Modern numerikus módszerek
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
6. hét
Példák egydimenziós interpolációra
- Köbös spline interpoláció kizárólag a függvényértékek alapján
Láttuk, hogy $n$ pontra ($x_1, x_2...x_n$) támaszkodó köbös spline interpoláció esetén az
$n-1$ db intervallum $n-2$ közös pontjában megkövetelve az első derivált
folytonosságát, $n-2$ egyenletet kapunk az $n$ db második deriváltra.
További két feltétel megadása szükséges. Legyen ez a harmadik
derivált folytonossága az $x_2$ és az $x_{n-1}$ pontokban. Az interpoláló
formulát háromszor deriválva azt kapjuk, hogy ez matematikailag az
$$\frac{y''_{2}-y''_{1}}{x_{2}-x_{1}}= \frac{y''_{3}-y''_{2}}{x_{3}-x_{2}}$$
és az
$$\frac{y''_{n-1}-y''_{n-2}}{x_{n-1}-x_{n-2}}=
\frac{y''_{n}-y''_{n-1}}{x_{n}-x_{n-1}}$$
feltételeket jelenti. Ezekből kifejezzük az $y''_1$ és $y''_n$ változókat:
$$\begin{eqnarray}
y''_1&=&
\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}y''_{2}-\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}y''_{3}\\
y''_n&=&
\frac{x_{n}-x_{n-2}}{x_{n-1}-x_{n-2}}y''_{n-1}-\frac{x_{n}-x_{n-1}}{x_{n-1}-x_{n-2}}y''_{n-2}\;,
\end{eqnarray}$$
majd betesszük az első deriváltak folytonosságát kifejező első és utolsó
egyenletbe. Azt kapjuk, hogy
$$\frac{1}{6}\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}(2x_3-x_2-x_1)y''_{2}-\frac{1}{6}\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}(2x_2-x_3-x_1)y''_{3}
=\frac{y_{3}-y_2}{x_{3}-x_2}-\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$
és
$$\frac{1}{6}\frac{x_{n}-x_{n-2}}{x_{n-1}-x_{n-2}}(2x_{n-1}-x_n-x_{n-2})y''_{n-2}-\frac{1}{6}\frac{x_{n}-x_{n-2}}{x_{n-1}-x_{n-2}}(2x_{n-2}-x_n-x_{n-1})y''_{n-1}
=\frac{y_{n}-y_{n-1}}{x_{n}-x_{n-1}}-\frac{y_{n-1}-y_{n-2}}{x_{n-1}-x_{n-2}}$$
A többi egyenlet ($2< j < n-1 $) változatlan:
$$\frac{1}{6}(x_{j}-x_{j-1})y''_{j-1}+
\frac{1}{3}(x_{j+1}-x_{j-1})y''_{j}+ \frac{1}{6}(x_{j+1}-x_j)y''_{j+1}=
\frac{y_{j+1}-y_j}{x_{j+1}-x_j}-\frac{y_{j}-y_{j-1}}{x_{j}-x_{j-1}}$$
Interpoláció több dimenzióban
- Négyszögrácsra támaszkodó interpoláció
- Szabálytalan pontrendszerre támaszkodó interpoláció
bene@arpad.elte.hu