Bevezetés az általános relativitáselméletbe

Bene Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

2002. november 22.

7. Előadás

7.1. Ismétlés

•

P^{i} = \frac{1}{c} ∫ (−g) (T^{i0} + t^{i0}) dV

az anyag és a gravitációs tér megmaradó “négyesimpulzusa”. t^{ik} a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora (lokálisan geodetikus rendszerben eltűnik).

•

J^{ik} = \frac{1}{c} ∫ [x^{i} (T^{k0} + t^{k0}) − x^{k} (T^{i0} + t^{i0})] (−g)dV

az anyag és a gravitációs tér megmaradó “négyes impulzusmomentuma”. (J^{i0} megmaradása fejezi ki a tömegközéppont egyenesvonalú egyenletes mozgását).

• Nemrelativisztikus határesetben a newtoni gravitáció képleteit kapjuk vissza.

7.2. Gravitáló testek erőtere. Gömbszimmetrikus gravitációs tér. Schwarzschild metrika.

• Gömbszimmetria: a téridő-metrika a középponttól egyenlő távolságokban levő pontokban azonos. Az ívelemnégyzet legáltalánosabb gömbszimmetrikus kifejezése

ds^{2} = h(r, t)dr^{2} + k(r, t)(sin^{2} Θdφ^{2} + dΘ^{2}) + l(r, t)dt^{2} + a(r, t)drdt

Az r = f_{1}(r′, t′), t = f_{2}(r′, t′) alakú transzformációk megőrzik a gömbszimmetriát. Elérhető, hogy a(r, t) = 0 és k(r, t) = −r^{2} legyen. Így az általánosságot nem csorbítva írhatjuk, hogy

ds^{2} = e^{ν}c^{2}dt^{2} − r^{2}(dΘ^{2} + sin^{2} Θdφ^{2}) − e^{λ}dr^{2}

• x^{0} = ct, x^{1} = r, x^{2} = Θ, x^{3} = φ választással a metrikus tenzor nullától különböző komponensei

g_{00} = e^{ν}, g_{11} = −e^{λ}, g_{22} = −r^{2}, g_{33} = −r^{2} sin^{2} Θ

ill.

g^{00} = e^{−ν}, g^{11} = −e^{−λ}, g^{22} = −r^{−2}, g^{33} = −r^{−2} sin^{−2} Θ

• A nullától különböző Christoffel-szimbólumok:

Γ_{11}^{1} = \frac{λ′}{2}, Γ_{10}^{0} = Γ_{01}^{0} = \frac{ν′}{2}, Γ_{33}^{2} = − sin Θ cos Θ

Γ_{11}^{0} = \frac{λ̇}{2}e^{λ−ν}, Γ_{22}^{1} = −re^{−λ}, Γ_{00}^{1} = \frac{ν′}{2}e^{ν−λ}

Γ_{12}^{2} = Γ_{21}^{2} = Γ_{13}^{3} = Γ_{31}^{3} = \frac{1}{r}, Γ_{23}^{3} = Γ_{32}^{3} = coth Θ, Γ_{00}^{0} = \frac{ν̇}{2}

Γ_{10}^{1} = Γ_{01}^{1} = \frac{λ̇}{2}, Γ_{33}^{1} = −r sin^{2} Θe^{−λ}

(Itt ν′ = ∂ν/∂r és ν̇ = ∂ν/∂t)

• Ebből az Einstein-egyenletek:

−e^{−λ} (\frac{ν′}{r} + \frac{1}{r^{2}}) + \frac{1}{r^{2}} = \frac{8πk}{c^{4}}T_{1}^{1}

−\frac{1}{2}e^{−λ} (ν′′ + \frac{ν^{′2}}{2} + \frac{ν′ − λ′}{r} − \frac{ν′λ′}{2}) + \frac{1}{2}e^{−ν} (λ̈ + \frac{λ̇^{2}}{2} − \frac{ν̇λ̇}{2}) = \frac{8πk}{c^{4}}T_{2}^{2} = \frac{8πk}{c^{4}}T_{3}^{3}

−e^{−λ} (\frac{1}{r^{2}} − \frac{λ′}{r}) + \frac{1}{r^{2}} = \frac{8πk}{c^{4}}T_{0}^{0}

−e^{−λ} \frac{λ̇}{r} = \frac{8πk}{c^{4}}T_{0}^{1}

• Anyagmentes esetben (az erőteret létrehozó tömegen kívül) csak három független egyenlet van:

e^{−λ} (\frac{ν′}{r} + \frac{1}{r^{2}}) − \frac{1}{r^{2}} = 0

e^{−λ} (\frac{λ′}{r} − \frac{1}{r^{2}}) + \frac{1}{r^{2}} = 0

λ̇ = 0

• A vákuumbeli egyenletek megoldása:

– λ nem függ az időtől

– λ + ν = F (t), ahol F (t) nullává tehető az idő alkalmas t = f(t′) alakú transzformációjával

–

e^{−λ} = e^{ν} = 1 + \frac{const.}{r}

– Nagy távolságok esetén g_{00} = 1 + \frac{2φ}{c^{2}} = 1 − \frac{2kM}{c^{2}r}, ezért

const. = −r_{g} = −\frac{2kM}{c^{2}}

• Schwarzschild-metrika (K.Schwarzschild, 1916):

ds^{2} = (1 − \frac{r_{g}}{r} ) c^{2}dt^{2} − r^{2}(dΘ^{2} + sin^{2} Θdφ^{2}) − \frac{dr^{2}}{1 − \frac{r_{g}}{r}}

(térbeli metrika, kerület, sugár, időtartamok) Nagy távolságban érvényes közelítő alak:

ds^{2} = ds_{0}^{2} − \frac{2kM}{c^{2}r} (dr^{2} + c^{2}dt^{2})

•

e^{−λ} = 1 − \frac{8πk}{c^{4}r} ∫_{0}^{a} T_{0}^{0}r^{2}dr = 1 − \frac{2kM}{c^{2}r}

→

M = \frac{4π}{c^{2}} ∫_{0}^{a} T_{0}^{0}r^{2}dr

(gravitációs tömeghiány) 7.3. Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs térben. Perihélium-elfordulás, fénysugár-elgörbülés.

• Hamilton-Jacobi-egyenlet:

g^{ik} \frac{∂S}{∂x^{i}} \frac{∂S}{∂x^{k}} − m^{2}c^{2} = 0

m az erőtérben mozgó részecske tömege. •

(1 − \frac{r_{g}}{r} )^{−1} (\frac{∂S}{c∂t})^{2} − (1 − \frac{r_{g}}{r} ) (\frac{∂S}{∂r} )^{2} − \frac{1}{r^{2}} (\frac{∂S}{∂φ})^{2} − m^{2}c^{2} = 0

• A megoldást

S = −E_{0}t + Jφ + S_{r}(r)

alakban keressük (E_{0} és J állandó). Kapjuk:

S_{r}(r) = ∫ [\frac{E_{0}^{2}}{c^{2}} (1 − \frac{r_{g}}{r} )^{−2} − (m^{2}c^{2} + \frac{J^{2}}{r^{2}}) (1 − \frac{r_{g}}{r} )^{−1}]^{1/2} dr

• Az r = r(t) függést az ∂S/∂E_{0} = const. egyenletből kapjuk:

ct = \frac{E_{0}}{mc^{2}} ∫ \frac{dr}{(1 − \frac{r_{g}}{r} ) [(\frac{E_{0}}{mc^{2}})^{2} − (1 + \frac{J^{2}}{m^{2}c^{2}r^{2}}) (1 − \frac{r_{g}}{r} )]^{1/2}}

• A pályát a ∂S/∂J = const. egyenletből kapjuk:

φ = \frac{E_{0}}{mc^{2}} ∫ \frac{J dr}{r^{2} [\frac{E_{0}^{2}}{c^{2}} − (m^{2}c^{2} + \frac{J^{2}}{r^{2}}) (1 − \frac{r_{g}}{r} )]^{1/2}}

(elliptikus integrálra vezet)

• r_{g}/r szerint sorbafejtve kapjuk a perihélium-elfordulást:

δφ = \frac{6πk^{2}m^{2}M^{2}}{c^{2}J^{2}} = \frac{6πkM}{c^{2}a(1 − e^{2})}

a az ellipszis nagytengelye, e az excentricitása.

• Fénysugár terjedése: m = 0 (eikonál-egyenlet)

φ = ∫ \frac{J dr}{r^{2} [\frac{1}{ρ^{2}} − \frac{1}{r^{2}} (1 − \frac{r_{g}}{r} )]^{1/2}}

Itt ρ = \frac{c J}{ω_{0}} a szórási paraméter.

• Gravitációs térben tehát a fénysugár elgörbül. r_{g}/r szerint sorbafejtve kapjuk

a fénysugár irányának megváltozását:

δφ = \frac{2r_{g}}{ρ} = \frac{4kM}{c^{2}ρ}

7.4. Gravitációs kollapszus.

• A Schwarzschild-metrika szingularitása nem jelenti a téridő szingularitását (g = −r^{4} sin^{2} Θ pl. nem szinguláris ), csak azt, hogy r < r_{g} esetén az r, Θ, φ merev koordinátarendszer valódi testekkel nem valósítható meg.

• Koordinátatranszformáció:

cτ = ±ct ± ∫ \frac{f(r)dr}{1 − \frac{r_{g}}{r}}, R = ct + ∫ \frac{dr}{(1 − \frac{r_{g}}{r} ) f(r)}

• Az új koordinátákban az ívelemnégyzet:

ds^{2} = \frac{1 − \frac{r_{g}}{r}}{1 − f^{2}} (c^{2}dτ^{2} − f^{2}dR^{2}) − r^{2}(dΘ^{2} + sin^{2} Θdφ^{2})

f(r) = \sqrt{r_{g}/r} választással a szingularitás eltűnik és szinkronizált koordinátarendszerhez jutunk:

R − cτ = ∫ \frac{(1 − f^{2})dr}{(1 − \frac{r_{g}}{r} ) f} = \frac{2}{3} \frac{r^{3/2}}{r_{g}^{1/2}}

r = [\frac{3}{2}(R − cτ)]^{2/3} r_{g}^{1/3}

ds^{2} = c^{2}dτ^{2} − \frac{dR^{2}}{[\frac{3}{2r_{g}} (R − cτ)]^{2/3}} − [\frac{3}{2}(R − cτ)]^{4/3} r_{g}^{2/3}(dΘ^{2} + sin^{2} Θdφ^{2})

• Schwarzschild-gömb:

\frac{3}{2r_{g}} (R − cτ) = r_{g}