Általános relativitáselmélet

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

7. Előadás

7.1. Ismétlés

• 
  
  $$ P^i=\frac{1}{c}\int (-g)\left(T^{i0}+t^{i0}\right)dV $$
  
  az anyag és a gravitációs tér megmaradó ``négyesimpulzusa''. $t^{ik}$ a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora (lokálisan geodetikus rendszerben eltűnik).
• 
  
  $$ J^{ik}=\frac{1}{c}\int \left[x^i\left(T^{k0}+t^{k0}\right) -x^k\left(T^{i0}+t^{i0}\right)\right](-g)dV $$
  
  az anyag és a gravitációs tér megmaradó ``négyes impulzusmomentuma''. ($J^{i0}$ megmaradása fejezi ki a tömegközéppont egyenesvonalú egyenletes mozgását).
• Nemrelativisztikus határesetben a newtoni gravitáció képleteit kapjuk vissza.

7.2. Gravitáló testek erőtere. Gömbszimmetrikus gravitációs tér. Schwarzschild metrika.

• Gömbszimmetria: a téridő-metrika a középponttól egyenlő távolságokban levő pontokban azonos. Az ívelemnégyzet legáltalánosabb gömbszimmetrikus kifejezése
  
  $$ ds^2=h(r,t)dr^2+k(r,t)(\sin^2\Theta d\varphi^2 +d\Theta^2)+l(r,t)dt^2+a(r,t)dr dt $$
  
  Az $r=f_1(r',t'),\; t=f_2(r',t')$ alakú transzformációk megőrzik a gömbszimmetriát. Elérhető, hogy $a(r,t)=0$ és $k(r,t)=-r^2$ legyen. Így az általánosságot nem csorbítva írhatjuk, hogy
  
  $$ ds^2={\rm e}^\nu c^2 dt^2-r^2(d\Theta^2+\sin^2\Theta d\varphi^2)-{\rm e}^\lambda dr^2 $$
  

• $x^0=ct,\;x^1=r,\;x^2=\Theta,\;x^3=\varphi$ választással a metrikus tenzor nullától különböző komponensei
  
  $$ g_{00}={\rm e}^\nu,\;g_{11}=-{\rm e}^\lambda,\;g_{22}=-r^2,\;g_{33}=-r^2\sin^2\Theta $$
  
  ill.
  
  $$ g^{00}={\rm e}^{-\nu},\;g^{11}=-{\rm e}^{-\lambda},\;g^{22}=-r^{-2},\;g^{33}=-r^{-2}\sin^{-2}\Theta $$
  

• A nullától különböző Christoffel-szimbólumok:
  
  $$ \Gamma^1_{11}=\frac{\lambda'}{2},\;\Gamma^0_{10}=\Gamma^0_{01}=\frac{\nu'}{2},\; \Gamma^2_{33}=-\sin \Theta \cos \Theta $$
  
  
  
  $$ \Gamma^0_{11}=\frac{\dot \lambda}{2}{\rm e}^{\lambda-\nu},\;\Gamma^1_{22}=-r{\rm e}^{-\lambda},\; \Gamma^1_{00}=\frac{\nu'}{2}{\rm e}^{\nu-\lambda} $$
  
  
  
  $$ \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r},\;\Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\coth \Theta,\; \Gamma^0_{00}=\frac{\dot \nu}{2} $$
  
  
  
  $$ \Gamma^1_{10}=\Gamma^1_{01}=\frac{\dot \lambda}{2},\; \Gamma^1_{33}=-r\sin^2 \Theta {\rm e}^{-\lambda} $$
  
  (Itt $\nu'=\partial \nu/ \partial r$ és $\dot \nu =\partial\nu / \partial t$ )
• Ebből az Einstein-egyenletek:
  
  $$ -{\rm e}^{-\lambda}\left(\frac{\nu'}{r}+\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}=\frac{8\pi k}{c^4}T^1_1 $$
  

  
  

  $$ -\frac{1}{2}{\rm e}^{-\lambda}\left(\nu''+\frac{\nu'^2}{2}+\frac{\nu'-\lambda'}{r}-\frac{\nu'\lambda'}{2}\right) +\frac{1}{2}{\rm e}^{-\nu}\left(\ddot \lambda +\frac{\dot \lambda^2}{2}-\frac{\dot \nu \dot \lambda}{2}\right) =\frac{8\pi k}{c^4}T^2_2=\frac{8\pi k}{c^4}T^3_3 $$
  

  
  

  $$ -{\rm e}^{-\lambda}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{\lambda'}{r}\right)+\frac{1}{r^2}=\frac{8\pi k}{c^4}T^0_0 $$
  

  
  

  $$ -{\rm e}^{-\lambda}\frac{\dot \lambda}{r} =\frac{8\pi k}{c^4}T^1_0 $$
  

• Anyagmentes esetben (az erőteret létrehozó tömegen kívül) csak három független egyenlet van:
  
  $$ {\rm e}^{-\lambda}\left(\frac{\nu'}{r}+\frac{1}{r^2}\right)-\frac{1}{r^2}=0 $$
  

  
  

  $$ {\rm e}^{-\lambda}\left(\frac{\lambda'}{r}-\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}=0 $$
  

  
  

  $$ \dot \lambda=0 $$
  

• A vákuumbeli egyenletek megoldása:
  $\lambda$ nem függ az időtől
  • $\lambda+\nu=F(t)$ , ahol $F(t)$ nullává tehető az idő alkalmas $t=f(t')$ alakú transzformációjával
  • 
    
    $$ {\rm e}^{-\lambda}={\rm e}^{\nu}=1+\frac{\rm const.}{r} $$
    

  • Nagy távolságok esetén $g_{00}=1+\frac{2\varphi}{c^2}=1-\frac{2k M }{c^2 r}$ , ezért
    
    $$ {\rm const.}=-r_g=-\frac{2k M }{c^2} $$
    

• Schwarzschild-metrika (K.Schwarzschild, 1916):
  
  $$ ds^2=\left(1-\frac{r_g}{r}\right)c^2dt^2-r^2(d\Theta^2+\sin^2\Theta d\varphi^2)-\frac{dr^2}{1-\frac{r_g}{r}} $$
  
  (térbeli metrika, kerület, sugár, időtartamok)

  Nagy távolságban érvényes közelítő alak:
  

  $$ ds^2=ds_0^2-\frac{2k M }{c^2 r}\left(dr^2+c^2dt^2\right) $$
  

• 
  
  $$ {\rm e}^{-\lambda}=1-\frac{8\pi k}{c^4 r}\int_0^a T^0_0 r^2 dr=1-\frac{2k M }{c^2 r} $$
  
  $\rightarrow$
  
  $$ M=\frac{4\pi}{c^2}\int_0^a T^0_0 r^2 dr $$
  
  (gravitációs tömeghiány)

7.3. Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs térben. Perihélium-elfordulás, fénysugár-elgörbülés.

• Hamilton-Jacobi-egyenlet:
  
  $$ g^{ik}\frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^k}-m^2c^2=0 $$
  
  $m$ az erőtérben mozgó részecske tömege.
• 
  
  $$ \left(1-\frac{r_g}{r}\right)^{-1}\left(\frac{\partial S}{c\partial t}\right)^2 -\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2 -\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^2-m^2c^2=0 $$
  

• A megoldást
  
  $$ S=-E_0 t +J\varphi +S_r(r) $$
  
  alakban keressük ($E_0$ és $J$ állandó). Kapjuk:
  
  $$ S_r(r)=\int \left[\frac{E_0^2}{c^2}\left(1-\frac{r_g}{r}\right)^{-2} -\left(m^2c^2+\frac{J^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{r_g}{r}\right)^{-1}\right]^{1/2}dr $$
  

• Az $r=r(t)$ függést az $\partial S/\partial E_0={\rm const.}$ egyenletből kapjuk:
  
  $$ ct=\frac{E_0}{mc^2}\int \frac{dr}{\left(1-\frac{r_g}{r}\right) \left[\left(\frac{E_0}{m c^2}\right)^2 -\left(1+\frac{J^2}{m^2c^2r^2}\right)\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\right]^{1/2}} $$
  

• A pályát a $\partial S/\partial J={\rm const.}$ egyenletből kapjuk:
  
  $$ \varphi= \int \frac{J\; dr}{r^2 \left[\frac{E_0^2}{c^2} -\left(m^2c^2+\frac{J^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\right]^{1/2}} $$
  
  (elliptikus integrálra vezet)
• $r_g/r$ szerint sorbafejtve kapjuk a perihélium-elfordulást:
  
  $$ \delta \varphi=\frac{6\pi k^2 m^2 M^2}{c^2 J^2}=\frac{6\pi k M}{c^2 a(1-e^2)} $$
  
  $a$ az ellipszis nagytengelye, $e$ az excentricitása.
• Fénysugár terjedése: $m=0$ (eikonál-egyenlet)
  
  $$ \varphi=\int \frac{J\; dr}{r^2 \left[\frac{1}{\rho^2} -\frac{1}{r^2}\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\right]^{1/2}} $$
  
  Itt $\rho=\frac{c\;J}{\omega_0}$ a szórási paraméter.
• Gravitációs térben tehát a fénysugár elgörbül. $r_g/r$ szerint sorbafejtve kapjuk a fénysugár irányának megváltozását:
  
  $$ \delta \varphi=\frac{2r_g}{\rho}=\frac{4kM}{c^2\rho} $$
  

7.4. Gravitációs kollapszus.

• A Schwarzschild-metrika szingularitása nem jelenti a téridő szingularitását ($g=-r^4\sin^2\Theta$ pl. nem szinguláris), csak azt, hogy $r<r_g$ esetén az $r,\;\Theta,\;\varphi$ merev koordinátarendszer valódi testekkel nem valósítható meg.
• Koordinátatranszformáció:
  
  $$ c\tau=\pm c t\pm \int \frac{f(r)dr}{1-\frac{r_g}{r}},\;R=ct+\int \frac{dr}{\left(1-\frac{r_g}{r}\right)f(r)} $$
  

• Az új koordinátákban az ívelemnégyzet:
  
  $$ ds^2=\frac{1-\frac{r_g}{r}}{1-f^2}\left(c^2d\tau^2-f^2dR^2\right)-r^2(d\Theta^2+\sin^2\Theta d\varphi^2) $$
  
  $f(r)=\sqrt{r_g/r}$ választással a szingularitás eltűnik és szinkronizált koordinátarendszerhez jutunk:
  
  $$ R-c\tau=\int \frac{(1-f^2)dr}{\left(1-\frac{r_g}{r}\right)f}=\frac{2}{3}\frac{r^{3/2}}{r_g^{1/2}} $$
  
  
  
  $$ r=\left[\frac{3}{2}(R-c\tau)\right]^{2/3}r_g^{1/3} $$
  
  
  
  $$ ds^2=c^2d\tau^2-\frac{dR^2}{\left[\frac{3}{2r_g}(R-c\tau)\right]^{2/3}} -\left[\frac{3}{2}(R-c\tau)\right]^{4/3}r_g^{2/3}(d\Theta^2+\sin^2\Theta d\varphi^2) $$
  

• Schwarzschild-gömb:
  
  $$ \frac{3}{2r_g}(R-c\tau)=r_g $$
  

Radiális mozgás "kívülről nézve": $$J=0\;,\quad E_0=mc^2\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}$$

$$ c(t-t_0)=\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}\int_{r}^{r_0}\frac{dr}{\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\sqrt{\frac{r_g}{r}-\frac{r_g}{r_0}}} $$
A Schwarzschild-sugarat az összehúzódó objektum végtelen idő alatt éri el: $$ r-r_g=const.\times {\rm e}^{-\frac{ct}{r_g}} $$ Sajátidőben mérve azonban a test véges idő alatt áthalad az eseményhorizonton és szintén véges idő alatt a centrumba esik: $$ \tau-\tau_0=\frac{1}{c}\int\left(\frac{r_g}{r}-\frac{r_g}{r_0}\right)^{-1/2}dr $$