\documentclass{article}
\oddsidemargin -2cm
\evensidemargin -2cm
\textwidth 18cm
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{graphicx}% Include figure files
\usepackage{dcolumn}% Align table columns on decimal point
\usepackage{bm}% bold math
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\title{Bevezetés az általános relativitáselméletbe}
\vskip0.5cm
\author{Bene Gyula\\Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék\\
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A}

\maketitle


\Large



\centerline{\bf \huge 6. Előadás}

{\bf 6.1. Ismétlés}
\begin{itemize}
\item Az Einstein-egyenletek levezetése variációs elvből:
$$\delta \int \left(\frac{1}{c}\Lambda -\frac{c^3}{16\pi k}R\right)\sqrt{-g}d\Omega=0$$
(a metrikus tenzor komponensei szerint variálunk)
\item $$R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R=\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik}$$
\item Az Einstein-egyenletek tulajdonságai (nemlinearitás, anyag és gravitációs tér kezdeti értékei nem függetlenek, 
csak a metrikus tenzor térszerű komponenseinek fordul elő a második időderiváltja, 
összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg)  
\end{itemize}
{\bf 6.2. Megmaradási tételek. Az energia, impulzus, impulzusmomentum, tömegközéppont megmaradása gravitációs térben.}
\begin{itemize}
\item Görbült téridőben az energia-impulzus-tenzor a
$$T^{ik}_{;k}=0$$
koninuitási egyenletnek tesz eleget,
ami felírható
$$T^{k}_{i;k}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \left(T^{k}_{i}\sqrt{-g}\right)}{\partial x^k}-
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}T^{kl}=0$$
alakban. Ebből nem következik megmaradási tétel! 

\item Magyarázat: csak a gravitációs tér és az anyag együttes energiája és impulzusa marad meg. 

\item A megmaradó, teljes négyesimpulzus meghatározása 

Az Einstein-egyenletek felhasználásával olyan kifejezést keresünk, amely a gravitációs tér kikapcsolásakor 
(azaz lokálisan geodetikus rendszerben) az anyag $T^{ik}$ energia-impulzus-tenzorába megy át, térfogati integrálja megmaradó mennyiség, és melynek általános esetben $T^{ik}$-tól való eltérése a metrikának legfeljebb első deriváltjaitól függ.   
\begin{itemize}
\item Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk (az adott pontban a metrikus tenzor első deriváltjai 
ill. a Christoffel-szimbólumok eltűnnek)
\item Az adott pontban 
$$T^{ik}_{;k}=\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k}=0$$
\item $T^{ik}$-t az Einstein-egyenletek segítségével
$$T^{ik}=\frac{\partial \eta^{ikl}}{\partial x^l}$$
alakra hozzuk (még mindig lokálisan geodetikus rendszerben), ahol
$$\eta^{ikl}=-\eta^{ilk}$$
 (Ekkor a kontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)

Ehhez
\begin{itemize}
\item kiindulunk az Einstein-egyenletekből:
$$T^{ik}=\frac{c^4}{8\pi k}\left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R\right)$$
\item Felhasználjuk, hogy lokálisan geodetikus rendszerben
$$R^{ik}
=
\frac{1}{2}\;g^{im}g^{kp}g^{ln}\left\{\frac{\partial^2 g_{lp}}{\partial x^m \partial x^n}
+\frac{\partial^2 g_{mn}}{\partial x^l \partial x^p}
-\frac{\partial^2 g_{ln}}{\partial x^m \partial x^p}
-\frac{\partial^2 g_{mp}}{\partial x^l \partial x^n}
\right\}$$
\item Kapjuk:
$$T^{ik}=\frac{\partial}{\partial x^l}\left\{\frac{c^4}{16\pi k}\frac{1}{(-g)}\frac{\partial}{\partial x^m} 
\left[(-g)\left(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km}\right)\right]\right\}$$
($\{..\}=\eta^{ikl}$)
\end{itemize}
\item Legyen
$$\lambda^{iklm}=\frac{c^4}{16\pi k}(-g)\left(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km}\right)$$ 
és 
$$b^{ikl}=\frac{\partial}{\partial x^m}\lambda^{iklm}$$

($\eta^{ikl}=\frac{1}{(-g)}b^{ikl}$)
\item Lokálisan geodetikus rendszerben
$$T^{ik}=\frac{1}{(-g)}\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}$$
vagy
$$(-g)T^{ik}=\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}$$
\item Visszatérünk általános görbevonalú koordinátákra. Ekkor 
$$(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)=\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}$$
ahol $t^{ik}$ csak a metrikus tenzor első deriváltjaitól függ. Expliciten ($T^{ik}$-t ismét a téregyenletből véve):
\begin{eqnarray}t^{ik}=\frac{c^4}{16\pi k}\left\{\left(g^{il}g^{km}-g^{ik}g^{lm}\right)\left(2\Gamma^n_{lm}\Gamma^p_{np}-\Gamma^n_{lp}\Gamma^p_{mn}-\Gamma^n_{ln}\Gamma^p_{mp}\right)\right.\nonumber\\
+\left.g^{il}g^{mn}\left(\Gamma^k_{lp}\Gamma^p_{mn}+\Gamma^k_{mn}\Gamma^p_{lp}-\Gamma^k_{np}\Gamma^p_{lm}
-\Gamma^k_{lm}\Gamma^p_{np}\right)\right.\nonumber\\
+\left.g^{kl}g^{mn}\left(\Gamma^i_{lp}\Gamma^p_{mn}+\Gamma^i_{mn}\Gamma^p_{lp}-\Gamma^i_{np}\Gamma^p_{lm}
-\Gamma^i_{lm}\Gamma^p_{np}\right)\right.\nonumber\\
+\left.g^{lm}g^{np}\left(\Gamma^i_{ln}\Gamma^k_{mp}-\Gamma^i_{lm}\Gamma^k_{np}\right)
 \right\}\mbox{\hspace{4cm}}\nonumber
\end{eqnarray}
$t^{ik}$ a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora.
\item Mivel 
$$b^{ikl}=-b^{ilk}$$
azonosan teljesül, hogy
$$\frac{\partial}{\partial x^k}(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)=0$$
Emiatt

$$P^i=\frac{1}{c}\int (-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)dS_k$$
megmaradó mennyiség. Ez az anyag és a gravitációs tér együttes ``négyesimpulzusa''. 
(Ténylegesen nem négyesvektor, mivel a négyesvektorok a tér különböző pont\-ja\-iban különbözőképpen transzformálódnak, 
$P^i$ pedig egy teljes háromdimenziós hiperfelülethez tartozik.) 
\end{itemize}
\item Mivel $(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)$ szimmetrikus az $i,k$ indexekben, megmarad a négyes impulzusmomentum:
$$J^{ik}=\int \left(x^idP^k-x^kdP^i\right)=\frac{1}{c}\int \left[x^i\left(T^{kl}+t^{kl}\right)
-x^k\left(T^{il}+t^{il}\right)\right](-g)dS_l$$
\item A tömegközéppont megmaradása a $J^{0\alpha}$ mennyiség megmaradásának felel meg:
$$x^0\int \left(T^{\alpha 0}+t^{\alpha 0}\right)(-g)dV-\int x^\alpha\left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV=const.$$
Másképpen:
$$X^\alpha=const.'+\frac{P^\alpha}{P^0}x^0$$
ahol
$$X^\alpha=\frac{\int x^\alpha\left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV}{\int \left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV}$$
\item A négyesimpulzus és a négyes impulzusmomentum kifejezése felületi integrálként:
$$P^i=\frac{1}{c}\int \frac{\partial b^{i0l}}{\partial x^l}dV=\frac{1}{c}\int \frac{\partial b^{i0\alpha}}{\partial x^\alpha}dV=
\frac{1}{c}\oint b^{i0\alpha}df_{\alpha} $$
Hasonlóan belátható, hogy
$$J^{ik}=\frac{1}{c}\oint \left(x^ib^{k0\alpha}-x^kb^{i0\alpha}+\lambda^{i0\alpha k}\right)df_{\alpha}$$
\item Nemrelativisztikus határeset:
\begin{itemize}
\item Ívelemnégyzet (levezetés később):
$$ds^2=\left(1+\frac{2}{c^2}\varphi({\bm r})\right)c^2dt^2-\left(1-\frac{2}{c^2}\varphi({\bm r})\right)\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)$$
Itt
$$\varphi({\bm r})=-k\sum_a \frac{m_a}{|\bm r-\bm r_a|} $$
\item Energia
\item Impulzus
\item Tömegközéppont
\item Impulzusmomentum
\end{itemize}
\end{itemize}


\end{document}












