Általános relativitáselmélet

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

5. Előadás

5.1. Ismétlés

• A gravitációs tér Lagrange-sűrűsége $-\frac{c^3}{16\pi k}R\sqrt{-g}$
• Az anyag szimmetrikus energia-impulzus tenzora
  
  $$ T_{ik}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\left\{\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial g^{ik}} -\frac{\partial }{\partial x^l}\left(\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\right)}\right)\right\} $$
  

• 
  
  $$ T^k_{i;k}=0 $$
  

5.2. Példák energia-impulzus-tenzorra

• Elektromágneses tér

  Lagrange-sűrűség ($\sqrt{-g}$ nélkül):
  

  $$ \Lambda=-\frac{\epsilon_0}{4}F_{ik}F^{ik} $$
  

  Energia-impulzus-tenzor:
  

  $$ T_{ik}=\epsilon_0\left(-F_{il}F_k^l+\frac{1}{4}F_{lm}F^{lm}g_{ik}\right) $$
  

• Makroszkopikus anyag (por, gáz, folyadék stb.)
  
  $$ T_{ik}=(p+\epsilon)u_iu_k-p\;g_{ik} $$
  

5.3. Az Einstein-egyenletek, származtatásuk, tulajdonságaik

• Variációs elv:
  
  $$ \delta (S_g+S_m)=0 $$
  

  A metrikus tenzor komponensei szerint variálunk.

• 
  $$ \delta S_g\propto \delta \int R\sqrt{-g}d\Omega = \delta \int g^{ik}R_{ik}\sqrt{-g}d\Omega $$$$ =\int \left(R_{ik}\sqrt{-g} \delta g^{ik}+ g^{ik}R_{ik}\delta \sqrt{-g}+g^{ik}\sqrt{-g}\delta R_{ik}\right)d\Omega $$
  

• 
  
  $$ \delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\;g_{ik}\;\delta g^{ik} $$
  

• 
  
  $$ \delta \int R\sqrt{-g}d\Omega = \int \left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R\right)\delta g^{ik}d\Omega +\int g^{ik}\delta R_{ik}\;\sqrt{-g}d\Omega $$
  

• Megmutatjuk, hogy a második tag eltűnik:
  • $\delta \Gamma^k_{il}A_k dx^l$ vektor, mert azonos pontokban levő vektorok különbsége. Eszerint $\delta \Gamma^k_{il}$ tenzor.
  • Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk. Ekkor a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek.
  • 
    
    $$ g^{ik}\delta R_{ik}=g^{ik}\left(\frac{\partial }{\partial x^l}\delta \Gamma^l_{ik} -\frac{\partial }{\partial x^k}\delta \Gamma^l_{il} \right)=\frac{\partial w^l}{\partial x^l} $$
    

    ahol

    
    

    $$ w^l=g^{ik}\delta \Gamma^l_{ik}-g^{il}\delta \Gamma^k_{ik} $$
    

  • Általános esetben tehát
    
    $$ g^{ik}\delta R_{ik}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\left(\sqrt{-g}\; w^l\right)}{\partial x^l} $$
    
    A Gauss-tételt alkalmazva bizonyítjuk az eredeti állítást.

• Tehát
  
  $$ \delta S_g=-\frac{c^3}{16\pi k}\int \left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R\right)\delta g^{ik}d\Omega $$
  

• Az anyag hatásintegráljának variációja (ld. az energia-impulzus-tenzor levezetését):

  
  

  $$ \delta S_m=\frac{1}{2c}\int T_{ik}\delta g^{ik}\;\sqrt{-g}\;d\Omega $$
  

• Végül tehát a teljes variáció:

  
  

  $$ -\frac{c^3}{16\pi k}\int \left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R-\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik}\right)\delta g^{ik}d\Omega $$
  

  amiből megkapjuk az Einstein-egyenleteket:

  
  

  $$ R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R=\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik} $$
  

  Másképpen:

  
  

  $$ R^k_{i}-\frac{1}{2}\delta^k_{i}R=\frac{8\pi k}{c^4} T^k_{i} $$
  

  Az indexeket összeejtve:

  
  

  $$ R=-\frac{8\pi k}{c^4} T $$
  

  Ezért írhatjuk:

  
  

  $$ R_{ik}=\frac{8\pi k}{c^4} \left(T_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}T\right) $$
  

• Az Einstein-egyenletek tulajdonságai
  • nemlinearitás
  • anyag és gravitációs tér kezdeti értékei nem függetlenek
  • csak a metrikus tenzor térszerű komponenseinek fordul elő a második időderiváltja
  • összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg