Általános relativitáselmélet

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

6. Előadás

6.1. Ismétlés

• Az Einstein-egyenletek levezetése variációs elvből:
  
  $$ \delta \int \left(\frac{1}{c}\Lambda -\frac{c^3}{16\pi k}R\right)\sqrt{-g}d\Omega=0 $$
  
  (a metrikus tenzor komponensei szerint variálunk)
• 
  
  $$ R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R=\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik} $$
  

• Az Einstein-egyenletek tulajdonságai (nemlinearitás, anyag és gravitációs tér kezdeti értékei nem függetlenek, csak a metrikus tenzor térszerû komponenseinek fordul elő a második időderiváltja, összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg)

6.2. Megmaradási tételek. Az energia, impulzus, impulzusmomentum, tömegközéppont megmaradása gravitációs térben.

• Görbült téridőben az energia-impulzus-tenzor a
  
  $$ T^{ik}_{;k}=0 $$
  
  koninuitási egyenletnek tesz eleget, ami felírható
  
  $$ T^{k}_{i;k}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \left(T^{k}_{i}\sqrt{-g}\right)}{\partial x^k}- \frac{1}{2}\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}T^{kl}=0 $$
  
  alakban. Ebből nem következik megmaradási tétel!

• Magyarázat: csak a gravitációs tér és az anyag együttes energiája és impulzusa marad meg.

• A megmaradó, teljes négyesimpulzus meghatározása

  Az Einstein-egyenletek felhasználásával olyan kifejezést keresünk, amely a gravitációs tér kikapcsolásakor (azaz lokálisan geodetikus rendszerben) az anyag $T^{ik}$ energia-impulzus-tenzorába megy át, térfogati integrálja megmaradó mennyiség, és melynek általános esetben $T^{ik}$-tól való eltérése a metrikának legfeljebb első deriváltjaitól függ.

  • Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk (az adott pontban a metrikus tenzor első deriváltjai ill. a Christoffel-szimbólumok eltûnnek)
  • Az adott pontban
    
    $$ T^{ik}_{;k}=\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k}=0 $$
    

  • $T^{ik}$-t az Einstein-egyenletek segítségével
    
    $$ T^{ik}=\frac{\partial \eta^{ikl}}{\partial x^l} $$
    
    alakra hozzuk (még mindig lokálisan geodetikus rendszerben), ahol
    
    $$ \eta^{ikl}=-\eta^{ilk} $$
    
    (Ekkor a kontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)

    Ehhez

    • kiindulunk az Einstein-egyenletekből:
      
      $$ T^{ik}=\frac{c^4}{8\pi k}\left(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R\right) $$
      

    • Felhasználjuk, hogy lokálisan geodetikus rendszerben
      
      $$ R^{ik} = \frac{1}{2}\;g^{im}g^{kp}g^{ln}\left\{\frac{\partial^2 g_{lp}}{\partial x^m \partial x^n} +\frac{\partial^2 g_{mn}}{\partial x^l \partial x^p} -\frac{\partial^2 g_{ln}}{\partial x^m \partial x^p} -\frac{\partial^2 g_{mp}}{\partial x^l \partial x^n} \right\} $$
      

    • Kapjuk:
      
      $ \begin{eqnarray} T^{ik}=\frac{\partial}{\partial x^l}\left\{\frac{1}{(-g)}\right.&\underbrace{\frac{c^4}{16\pi k}\frac{\partial}{\partial x^m} \left[(-g)\left(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km}\right)\right]}&\left.\phantom{\frac{1}{(-g)}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\right\}\\ &b^{ikl}& \end{eqnarray} $
      
      ($\eta^{ikl}=\frac{1}{(-g)}b^{ikl}$)
    • Lokálisan geodetikus rendszerben
      
      $$ T^{ik}=\frac{1}{(-g)}\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l} $$
      
      vagy
      
      $$ (-g)T^{ik}=\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l} $$
      

    • Visszatérünk általános görbevonalú koordinátákra. Ekkor
      
      $$ (-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)=\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l} $$
      
      ahol $t^{ik}$ csak a metrikus tenzor első deriváltjaitól függ. Expliciten ($T^{ik}$-t ismét a téregyenletből véve):
      $$ t^{ik}=\frac{c^4}{16\pi k}\left\{\left(g^{il}g^{km}-g^{ik}g^{lm}\right)\left(2\Gamma^n_{lm}\Gamma^p_{np}-\Gamma^n_{lp}\Gamma^p_{mn}-\Gamma^n_{ln}\Gamma^p_{mp}\right)\right.$$$$ +\left.g^{il}g^{mn}\left(\Gamma^k_{lp}\Gamma^p_{mn}+\Gamma^k_{mn}\Gamma^p_{lp}-\Gamma^k_{np}\Gamma^p_{lm} -\Gamma^k_{lm}\Gamma^p_{np}\right)\right.$$$$ +\left.g^{kl}g^{mn}\left(\Gamma^i_{lp}\Gamma^p_{mn}+\Gamma^i_{mn}\Gamma^p_{lp}-\Gamma^i_{np}\Gamma^p_{lm} -\Gamma^i_{lm}\Gamma^p_{np}\right)\right.$$$$ +\left.g^{lm}g^{np}\left(\Gamma^i_{ln}\Gamma^k_{mp}-\Gamma^i_{lm}\Gamma^k_{np}\right) \right\} $$
      
      $t^{ik}$ a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora.
    • Mivel
      
      $$ b^{ikl}=-b^{ilk} $$
      
      azonosan teljesül, hogy
      
      $$ \frac{\partial}{\partial x^k}(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)=0 $$
      
      Emiatt

      
      

      $$ P^i=\frac{1}{c}\int (-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)dS_k $$
      
      megmaradó mennyiség. Ez az anyag és a gravitációs tér együttes ``négyesimpulzusa''. (Ténylegesen nem négyesvektor, mivel a négyesvektorok a tér különböző pontjaiban különbözőképpen transzformálódnak, $P^i$ pedig egy teljes háromdimenziós hiperfelülethez tartozik.)
  • Mivel $(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)$ szimmetrikus az $i,k$ indexekben, megmarad a négyes impulzusmomentum:
    
    $$ J^{ik}=\int \left(x^idP^k-x^kdP^i\right)=\frac{1}{c}\int \left[x^i\left(T^{kl}+t^{kl}\right) -x^k\left(T^{il}+t^{il}\right)\right](-g)dS_l $$
    

  • A tömegközéppont megmaradása a $J^{0\alpha}$ mennyiség megmaradásának felel meg:
    
    $$ x^0\int \left(T^{\alpha 0}+t^{\alpha 0}\right)(-g)dV-\int x^\alpha\left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV=const. $$
    
    Másképpen:
    
    $$ X^\alpha=const.'+\frac{P^\alpha}{P^0}x^0 $$
    
    ahol
    
    $$ X^\alpha=\frac{\int x^\alpha\left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV}{\int \left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV} $$
    

  • A négyesimpulzus és a négyes impulzusmomentum kifejezése felületi integrálként:
    
    $$ P^i=\frac{1}{c}\int \frac{\partial b^{i0l}}{\partial x^l}dV=\frac{1}{c}\int \frac{\partial b^{i0\alpha}}{\partial x^\alpha}dV= \frac{1}{c}\oint b^{i0\alpha}df_{\alpha} $$
    
    Hasonlóan belátható, hogy
    
    $$ J^{ik}=\frac{1}{c}\oint \left(x^ib^{k0\alpha}-x^kb^{i0\alpha}+\lambda^{i0\alpha k}\right)df_{\alpha} $$
    

  • Nemrelativisztikus határeset:
    • Ívelemnégyzet (levezetés később):
      
      $$ ds^2=\left(1+\frac{2}{c^2}\varphi({\boldsymbol r})\right)c^2dt^2-\left(1-\frac{2}{c^2}\varphi({\boldsymbol r})\right)\left(dx^2+dy^2+dz^2\right) $$
      
      Itt
      
      $$ \varphi({\boldsymbol r})=-k\sum_a \frac{m_a}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r_a|} $$
      

    • Energia
    • Impulzus
    • Tömegközéppont
    • Impulzusmomentum