Általános relativitáselmélet

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

4. Előadás

4.1. Ismétlés

• A görbületi tenzor definíciója (zárt görbe mentén körbevitt vektor változásával arányos)
• A görbületi tenzor tulajdonságai (antiszimmetria az első ill. a második indexpárban, szimmetria az indexpárok felcserélésére, ciklikus összeg eltűnése, Bianchi-azonosság)
• Ricci-tenzor, skalár görbület, Weil-tenzor

4.2. Klasszikus térelméleti bevezető

• $q(x,y,z,t)$: térmennyiség (pl. elektromágneses térerősség komponense, metrikus tenzor komponense)

• $\Lambda\left(q,q_{,i}\right)$ : Lagrange-sűrűség (a térmennyiségektől és azok koordináták szerinti ill. időderiváltjától függ, itt $q_{,i}=\frac{\partial q}{\partial x^i}$
• 
  
  $$ S=\int \Lambda\left(q,q_{,i}\right)d\Omega $$
  

  ( $d\Omega=c\;dV\;dt$ )

• 
  
  $$ \delta S=\int \left[\frac{\partial \Lambda}{\partial q}\delta q +\frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,i}}\delta q_{,i}\right]d\Omega= \int \left[\frac{\partial \Lambda}{\partial q}\delta q +\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,i}}\delta q\right) -\delta q\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,i}} \right]d\Omega=0 $$
  

• Euler-Lagrange-egyenlet (mozgásegyenlet):
  
  $$ \frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,i}}- \frac{\partial \Lambda}{\partial q}=0 $$
  

• Energia- és impulzusmegmaradás:

  Mivel a Langrange-sűrűség nem függ expliciten a koordinátáktól és az időtől,
  

  $$ \frac{\partial \Lambda}{\partial x^i}=\frac{\partial \Lambda}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial x^i} + \frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}}\frac{\partial q_{,k}}{\partial x^i} $$
  

  A mozgásegyenletet felhasználva:
  

  $$ \frac{\partial \Lambda}{\partial x^i}=\frac{\partial}{\partial x^k}\frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}}q_{,i} + \frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}}q_{,k,i}=\frac{\partial}{\partial x^k} \left(q_{,i}\frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}}\right) $$
  

  Nullára redukálva:
  

  $$ \frac{\partial}{\partial x^k}\left(q_{,i}\frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}}-\delta^k_i \Lambda\right)=0 $$
  

• Energia-impulzus-tenzor:
  
  $$ T^k_i=q_{,i}\frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}}-\delta^k_i \Lambda $$
  

• A $\frac{\partial T^k_i}{\partial x^k}=0$ kontinuitási egyenletet a $t_1$ és $t_2$ időpontok közötti négyestérfogatra integráljuk:
  
  $$ \frac{d P^i}{dt}=0 $$
  
  ahol

  
  

  $$ P^i=\int T^{ik}dS_k $$
  

  a megmaradó négyesimpulzus.

• $T^{ik}$ határozatlan:
  
  $$ T^{ik}+ \frac{\partial}{\partial x^l}\psi^{ikl} $$
  

  is kielégíti a kontinuitási egyenletet, ha $\psi^{ikl}=-\psi^{ilk}$ . A megmaradó négyesimpulzus értékét ez nem befolyásolja, mivel
  

  $$ \int \frac{\partial \psi^{ikl}}{\partial x^l}dS_k= \frac{1}{2} \int \left(dS_k\frac{\partial \psi^{ikl}}{\partial x^l}-dS_l\frac{\partial \psi^{ikl}}{\partial x^k}\right) =\frac{1}{2} \int \psi^{ikl}df^*_{kl}=0 $$
  

  ahol $df^*_{kl}=\epsilon_{klmn}df^{mn}$ a $df^{mn}=dx^{(1)m}dx^{(2)n}-dx^{(1)n}dx^{(2)m}$ négyes felületelem duálisa. A végtelen távoli felületen az integrandus eltűnik.

• Az impulzusmomentum megmaradása (skalár térre):
  • Az impulzusmomentum négyestenzora:
    
    $$ J^{ik}=\int\left(x^idP^k-x^kdP^i\right)= \int\left(x^iT^{kl}-x^kT^{il}\right)dS_l $$
    

  • Az impulzusmomentum megmaradása ekvivalens az impulzusmomentum-sűrűség négyesdivergenciájának eltűnésével:

    
    

    $$ 0=J^{ik}(t_2)-J^{ik}(t_1)=\oint\left(x^iT^{kl}-x^kT^{il}\right)dS_l=\int\frac{\partial}{\partial x^l}\left(x^iT^{kl}-x^kT^{il}\right)d\Omega $$
    

    
    

    $$ \rightarrow \quad \frac{\partial}{\partial x^l}\left(x^iT^{kl}-x^kT^{il}\right)=0 $$
    

    De
    

    $$ \frac{\partial}{\partial x^l}\left(x^iT^{kl}-x^kT^{il}\right) = x^i\frac{\partial T^{kl}}{\partial x^l}-x^k\frac{\partial T^{il}}{\partial x^l}+\delta_l^iT^{kl} -\delta_l^kT^{il}=T^{ki}-T^{ik} $$
    
    tehát az impulzusmomentum megmaradásából $T^{ki}$ szimmetrikussága következik.

4.3. Előkészítés (néhány fontos azonosság levezetése)

• Determináns deriváltja:
  
  $$ \frac{\partial g}{\partial x^k}=\frac{\partial }{\partial x^k}\epsilon^{i_0,i_1,i_2,i_3} g_{0i_0}g_{1i_1}g_{2i_2}g_{3i_3}=\epsilon^{i_0,i_1,i_2,i_3} \frac{\partial g_{0i_0}}{\partial x^k}g_{1i_1}g_{2i_2}g_{3i_3}+... $$
  

  $\frac{\partial g_{0i_0}}{\partial x^k}$ együtthatója
  

  $$ \epsilon^{i_0,i_1,i_2,i_3} g_{1i_1}g_{2i_2}g_{3i_3} $$
  
  a 0. sorhoz és $i_0$-ik oszlophoz tartozó előjeles aldetermináns, azaz $g\;g^{0i_0}$. (Hasonlóan a további tagokra.) Ezzel
  
  $$ \frac{\partial g}{\partial x^k}=g\;g^{ij}\;\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} $$
  
  Mivel $g_{ij}g^{ij}=\delta^j_j=4$ ,
  
  $$ g^{ij} \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} =-g_{ij}\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k} $$
  

• A Christoffel-szimbólum definíciója,
  
  $$ \Gamma^i_{kl}= \frac{1}{2}g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l}+\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m}\right) $$
  
  alapján
  
  $$ \Gamma^i_{ki}= \frac{1}{2}g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{mi}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^m}\right)=\frac{1}{2}g^{im}\frac{\partial g_{mi}}{\partial x^k}=\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^k} $$
  

• Vektor kovariáns négyesdivergenciája:
  
  $$ A^i_{;i}\equiv \frac{D A^i}{Dx^i}= \frac{\partial A^i}{\partial x^i}+\Gamma^i_{ki}A^k=\frac{\partial A^i}{\partial x^i} +\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^k}A^k=\frac{1}{ \sqrt{-g}}\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\;A^i\right)}{\partial x^i} $$
  

4.4. A gravitációs erőtér hatásintegrálja

• A gravitációs tér egyenletei a fizika más ágaiból nem vezethetők le (új fizikai törvények, 1916). Csupán analógiák használhatók motivációként: másodrendű téregyenleteket várunk (első deriváltak a Lagrange-sűrűségben), a Lagrange-sűrűség skalár, térmennyiségek: a metrikus tenzor komponensei.

• Probléma: A metrikus tenzor első deriváltjaiból (Christoffel-szimbólumokból) nem képezhető skalár, a rendelkezésre álló egyetlen nemtriviális skalár mennyiség, a skalár görbület ($R$) viszont második deriváltakat is tartalmaz. Megoldás: mivel $R$ a második deriváltakat csak lineárisan tartalmazza, megmutatjuk, hogy
  
  $$ \int R\sqrt{-g}d\Omega= \int G\sqrt{-g}d\Omega+ \int \frac{\partial \left(\sqrt{-g}\;w^i\right)}{\partial x^i}d\Omega $$
  
  ahol $G$ csak a metrikus tenzor első deriváltjait tartalmazza. (A $w^i$ mennyiség nem transzformálódik vektorként!). Tekintsük ehhez $R\sqrt{-g}$ kifejezésében a másodrendű deriváltakat tartalmazó tagokat:
  
  $$ R\sqrt{-g}= \sqrt{-g}\;g^{ki}\;R^m_{kmi}=\sqrt{-g}\;g^{ki}\;\left( {\underline{ \frac{\partial \Gamma^m_{ki} }{\partial x^m} -\frac{\partial \Gamma^m_{km} }{\partial x^i}}} +\Gamma^m_{nm}\Gamma^n_{ki}-\Gamma^m_{ni}\Gamma^n_{km} \right) $$
  

  Második deriváltak csak a Christoffel-szimbólumok deriváltjaiban szerepelnek. Ezeket a tagokat tovább alakítva:
  $$ \sqrt{-g}\left(g^{km}\;\frac{\partial \Gamma^i_{km} }{\partial x^i} -g^{ki}\;\frac{\partial \Gamma^m_{km} }{\partial x^i}\right) =\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\sqrt{-g}\left[g^{km}\;\Gamma^i_{km}-g^{ki}\;\Gamma^m_{km}\right]\right) $$ $$ -\left(\Gamma^i_{km}\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\;g^{km}\right)}{\partial x^i}-\Gamma^m_{km}\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\;g^{ki} \right)}{\partial x^i}\right) $$
  

  Tehát
  

  $$ w^i=g^{km}\;\Gamma^i_{km}-g^{ki}\;\Gamma^m_{km} $$
  
  és
  
  $$ G=g^{ki}\;\left(\Gamma^m_{nm}\Gamma^n_{ki}-\Gamma^m_{ni}\Gamma^n_{km} \right) +\frac{\Gamma^m_{km}}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\;g^{ki} \right)}{\partial x^i}-\frac{\Gamma^i_{km}}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\;g^{km}\right)}{\partial x^i} $$
  

  A metrikus tenzor deriváltjait kifejezzük a Christoffel szimbólumokkal ($g^{ik}_{;l}=0$):

  
  

  $$ \frac{\partial g^{im}}{\partial x^l}=-\Gamma^i_{kl}\;g^{km}-\Gamma^m_{kl}\;g^{ik} $$
  

  Kapjuk:

  
  $$ G=g^{ki}\;\left(\Gamma^m_{nm}\Gamma^n_{ki}-\Gamma^m_{ni}\Gamma^n_{km} \right) +\Gamma^m_{km}\;\Gamma^n_{in}\;g^{ki}-\Gamma^m_{km}\;\Gamma^i_{ni}\;g^{nk}-\Gamma^m_{km}\;\Gamma^k_{ni}\;g^{in}$$$$ {\underline{-\Gamma^i_{km}\;\Gamma^n_{in}\;g^{km}}}+\Gamma^i_{km}\;\Gamma^k_{ni}\;g^{nm}{\underline{+\Gamma^i_{km}\;\Gamma^m_{ni}\;g^{kn}}} $$
  

  Tehát
  
  $$ G=g^{ki}\;\left(\Gamma^m_{ni}\Gamma^n_{km}-\Gamma^m_{nm}\Gamma^n_{ki} \right) $$
  

• A Lagrange-sűrűség
  
  $$ -\frac{c^3}{16\pi k}R\sqrt{-g} $$
  

  A negatív előjel biztosítja, hogy a hatás pozitív definit legyen. $k=6.67\times 10^{-11} \frac{{\rm m^3}}{{\rm kg s^2}}$ a gravitációs állandó.

4.5. Energia-impulzus-tenzor

• Új levezetést adunk az energia-impulzus-tenzorra, amely azonnal szimmetrikus$T_{ik}$-t eredményez

• Gondolatmenet:
  • Végtelen kis általános koordinátatranszformációt végzünk.
  • Ennek következtében az anyag hatásfüggvénye (mivel a Lagrange-sűrűség skalár) nem változhat, $\delta S=0$.
  • Felírjuk a hatás koordinátatranszformációból eredő megváltozását és egyenlővé tesszük nullával.
  • Az anyagot jellemző térmennyiségek (pl. elektromágneses térerősségtenzor) kielégítik a mozgásegyenleteket, így a koordinátatranszformációból eredő megváltozásuk a hatás kifejezésében első rendben nem ad járulékot.
  • Csak a metrika megváltozása eredményez nemtriviális változást. Eredmény: egy szimmetrikus tenzor ($T_{ik}$) kovariáns négyesdivergenciája nulla. (Ez most nem jelenti automatikusan megmaradó mennyiség létezését!)

• 
  
  $$ S=\frac{1}{c}\int \Lambda\sqrt{-g}\;d\Omega $$
  

• Infinitezimális koordinátatranszformáció:
  
  $$ x'^i=x^i+\xi^i $$
  

  ($\xi^i$ kicsi)

  
  

  $$ dx'^i=dx^i+\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}dx^l=\left(\delta^i_l+\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}\right)dx^l $$
  

• 
  
  $$ g'^{ik}(x'^l)=g^{mn}(x^l)\left(\delta^i_m+\frac{\partial \xi^i}{\partial x^m}\right)\left(\delta^k_n+\frac{\partial \xi^k}{\partial x^n}\right)\approx g^{ik}(x^l)+g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m} +g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} $$
  

  Átalakítjuk a baloldalt:
  

  $$ g'^{ik}(x'^l)=g'^{ik}(x^l+\xi^l)=g'^{ik}(x^l)+\frac{\partial g'^{ik}}{\partial x^l}\xi^l\approx g'^{ik}(x^l)+\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\xi^l $$
  

  Végül tehát

  
  

  $$ g'^{ik}(x^l)=g^{ik}(x^l)-\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\xi^l+g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m} +g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} $$
  

  
  $$ \xi^{i;k}+\xi^{k;i}=g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n}+g^{km}\Gamma^i_{ml}\xi^l +g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{im}\Gamma^k_{ml}\xi^l$$$$ =g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} +\left(g^{km}g^{in}+g^{im}g^{kn}\right)\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{nm}}{\partial x^l}+\frac{\partial g_{nl}}{\partial x^m} -\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^n}\right)\xi^l $$$$ =g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} +g^{km}g^{in}\frac{\partial g_{nm}}{\partial x^l}\xi^l=g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} -g^{km}g_{nm}\frac{\partial g^{in}}{\partial x^l}\xi^l$$$$ =g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} -\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\xi^l $$
  

  Tehát
  
  $$ g'^{ik}(x^l)=g^{ik}(x^l)+\delta g^{ik}(x^l)\;,\quad\quad \delta g^{ik}=\xi^{i;k}+\xi^{k;i} $$
  

  Hasonlóan (mivel $g'^{ik}g'_{kl}=\delta^i_l$ )

  
  

  $$ g'_{ik}(x^l)=g_{ik}(x^l)+\delta g_{ik}(x^l)\;,\quad\quad \delta g_{ik}=-\xi_{i;k}-\xi_{k;i} $$
  

• 
  $$ \delta S=\frac{1}{c}\int \left\{\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik} +\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\right)}\delta \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l} \right)\right\}d\Omega$$$$ =\frac{1}{c}\int \left\{\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial g^{ik}} -\frac{\partial }{\partial x^l}\left(\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\right)}\right)\right\}\delta g^{ik}\;d\Omega $$
  

• Legyen

  
  

  $$ T_{ik}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\left\{\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial g^{ik}} -\frac{\partial }{\partial x^l}\left(\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\right)}\right)\right\} $$
  

  (Szimmetrikus!)

• Ekkor

  
  

  $$ \delta S=\frac{1}{2c}\int T_{ik}\delta g^{ik}\;\sqrt{-g}\;d\Omega $$
  

• $\delta g^{ik}$ kifejezését behelyettesítve:

  
  

  $$ \delta S=\frac{1}{2c}\int T_{ik}\left(\xi^{i;k}+\xi^{k;i}\right)\;\sqrt{-g}\;d\Omega $$
  

  Másképpen:
  $$ \delta S=\frac{1}{c}\int T_{ik}\xi^{i;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega=\frac{1}{c}\int T^k_{i}\xi^{i}_{;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega$$$$ =\frac{1}{c}\int \left(T^k_{i}\xi^{i}\right)_{;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega -\frac{1}{c}\int \xi^{i}\;T^k_{i;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega $$
  

  Az első tagban felhasználjuk a vektorok kovariáns négyesdivergenciájára vonatkozó azonosságot. Kapjuk:

  
  

  $$ \int \left(T^k_{i}\xi^{i}\right)_{;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega=\int \frac{\partial }{\partial x^k}\left(\sqrt{-g}\;T^k_{i}\xi^{i}\right)\;d\Omega $$
  

  Ezt a négydimenziós Gauss-tétel segítségével átalakítva nullát kapunk.

• Marad:

  
  

  $$ \delta S=-\frac{1}{c}\int \xi^{i}\;T^k_{i;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega $$
  

  Mivel $\xi^{i}$ tetszőleges,

  
  

  $$ T^k_{i;k}=0 $$
  

  következik. Ez sík téridőben az energia-impulzus-tenzor kontinuitási egyenletével azonos alakú.