Bevezetés az általános relativitáselméletbe

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

6. Előadás

6.1. Ismétlés

• Az Einstein-egyenletek levezetése variációs elvből:
  
  $$\delta \int \left(\frac{1}{c}\Lambda -\frac{c^3}{16\pi k}R\right)\sqrt{-g}d\Omega=0$$
  
  
  (a metrikus tenzor komponensei szerint variálunk)
• 
  
  $$R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R=\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik}$$
  
  

• Az Einstein-egyenletek tulajdonságai (nemlinearitás, anyag és gravitációs tér kezdeti értékei nem függetlenek, csak a metrikus tenzor térszerű komponenseinek fordul elő a második időderiváltja, összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg)

6.2. Megmaradási tételek. Az energia, impulzus, impulzusmomentum, tömegközéppont megmaradása gravitációs térben.

• Görbült téridőben az energia-impulzus-tenzor a
  
  $$T^{ik}_{;k}=0$$
  
  
  koninuitási egyenletnek tesz eleget, ami felírható
  
  $$T^{k}_{i;k}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \left(T^{k}_{i}... ...l x^k}- \frac{1}{2}\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}T^{kl}=0$$
  
  
  alakban. Ebből nem következik megmaradási tétel!

• Magyarázat: csak a gravitációs tér és az anyag együttes energiája és impulzusa marad meg.

• A megmaradó, teljes négyesimpulzus meghatározása

  Az Einstein-egyenletek felhasználásával olyan kifejezést keresünk, amely a gravitációs tér kikapcsolásakor (azaz lokálisan geodetikus rendszerben) az anyag $T^{ik}$ energia-impulzus-tenzorába megy át, térfogati integrálja megmaradó mennyiség, és melynek általános esetben $T^{ik}$-tól való eltérése a metrikának legfeljebb első deriváltjaitól függ.

  • Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk (az adott pontban a metrikus tenzor első deriváltjai ill. a Christoffel-szimbólumok eltűnnek)
  • Az adott pontban
    
    $$T^{ik}_{;k}=\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k}=0$$
    
    

  • $T^{ik}$-t az Einstein-egyenletek segítségével
    
    $$T^{ik}=\frac{\partial \eta^{ikl}}{\partial x^l}$$
    
    
    alakra hozzuk (még mindig lokálisan geodetikus rendszerben), ahol
    
    $$\eta^{ikl}=-\eta^{ilk}$$
    
    
    (Ekkor a kontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)

    Ehhez

    • kiindulunk az Einstein-egyenletekből:
      
      $$T^{ik}=\frac{c^4}{8\pi k}\left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R\right)$$
      
      

    • Felhasználjuk, hogy lokálisan geodetikus rendszerben
      
      $$R^{ik} = \frac{1}{2}\;g^{im}g^{kp}g^{ln}\left\{\frac{\partial... ...} -\frac{\partial^2 g_{mp}}{\partial x^l \partial x^n} \right\}$$
      
      

    • Kapjuk:
      
      $$T^{ik}=\frac{\partial}{\partial x^l}\left\{\frac{c^4}{16\pi k... ...\left[(-g)\left(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km}\right)\right]\right\}$$
      
      
      ( $\{..\}=\eta^{ikl}$)
  • Legyen
    
    $$\lambda^{iklm}=\frac{c^4}{16\pi k}(-g)\left(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km}\right)$$
    
    
    és
    
    $$b^{ikl}=\frac{\partial}{\partial x^m}\lambda^{iklm}$$
    
    

    ( $\eta^{ikl}=\frac{1}{(-g)}b^{ikl}$)

  • Lokálisan geodetikus rendszerben
    
    $$T^{ik}=\frac{1}{(-g)}\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}$$
    
    
    vagy
    
    $$(-g)T^{ik}=\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}$$
    
    

  • Visszatérünk általános görbevonalú koordinátákra. Ekkor
    
    $$(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)=\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}$$
    
    
    ahol $t^{ik}$ csak a metrikus tenzor első deriváltjaitól függ. Expliciten ($T^{ik}$-t ismét a téregyenletből véve):
    

    $$t^{ik}=\frac{c^4}{16\pi k}\left\{\left(g^{il}g^{km}-g^{ik}g^{lm}\... ...amma^p_{np}-\Gamma^n_{lp}\Gamma^p_{mn}-\Gamma^n_{ln}\Gamma^p_{mp}\right)\right.$$

    $$+\left.g^{il}g^{mn}\left(\Gamma^k_{lp}\Gamma^p_{mn}+\Gamma^k_{mn}\Gamma^p_{lp}-\Gamma^k_{np}\Gamma^p_{lm} -\Gamma^k_{lm}\Gamma^p_{np}\right)\right.$$

    $$+\left.g^{kl}g^{mn}\left(\Gamma^i_{lp}\Gamma^p_{mn}+\Gamma^i_{mn}\Gamma^p_{lp}-\Gamma^i_{np}\Gamma^p_{lm} -\Gamma^i_{lm}\Gamma^p_{np}\right)\right.$$

    $$+\left.g^{lm}g^{np}\left(\Gamma^i_{ln}\Gamma^k_{mp}-\Gamma^i_{lm}\Gamma^k_{np}\right) \right\}\mbox{\hspace{4cm}}$$

    
    
    $t^{ik}$ a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora.
  • Mivel
    
    $$b^{ikl}=-b^{ilk}$$
    
    
    azonosan teljesül, hogy
    
    $$\frac{\partial}{\partial x^k}(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)=0$$
    
    
    Emiatt

    
    

    $$P^i=\frac{1}{c}\int (-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)dS_k$$
    
    
    megmaradó mennyiség. Ez az anyag és a gravitációs tér együttes ``négyesimpulzusa''. (Ténylegesen nem négyesvektor, mivel a négyesvektorok a tér különböző pontjaiban különbözőképpen transzformálódnak, $P^i$ pedig egy teljes háromdimenziós hiperfelülethez tartozik.)
• Mivel $(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)$ szimmetrikus az $i,k$ indexekben, megmarad a négyes impulzusmomentum:
  
  $$J^{ik}=\int \left(x^idP^k-x^kdP^i\right)=\frac{1}{c}\int \lef... ...kl}+t^{kl}\right) -x^k\left(T^{il}+t^{il}\right)\right](-g)dS_l$$
  
  

• A tömegközéppont megmaradása a $J^{0\alpha}$ mennyiség megmaradásának felel meg:
  
  $$x^0\int \left(T^{\alpha 0}+t^{\alpha 0}\right)(-g)dV-\int x^\alpha\left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV=const.$$
  
  
  Másképpen:
  
  $$X^\alpha=const.'+\frac{P^\alpha}{P^0}x^0$$
  
  
  ahol
  
  $$X^\alpha=\frac{\int x^\alpha\left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV}{\int \left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV}$$
  
  

• A négyesimpulzus és a négyes impulzusmomentum kifejezése felületi integrálként:
  
  $$P^i=\frac{1}{c}\int \frac{\partial b^{i0l}}{\partial x^l}dV=\... ...\partial x^\alpha}dV= \frac{1}{c}\oint b^{i0\alpha}df_{\alpha}$$
  
  
  Hasonlóan belátható, hogy
  
  $$J^{ik}=\frac{1}{c}\oint \left(x^ib^{k0\alpha}-x^kb^{i0\alpha}+\lambda^{i0\alpha k}\right)df_{\alpha}$$
  
  

• Nemrelativisztikus határeset:
  • Ívelemnégyzet (levezetés később):
    
    $$ds^2=\left(1+\frac{2}{c^2}\varphi({\bm r})\right)c^2dt^2-\lef... ...\frac{2}{c^2}\varphi({\bm r})\right)\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)$$
    
    
    Itt
    
    $$\varphi({\bm r})=-k\sum_a \frac{m_a}{\vert\bm r-\bm r_a\vert}$$
    
    

  • Energia
  • Impulzus
  • Tömegközéppont
  • Impulzusmomentum