Bevezetés az általános relativitáselméletbe

Bene Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

2002. november 8.

6. Előadás

6.1. Ismétlés

• Az Einstein-egyenletek levezetése variációs elvből:

δ ∫ (\frac{1}{c}Λ − \frac{c^{3}}{16πk}R) \sqrt{−g}dΩ = 0

(a metrikus tenzor komponensei szerint variálunk)

•

R_{ik} − \frac{1}{2}g_{ik}R = \frac{8πk}{c^{4}}T_{ik}

• Az Einstein-egyenletek tulajdonságai (nemlinearitás, anyag és gravitációs tér kezdeti értékei nem függetlenek, csak a metrikus tenzor térszerű komponenseinek fordul elő a második időderiváltja, összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg)

6.2. Megmaradási tételek. Az energia, impulzus, impulzusmomentum, tömegközéppont megmaradása gravitációs térben.

• Görbült téridőben az energia-impulzus-tenzor a

T_{;k}^{ik} = 0 koninuitási egyenletnek tesz eleget, ami felírható

T_{i;k}^{k} = \frac{1}{\sqrt{−g}} \frac{∂ (T_{i}^{k}\sqrt{−g})}{∂x^{k}} − \frac{1}{2} \frac{∂g_{kl}}{∂x^{i}} T^{kl} = 0

alakban. Ebből nem következik megmaradási tétel!

• Magyarázat: csak a gravitációs tér és az anyag együttes energiája és impulzusa marad meg.

• A megmaradó, teljes négyesimpulzus meghatározása Az Einstein-egyenletek felhasználásával olyan kifejezést keresünk, amely a gravitációs tér kikapcsolásakor (azaz lokálisan geodetikus rendszerben) az anyag T^{ik} energiaimpulzus-tenzorába megy át, térfogati integrálja megmaradó mennyiség, és melynek általános esetben T^{ik}-tól való eltérése a metrikának legfeljebb első deriváltjaitól függ.

– Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk (az adott pontban a metrikus tenzor első deriváltjai ill. a Christoffel-szimbólumok eltűnnek)

– Az adott pontban

T_{;k}^{ik} = \frac{∂T^{ik}}{∂x^{k}} = 0

– T^{ik}-t az Einstein-egyenletek segítségével

T^{ik} = \frac{∂η^{ikl}}{∂x^{l}}

alakra hozzuk (még mindig lokálisan geodetikus rendszerben), ahol

η^{ikl} = −η^{ilk}

(Ekkor a kontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)

Ehhez

∗ kiindulunk az Einstein-egyenletekből:

T^{ik} = \frac{c^{4}}{8πk} (R_{ik} − \frac{1}{2}g_{ik}R)

∗ Felhasználjuk, hogy lokálisan geodetikus rendszerben

R^{ik} = \frac{1}{2} g^{im}g^{kp}g^{ln} \{\frac{∂^{2}g_{lp}}{∂x^{m}∂x^{n}} + \frac{∂^{2}g_{mn}}{∂x^{l}∂x^{p}} − \frac{∂^{2}g_{ln}}{∂x^{m}∂x^{p}} − \frac{∂^{2}g_{mp}}{∂x^{l}∂x^{n}}\}

∗ Kapjuk:

T^{ik} = \frac{∂}{∂x^{l}} \{\frac{c^{4}}{16πk} \frac{1}{(−g)} \frac{∂}{∂x^{m}} [(−g) (g^{ik}g^{lm} − g^{il}g^{km})]\}

({..} = η^{ikl})

– Legyen

λ^{iklm} = \frac{c^{4}}{16πk}(−g) (g^{ik}g^{lm} − g^{il}g^{km})

és

b^{ikl} = \frac{∂}{∂x^{m}}λ^{iklm}

(η^{ikl} = \frac{1}{(−g)}b^{ikl})

– Lokálisan geodetikus rendszerben

T^{ik} = \frac{1}{(−g)} \frac{∂b^{ikl}}{∂x^{l}}

vagy

(−g)T^{ik} = \frac{∂b^{ikl}}{∂x^{l}}

– Visszatérünk általános görbevonalú koordinátákra. Ekkor

(−g) (T^{ik} + t^{ik}) = \frac{∂b^{ikl}}{∂x^{l}}

ahol t^{ik} csak a metrikus tenzor első deriváltjaitól függ. Expliciten (T^{ik}-t ismét a téregyenletből véve):

t^{ik} = \frac{c^{4}}{16πk} \{(g^{il}g^{km} − g^{ik}g^{lm}) (2Γ_{lm}^{n}Γ_{np}^{p} − Γ_{lp}^{n}Γ_{mn}^{p} − Γ_{ln}^{n}Γ_{mp}^{p})

+ g^{il}g^{mn} (Γ_{lp}^{k}Γ_{mn}^{p} + Γ_{mn}^{k}Γ_{lp}^{p} − Γ_{np}^{k}Γ_{lm}^{p} − Γ_{lm}^{k}Γ_{np}^{p})
+ g^{kl}g^{mn} (Γ_{lp}^{i}Γ_{mn}^{p} + Γ_{mn}^{i}Γ_{lp}^{p} − Γ_{np}^{i}Γ_{lm}^{p} − Γ_{lm}^{i}Γ_{np}^{p})
+ g^{lm}g^{np} (Γ_{ln}^{i}Γ_{mp}^{k} − Γ_{lm}^{i}Γ_{np}^{k})}

t^{ik} a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora.

– Mivel

b^{ikl} = −b^{ilk}

azonosan teljesül, hogy

\frac{∂}{∂x^{k}} (−g) (T^{ik} + t^{ik}) = 0

Emiatt

P^{i} = \frac{1}{c} ∫ (−g) (T^{ik} + t^{ik}) dS_{k}

megmaradó mennyiség. Ez az anyag és a gravitációs tér együttes “négyesimpulzusa”. (Ténylegesen nem négyesvektor, mivel a négyesvektorok a tér különböző pontjaiban különbözőképpen transzformálódnak, P^{i} pedig egy teljes háromdimenziós hiperfelülethez tartozik.)

• Mivel (−g) (T^{ik} + t^{ik}) szimmetrikus az i, k indexekben, megmarad a négyes impulzusmomentum:

J^{ik} = ∫ (x^{i}dP^{k} − x^{k}dP^{i}) = \frac{1}{c} ∫ [x^{i} (T^{kl} + t^{kl}) − x^{k} (T^{il} + t^{il})] (−g)dS_{l}

• A tömegközéppont megmaradása a J^{0α} mennyiség megmaradásának felel meg:

x^{0} ∫ (T^{α0} + t^{α0}) (−g)dV − ∫ x^{α} (T^{00} + t^{00}) (−g)dV = const.

Másképpen:

X^{α} = const.′ + \frac{P^{α}}{P^{0}}x^{0}

ahol

X^{α} = \frac{∫ x^{α} (T^{00} + t^{00}) (−g)dV}{∫ (T^{00} + t^{00}) (−g)dV}

• A négyesimpulzus és a négyes impulzusmomentum kifejezése felületi integrálként:

P^{i} = \frac{1}{c} ∫ \frac{∂b^{i0l}}{∂x^{l}} dV = \frac{1}{c} ∫ \frac{∂b^{i0α}}{∂x^{α}}dV = \frac{1}{c} ∮ b^{i0α}df_{α}

Hasonlóan belátható, hogy

J^{ik} = \frac{1}{c} ∮ (x^{i}b^{k0α} − x^{k}b^{i0α} + λ^{i0αk}) df_{α}

• Nemrelativisztikus határeset:

– Ívelemnégyzet (levezetés később):

ds^{2} = (1 + \frac{2}{c^{2}}φ(r)) c^{2}dt^{2} − (1 − \frac{2}{c^{2}}φ(r)) (dx^{2} + dy^{2} + dz^{2})

Itt

φ(r) = −k ∑_{a} \frac{m_{a}}{|r − r_{a}|}

– Energia

– Impulzus

– Tömegközéppont

– Impulzusmomentum