nextupprevious

Áramlások fizikája

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
1. Előadás
Tematika
up up up up up up up up up up Légy

Ajánlott irodalom:

1.1. Bevezetés

1.2. Hidrosztatika

  • Folytonos közegben ható erők:
    • tömegerők (a közeg minden részében hatnak, kis folyadékrész esetén a tömeggel arányosak): $$d{\bf F}=\rho {\bf f}dV$$ Itt ${\bf f}$ az erősűrűség. Pl. gravitációs térben ${\bf f}={\bf g}$, ahol ${\bf g}$ a nehézségi gyorsulás.
    • felületi erők (a szomszédos folyadékrészek között ható rövid hatótávolságú erők, pl. van der Waals-erők, eredetük: elektrosztatikus + kicserélődési kölcsönhatás a Pauli-elvnek megfelelően):
      • Arányosak a felülettel.
        up
      • Húzó és nyomóerők: a felület normálisának irányába mutatnak

        • up
      • Nyíróerők: a felület normálisára merőleges irányba mutatnak
      • Általában: $$d{\bf F}={\cal \sigma}{\bf n}dA$$ Itt ${\cal \sigma}$ a feszültségtenzor
        Mátrixjelöléssel: $$\left(\begin{array}{c}F_x\\F_y\\F_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n_x\\n_y\\n_z\end{array}\right)dA$$
        azaz
        $\begin{eqnarray} F_x&=&\sigma_{xx}n_x dA+\sigma_{xy}n_y dA+\sigma_{xz}n_z dA\\ F_y&=&\sigma_{yx}n_x dA+\sigma_{yy}n_y dA+\sigma_{yz}n_z dA\\ F_z&=&\sigma_{zx}n_x dA+\sigma_{zy}n_y dA+\sigma_{zz}n_z dA \end{eqnarray}$

        Eszerint pl. $\sigma_{zy}$ az $y$ irányba mutató normálisú egységnyi felületelemre ható erő $z$ komponense.
      • Nyugvó folyadékban ill. gázban nyíróerők nem lépnek fel (Pascal törvénye). $$\left(\begin{array}{ccc}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}-p&0&0\\0&-p&0\\0&0&-p\end{array}\right)$$
      • Áramlás közben valódi folyadékban fellépnek nyíróerők. Oka: belső súrlódás.
      • Ideális folyadék: belső súrlódás elhanyagolható, áramlás közben sem lépnek fel benne nyíróerők.
  • Egyensúlyban a felületi erő $$d{\bf F}=-p {\bf n}dA$$
  • Az egyensúly feltétele:
    • Tetszőleges térfogatra az eredő erő zérus: $$\int \rho {\bf f} dV - \oint p dA =0$$
    • Differenciális alak:
      x komponens:
      up $$\rho f_x \Delta x \Delta y \Delta z -\left(p(x+\Delta x)-p(x)\right)\Delta y \Delta z=0$$ $$\rho f_x-\frac{\partial p}{\partial x}=0$$
    • Vektoralakban: $$\rho {\bf f}-grad\; p=0$$ $$\rho {\bf f}-{\bf \nabla} p=0$$ $${\bf f}-\frac{1}{\rho}{\bf \nabla} p=0$$

      • A hidrosztatikában ${\bf v}({\bf r},t)=0$. A fenti egyenlet kapcsolat $\rho({\bf r})$ és $p({\bf r})$ között. Ehhez jön még az állapotegyenlet.
  • Következmények:
    • Konzervatív tömegerő: $${\bf f} = -{\bf \nabla} U \;\rightarrow\; \rho {\bf \nabla} U+{\bf \nabla} p = 0$$ Az ekvipotenciális felületek és az izobárok egybeesnek.
    • Barotróp folyadék: $$\rho=\rho(p)$$ pl. összenyomhatatlan folyadék, izoterm folyadék, adiabatikus folyadék. $$\frac{p}{\rho}=\frac{R}{M}T$$ $$\frac{p}{\rho^\kappa}=const.$$
      Az egyensúlyi egyenletet integrálva: $$U+\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')}=const.$$ nyomásfüggvény: $$P(p)=\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')}$$
      Egyensúlyban tehát $U+P=const.$
  • Egyensúly nehézségi erőtérben: $$\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g\;,\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y}=0\;$$
    ha a $z$-tengely ${\bf g}$-vel párhuzamos. Következmény: $\rho$, $p$, $T$ csak $z$-től függ.
    • Összenyomhatatlan folyadék: $$\rho_0 g z+p=p_0$$ $p$, $T$ lineáris függvénye a magasságnak.
    • Barométeres magasságformula izotermikus ideális gázra: $$P(p)=\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{p'}\frac{RT_0}{M}=\frac{RT_0}{M}\ln \frac{p}{p_0}$$ $$P+U=const.$$ $$p=p_0\;\exp \left(-\frac{Mg}{RT_0}z\right)$$
    • Adiabatikus ideális gáz: $$\rho=\rho_0 \left(\frac{p}{p_0}\right)^{1/\kappa}$$ $$\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho_0(p'/p_0)^{1/\kappa}}=\frac{p_0^{1/\kappa}}{\rho_0}\frac{\kappa}{\kappa-1}\left(p^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}-p_0^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}\right)=-gz$$ $$p=p_0\left(1-\frac{\kappa-1}{\kappa}\frac{\rho_0}{p_0}gz\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}$$ $\kappa\rightarrow 1$-re $$p=p_0{\rm e}^{-\frac{\rho_0}{p_0}gz}$$
    • Ismert hőmérsékleteloszlású ideális gáz:
      up $$\frac{dp}{dz}=-\rho g = -\frac{Mg}{RT(z)}p$$ $$\frac{dp}{p}= -\frac{Mg}{RT(z)}dz$$ $$\ln \frac{p}{p_0}=-\frac{Mg}{R}\int_{z_0=0}^z\frac{dz'}{T(z')}$$

1.3. Áramlások leírása

  • Áramvonal: pillanatfelvétel a sebességtérről
  • Stacionárius áramlás: ${\bf v}$, $\rho$, $p$ időtől független
  • Pályavonal: egy kiszemelt kis folyadékrész pályája
    Stacionárius áramlás esetén megegyezik az áramvonallal.
  • Változások
    • lokális változások: adott helyen a térmennyiség változása, pl. $$\frac{\partial \rho}{\partial t}$$
    • szubsztanciális változások: egy kiszemelt kis folyadékrészt mozgásában követünk, eközben vizsgáljuk a térmennyiség változását
      sűrűség: $$d\rho= \rho(x+v_xdt,y+v_ydt,z+v_zdt,t+dt)-\rho(x,y,z,t)$$ $$\approx \left(\frac{\partial \rho}{\partial x}v_x+\frac{\partial \rho}{\partial y}v_y+\frac{\partial \rho}{\partial z}v_z+\frac{\partial \rho}{\partial t}\right) dt$$ $$\frac{d\rho }{dt}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+{\bf v}grad \rho$$
      sebesség: $$\frac{d{\bf v} }{dt}=\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+\left({\bf v}grad\right) {\bf v}$$
  • Anyagmegmaradás: kontinuitási egyenlet
    Felületelemen időegység alatt átáramló tömeg: $$\rho {\bf v}{\bf n}dA=\rho {\bf v}d{\bf A}$$ megmaradás: $$-\frac{d}{dt}\int \rho dV=\oint \rho {\bf v}d{\bf A}$$ Gauss-tétele szerint: $$\int\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho {\bf v})\right)dV=0$$ $$\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho {\bf v})=0$$ $$\frac{d \rho}{d t}=-\rho div{\bf v}$$
  • $div\; {\bf v}$ és $rot\; {\bf v}$ jelentése:
    $div{\bf v}$ a sűrűség szubsztanciális változását jellemzi. Összenyomhatatlan folyadékban $$\frac{d \rho}{d t}=0\;\rightarrow\;div\; {\bf v}=0$$
    $rot\;{\bf v}$ a folyadékelem forgó mozgását jellemzi. Pl. merev testként forgó folyadék sebességtere: $$\bf v=\bf \omega \times \bf r$$ $$rot \; \bf v=2\bf \omega$$
    Általában az $\bf \Omega =\frac{1}{2} rot\; \bf v$ örvényvektor a lokális szögsebesség vektora.


nextupprevious
Gyula Bene 2008-02-14