmomentumsűrűség négyesdivergenciájának eltűnésével:

0 = J^{ik}(t_{2}) − J^{ik}(t_{1}) = ∮ (x^{i}T^{kl} − x^{k}T^{il}) dS_{l} = ∫ \frac{∂}{∂x^{l}} (x^{i}T^{kl} − x^{k}T^{il}) dΩ

→ \frac{∂}{∂x^{l}} (x^{i}T^{kl} − x^{k}T^{il}) = 0

De

\frac{∂}{∂x^{l}} (x^{i}T^{kl} − x^{k}T^{il}) = x^{i} \frac{∂T^{kl}}{∂x^{l}} − x^{k} \frac{∂T^{il}}{∂x^{l}} + δ_{l}^{i}T^{kl} − δ_{l}^{k}T^{il} = T^{ki} − T^{ik}

tehát az impulzusmomentum megmaradásából T^{ki} szimmetrikussága következik.

4.3. Előkészítés (néhány fontos azonosság levezetése)

• Determináns deriváltja:

\frac{∂g}{∂x^{k}} = \frac{∂}{∂x^{k}} ϵ^{i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}}g_{0i_{0}}g_{1i_{1}}g_{2i_{2}}g_{3i_{3}} = ϵ^{i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}} \frac{∂g_{0i_{0}}}{∂x^{k}} g_{1i_{1}}g_{2i_{2}}g_{3i_{3}} + ...

\frac{∂g_{0i_{0}}}{∂x^{k}} együtthatója

ϵ^{i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}}g_{1i_{1}}g_{2i_{2}}g_{3i_{3}}

a 0. sorhoz és i_{0}-ik oszlophoz tartozó előjeles aldetermináns, azaz g g^{0i_{0}}. (Hasonlóan a további tagokra.) Ezzel

\frac{∂g}{∂x^{k}} = g g^{ij} \frac{∂g_{ij}}{∂x^{k}}

Mivel g_{ij}g^{ij} = δ_{j}^{j} = 4,

g^{ij} \frac{∂g_{ij}}{∂x^{k}} = −g_{ij} \frac{∂g^{ij}}{∂x^{k}}

• A Christoffel-szimbólum definíciója,

Γ_{kl}^{i} = \frac{1}{2}g^{im} (\frac{∂g_{mk}}{∂x^{l}} + \frac{∂g_{ml}}{∂x^{k}} − \frac{∂g_{kl}}{∂x^{m}})

alapján

Γ_{ki}^{i} = \frac{1}{2}g^{im} (\frac{∂g_{mk}}{∂x^{i}} + \frac{∂g_{mi}}{∂x^{k}} − \frac{∂g_{ki}}{∂x^{m}}) = \frac{1}{2}g^{im} \frac{∂g_{mi}}{∂x^{k}} = \frac{1}{2g} \frac{∂g}{∂x^{k}}

• Vektor kovariáns négyesdivergenciája:

A_{;i}^{i} ≡ \frac{DA^{i}}{Dx^{i}} = \frac{∂A^{i}}{∂x^{i}} + Γ_{ki}^{i}A^{k} = \frac{∂A^{i}}{∂x^{i}} + \frac{1}{2g} \frac{∂g}{∂x^{k}} A^{k} = \frac{1}{\sqrt{−g}} \frac{∂ (\sqrt{−g} A^{i})}{∂x^{i}}

4.4. A gravitációs erőtér hatásintegrálja

• A gravitációs tér egyenletei a fizika más ágaiból nem vezethetők le (új fizikai törvények, 1916). Csupán analógiák használhatók motivációként: másodrendű téregyenleteket várunk (első deriváltak a Lagrange-sűrűségben), a Lagrangesűrűség skalár, térmennyiségek: a metrikus tenzor komponensei.

• Probléma: A metrikus tenzor első deriváltjaiból (Christoffel-szimbólumokból) nem képezhető skalár, a rendelkezésre álló egyetlen nemtriviális skalár mennyiség, a skalár görbület (R) viszont második deriváltakat is tartalmaz. Megoldás: mivel R a második deriváltakat csak lineárisan tartalmazza, megmutatjuk, hogy

∫ R\sqrt{−g}dΩ = ∫ G\sqrt{−g}dΩ + ∫ \frac{∂ (\sqrt{−g} w^{i})}{∂x^{i}}dΩ

ahol G csak a metrikus tenzor első deriváltjait tartalmazza. (A w^{i} mennyiség nem transzformálódik vektorként!). Tekintsük ehhez R\sqrt{−g} kifejezésében a másodrendű deriváltakat tartalmazó tagokat:

R\sqrt{−g} = \sqrt{−g} g^{ki} R_{kmi}^{m} = \sqrt{−g} g^{ki} (\frac{∂Γ_{ki}^{m}}{∂x^{m}} − \frac{∂Γ_{km}^{m}}{∂x^{i}} + Γ_{nm}^{m}Γ_{ki}^{n} − Γ_{ni}^{m}Γ_{km}^{n})

Második deriváltak csak a Christoffel-szimbólumok deriváltjaiban szerepelnek. Ezeket a tagokat tovább alakítva:

\sqrt{−g} (g^{km} \frac{∂Γ_{km}^{i}}{∂x^{i}} − g^{ki} \frac{∂Γ_{km}^{m}}{∂x^{i}}) = \frac{∂}{∂x^{i}} (\sqrt{−g} [g^{km} Γ_{km}^{i} − g^{ki} Γ_{km}^{m}])

− (Γ_{km}^{i} \frac{∂ (\sqrt{−g} g^{km})}{∂x^{i}} − Γ_{km}^{m} \frac{∂ (\sqrt{−g} g^{ki})}{∂x^{i}})

Tehát

w^{i} = g^{km} Γ_{km}^{i} − g^{ki} Γ_{km}^{m}

és

G = g^{ki} (Γ_{nm}^{m}Γ_{ki}^{n} − Γ_{ni}^{m}Γ_{km}^{n}) + \frac{Γ_{km}^{m}}{\sqrt{−g}} \frac{∂ (\sqrt{−g} g^{ki})}{∂x^{i}} − \frac{Γ_{km}^{i}}{\sqrt{−g}} \frac{∂ (\sqrt{−g} g^{km})}{∂x^{i}}

A metrikus tenzor deriváltjait kifejezzük a Christoffel szimbólumokkal (g_{;l}^{ik} = 0):

\frac{∂g^{im}}{∂x^{l}} = −Γ_{kl}^{i} g^{km} − Γ_{kl}^{m} g^{ik}

Kapjuk:

G = g^{ki} (Γ_{nm}^{m}Γ_{ki}^{n} − Γ_{ni}^{m}Γ_{km}^{n}) + Γ_{km}^{m} Γ_{in}^{n} g^{ki} − Γ_{km}^{m} Γ_{ni}^{i} g^{nk} − Γ_{km}^{m} Γ_{ni}^{k} g^{in} −Γ_{km}^{i} Γ_{in}^{n} g^{km} + Γ_{km}^{i} Γ_{ni}^{k} g^{nm}+Γ_{km}^{i} Γ_{ni}^{m} g^{kn}

Tehát

G = g^{ki} (Γ_{ni}^{m}Γ_{km}^{n} − Γ_{nm}^{m}Γ_{ki}^{n})

• A Lagrange-sűrűség

−\frac{c^{3}}{16πk}R\sqrt{−g}

A negatív előjel biztosítja, hogy a hatás pozitív definit legyen. k = 6.67 × 10^{−11} \frac{m^{3}}{kgs^{2}} a gravitációs állandó.

4.5. Energia-impulzus-tenzor

• Új levezetést adunk az energia-impulzus-tenzorra, amely azonnal szimmetrikus T_{ik}-t eredményez

• Gondolatmenet:

– Végtelen kis általános koordinátatranszformációt végzünk.

– Ennek következtében az anyag hatásfüggvénye (mivel a Lagrange-sűrűség skalár) nem változhat, δS = 0.

– Felírjuk a hatás koordinátatranszformációból eredő megváltozását és egyenlővé tesszük nullával.

– Az anyagot jellemző térmennyiségek (pl. elektromágneses térerősségtenzor) kielégítik a mozgásegyenleteket, így a koordinátatranszformációból eredő megváltozásuk a hatás kifejezésében első rendben nem ad járulékot.

– Csak a metrika megváltozása eredményez nemtriviális változást. Eredmény: egy szimmetrikus tenzor (T_{ik}) kovariáns négyesdivergenciája nulla. (Ez most nem jelenti automatikusan megmaradó mennyiség létezését!)

•

S = \frac{1}{c} ∫ Λ\sqrt{−g} dΩ

• Infinitezimális koordinátatranszformáció:

x^{′i} = x^{i} + ξ^{i}

(ξ^{i} kicsi)

dx^{′i} = dx^{i} + \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{l}} dx^{l} = (δ_{l}^{i} + \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{l}} ) dx^{l}

•

g^{′ik}(x^{′l}) = g^{mn}(x^{l}) (δ_{m}^{i} + \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{m}}) (δ_{n}^{k} + \frac{∂ξ^{k}}{∂x^{n}}) ≈ g^{ik}(x^{l}) + g^{im} \frac{∂ξ^{k}}{∂x^{m}} + g^{kn} \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{n}}

Átalakítjuk a baloldalt:

g^{′ik}(x^{′l}) = g^{′ik}(x^{l} + ξ^{l}) = g^{′ik}(x^{l}) + \frac{∂g^{′ik}}{∂x^{l}} ξ^{l} ≈ g^{′ik}(x^{l}) + \frac{∂g^{ik}}{∂x^{l}} ξ^{l}

Végül tehát

g^{′ik}(x^{l}) = g^{ik}(x^{l}) − \frac{∂g^{ik}}{∂x^{l}} ξ^{l} + g^{im} \frac{∂ξ^{k}}{∂x^{m}} + g^{kn} \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{n}}

ξ^{i;k} + ξ^{k;i} = g^{kn} \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{n}} + g^{km}Γ_{ml}^{i}ξ^{l} + g^{im} \frac{∂ξ^{k}}{∂x^{m}} + g^{im}Γ_{ml}^{k}ξ^{l}

= g^{im} \frac{∂ξ^{k}}{∂x^{m}} + g^{kn} \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{n}} + (g^{km}g^{in} + g^{im}g^{kn}) \frac{1}{2} (\frac{∂g_{nm}}{∂x^{l}} + \frac{∂g_{nl}}{∂x^{m}} − \frac{∂g_{ml}}{∂x^{n}} ) ξ^{l}

= g^{im} \frac{∂ξ^{k}}{∂x^{m}} + g^{kn} \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{n}} + g^{km}g^{in} \frac{∂g_{nm}}{∂x^{l}}ξ^{l} = g^{im} \frac{∂ξ^{k}}{∂x^{m}} + g^{kn} \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{n}} − g^{km}g_{nm} \frac{∂g^{in}}{∂x^{l}}ξ^{l}

= g^{im} \frac{∂ξ^{k}}{∂x^{m}} + g^{kn} \frac{∂ξ^{i}}{∂x^{n}} − \frac{∂g^{ik}}{∂x^{l}} ξ^{l}

Tehát

g^{′ik}(x^{l}) = g^{ik}(x^{l}) + δg^{ik}(x^{l}) , δg^{ik} = ξ^{i;k} + ξ^{k;i}

Hasonlóan (mivel g^{′ik}g′_{kl} = δ_{l}^{i})

g′_{ik}(x^{l}) = g_{ik}(x^{l}) + δg_{ik}(x^{l}) , δg_{ik} = −ξ_{i;k} − ξ_{k;i}

•

δS = \frac{1}{c} ∫ \{\frac{∂ (\sqrt{−g}Λ)}{∂g^{ik}}δg^{ik} + \frac{∂ (\sqrt{−g}Λ)}{∂ (\frac{∂g^{ik}}{∂x^{l}})}δ (\frac{∂g^{ik}}{∂x^{l}} )\} dΩ

= \frac{1}{c} ∫ \{\frac{∂ (\sqrt{−g}Λ)}{∂g^{ik}} − \frac{∂}{∂x^{l}} (\frac{∂ (\sqrt{−g}Λ)}{∂ (\frac{∂g^{ik}}{∂x^{l}})})\} δg^{ik} dΩ

• Legyen

T_{ik} = \frac{2}{\sqrt{−g}} \{\frac{∂ (\sqrt{−g}Λ)}{∂g^{ik}} − \frac{∂}{∂x^{l}} (\frac{∂ (\sqrt{−g}Λ)}{∂ (\frac{∂g^{ik}}{∂x^{l}})})\}

(Szimmetrikus!)

• Ekkor

δS = \frac{1}{2c} ∫ T_{ik}δg^{ik} \sqrt{−g} dΩ

• δg^{ik} kifejezését behelyettesítve:

δS = \frac{1}{2c} ∫ T_{ik} (ξ^{i;k} + ξ^{k;i}) \sqrt{−g} dΩ

Másképpen:

δS = \frac{1}{c} ∫ T_{ik}ξ^{i;k} \sqrt{−g} dΩ = \frac{1}{c} ∫ T_{i}^{k}ξ_{;k}^{i} \sqrt{−g} dΩ

= \frac{1}{c} ∫ (T_{i}^{k}ξ^{i})_{;k} \sqrt{−g} dΩ − \frac{1}{c} ∫ ξ^{i} T_{i;k}^{k} \sqrt{−g} dΩ

Az első tagban felhasználjuk a vektorok kovariáns négyesdivergenciájára vonatkozó azonosságot. Kapjuk:

∫ (T_{i}^{k}ξ^{i})_{;k} \sqrt{−g} dΩ = ∫ \frac{∂}{∂x^{k}} (\sqrt{−g} T_{i}^{k}ξ^{i}) dΩ

Ezt a négydimenziós Gauss-tétel segítségével átalakítva nullát kapunk.

• Marad:

δS = −\frac{1}{c} ∫ ξ^{i} T_{i;k}^{k} \sqrt{−g} dΩ

Mivel ξ^{i} tetszőleges,

T_{i;k}^{k} = 0

következik. Ez sík téridőben az energia-impulzus-tenzor kontinuitási egyenletével azonos alakú.