Bevezetés az általános relativitáselméletbe

Bene Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

2002. november 4.

5. Előadás

5.1. Ismétlés

• A gravitációs tér Lagrange-sűrűsége −\frac{c^{3}}{16πk}R\sqrt{−g}

• Az anyag szimmetrikus energia-impulzus tenzora

T_{ik} = \frac{2}{\sqrt{−g}} \{\frac{∂ (\sqrt{−g}Λ)}{∂g^{ik}} − \frac{∂}{∂x^{l}} (\frac{∂ (\sqrt{−g}Λ)}{∂ (\frac{∂g^{ik}}{∂x^{l}})})\}

•

T_{i;k}^{k} = 0

5.2. Példák energia-impulzus-tenzorra

• Elektromágneses tér Lagrange-sűrűség (\sqrt{−g} nélkül):

Λ = −\frac{ϵ_{0}}{4}F_{ik}F^{ik}

Energia-impulzus-tenzor:

T_{ik} = ϵ_{0} (−F_{il}F_{k}^{l} + \frac{1}{4}F_{lm}F^{lm}g_{ik})

• Makroszkopikus anyag (por, gáz, folyadék stb.) T_{ik} = (p + ϵ)u_{i}u_{k} − p g_{ik}

5.3. Az Einstein-egyenletek, származtatásuk, tulajdonságaik

• Variációs elv:

δ(S_{g} + S_{m}) = 0

A metrikus tenzor komponensei szerint variálunk. •

δS_{g} ∝ δ ∫ R\sqrt{−g}dΩ = δ ∫ g^{ik}R_{ik}\sqrt{−g}dΩ
= ∫ (R_{ik}\sqrt{−g}δg^{ik} + g^{ik}R_{ik}δ\sqrt{−g} + g^{ik}\sqrt{−g}δR_{ik}) dΩ

•

δ\sqrt{−g} = −\frac{1}{2}\sqrt{−g} g_{ik} δg^{ik}

•

δ ∫ R\sqrt{−g}dΩ = ∫ (R_{ik} − \frac{1}{2}g_{ik}R) δg^{ik}dΩ + ∫ g^{ik}δR_{ik} \sqrt{−g}dΩ

• Megmutatjuk, hogy a második tag eltűnik:

– δΓ_{il}^{k}A_{k}dx^{l} vektor, mert azonos pontokban levő vektorok különbsége. Eszerint δΓ_{il}^{k} tenzor.

– Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk. Ekkor a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek.

–

g^{ik}δR_{ik} = g^{ik} (\frac{∂}{∂x^{l}} δΓ_{ik}^{l} − \frac{∂}{∂x^{k}} δΓ_{il}^{l}) = \frac{∂w^{l}}{∂x^{l}}

ahol

w^{l} = g^{ik}δΓ_{ik}^{l} − g^{il}δΓ_{ik}^{k}

– Általános esetben tehát

g^{ik}δR_{ik} = \frac{1}{\sqrt{−g}} \frac{∂ (\sqrt{−g} w^{l})}{∂x^{l}}

A Gauss-tételt alkalmazva bizonyítjuk az eredeti állítást.

• Tehát

δS_{g} = −\frac{c^{3}}{16πk} ∫ (R_{ik} − \frac{1}{2}g_{ik}R) δg^{ik}dΩ

• Az anyag hatásintegráljának variációja (ld. az energia-impulzus-tenzor levezetését):

δS_{m} = \frac{1}{2c} ∫ T_{ik}δg^{ik} \sqrt{−g} dΩ

• Végül tehát a teljes variáció:

−\frac{c^{3}}{16πk} ∫ (R_{ik} − \frac{1}{2}g_{ik}R − \frac{8πk}{c^{4}}T_{ik}) δg^{ik}dΩ

amiből megkapjuk az Einstein-egyenleteket:

R_{ik} − \frac{1}{2}g_{ik}R = \frac{8πk}{c^{4}}T_{ik}

Másképpen:

R_{i}^{k} − \frac{1}{2}δ_{i}^{k}R = \frac{8πk}{c^{4}}T_{i}^{k}

Az indexeket összeejtve:

R = −\frac{8πk}{c^{4}}T

Ezért írhatjuk:

R_{ik} = \frac{8πk}{c^{4}} (T_{ik} − \frac{1}{2}g_{ik}T )

• Az Einstein-egyenletek tulajdonságai – nemlinearitás

– anyag és gravitációs tér kezdeti értékei nem függetlenek

– csak a metrikus tenzor térszerű komponenseinek fordul elő a második időderiváltja – összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg