\documentclass{article}
\oddsidemargin -2cm
\evensidemargin -2cm
\textwidth 18cm
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{graphicx}% Include figure files
\usepackage{dcolumn}% Align table columns on decimal point
\usepackage{bm}% bold math
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\title{Bevezetés az általános relativitáselméletbe}
\vskip0.5cm
\author{Bene Gyula\\Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék\\
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A}

\maketitle


\Large



\centerline{\bf \huge 5. Előadás}

{\bf 5.1. Ismétlés}

\begin{itemize}
\item A gravitációs tér Lagrange-sűrűsége $-\frac{c^3}{16\pi k}R\sqrt{-g}$
\item Az anyag szimmetrikus energia-impulzus tenzora
$$T_{ik}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\left\{\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial g^{ik}}
-\frac{\partial }{\partial x^l}\left(\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\right)}\right)\right\}$$
\item $$T^k_{i;k}=0$$ 
\end{itemize}

{\bf 5.2. Példák energia-impulzus-tenzorra}

\begin{itemize}
\item Elektromágneses tér

Lagrange-sűrűség ($\sqrt{-g}$ nélkül):
$$\Lambda=-\frac{\epsilon_0}{4}F_{ik}F^{ik}$$

Energia-impulzus-tenzor:
$$T_{ik}=\epsilon_0\left(-F_{il}F_k^l+\frac{1}{4}F_{lm}F^{lm}g_{ik}\right)$$

\item Makroszkopikus anyag (por, gáz, folyadék stb.)
$$T_{ik}=(p+\epsilon)u_iu_k-p\;g_{ik}$$
\end{itemize}

{\bf 5.3. Az Einstein-egyenletek, származtatásuk, tulajdonságaik}

\begin{itemize}
\item Variációs elv: $$\delta (S_g+S_m)=0$$

A metrikus tenzor komponensei szerint variálunk.

\item 
\begin{eqnarray}
\delta S_g\propto \delta \int R\sqrt{-g}d\Omega = \delta \int g^{ik}R_{ik}\sqrt{-g}d\Omega \nonumber\\
=\int \left(R_{ik}\sqrt{-g} \delta g^{ik}+ g^{ik}R_{ik}\delta  \sqrt{-g}+g^{ik}\sqrt{-g}\delta R_{ik}\right)d\Omega 
\nonumber
\end{eqnarray}

\item $$\delta  \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\;g_{ik}\;\delta g^{ik}$$

\item $$\delta \int R\sqrt{-g}d\Omega = \int \left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R\right)\delta g^{ik}d\Omega 
+\int g^{ik}\delta R_{ik}\;\sqrt{-g}d\Omega$$

\item Megmutatjuk, hogy a második tag eltűnik:
\begin{itemize}
\item $\delta \Gamma^k_{il}A_k dx^l$ vektor, mert azonos pontokban levő vektorok különbsége. Eszerint 
$\delta \Gamma^k_{il}$ tenzor.
\item Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk. Ekkor a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek.
\item $$g^{ik}\delta R_{ik}=g^{ik}\left(\frac{\partial }{\partial x^l}\delta \Gamma^l_{ik}
-\frac{\partial }{\partial x^k}\delta \Gamma^l_{il}
\right)=\frac{\partial w^l}{\partial x^l}$$

ahol

$$w^l=g^{ik}\delta \Gamma^l_{ik}-g^{il}\delta \Gamma^k_{ik}$$
\item Általános esetben tehát
$$g^{ik}\delta R_{ik}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\left(\sqrt{-g}\; w^l\right)}{\partial x^l}$$
A Gauss-tételt alkalmazva bizonyítjuk az eredeti állítást.
\end{itemize}

\item Tehát 
$$\delta S_g=-\frac{c^3}{16\pi k}\int \left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R\right)\delta g^{ik}d\Omega$$

\item Az anyag hatásintegráljának variációja (ld. az energia-impulzus-tenzor leve\-ze\-tését):

$$\delta S_m=\frac{1}{2c}\int T_{ik}\delta g^{ik}\;\sqrt{-g}\;d\Omega$$

\item Végül tehát a teljes variáció:

$$-\frac{c^3}{16\pi k}\int \left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R-\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik}\right)\delta g^{ik}d\Omega$$

amiből megkapjuk az {\bf Einstein-egyenletek}et:

$$R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R=\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik}$$ 

Másképpen:

$$R^k_{i}-\frac{1}{2}\delta^k_{i}R=\frac{8\pi k}{c^4} T^k_{i}$$

Az indexeket összeejtve:

$$R=-\frac{8\pi k}{c^4} T$$

Ezért írhatjuk:

$$R_{ik}=\frac{8\pi k}{c^4} \left(T_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}T\right)$$
\item Az Einstein-egyenletek tulajdonságai
\begin{itemize}
\item nemlinearitás
\item anyag és gravitációs tér kezdeti értékei nem függetlenek 
\item csak a metrikus tenzor térszerű komponenseinek fordul elő a második időderiváltja
\item összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{document}












