Modern numerikus módszerek
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
10. hét
Közönséges differenciálegyenletek peremérték-feladatai
Példák:
- Céllövés távoli pontra a közegellenállás figyelembevételével (példa szabad határfeltételre)
$$\frac{d^2{\bf r}}{dt^2}=-k|{\bf v}|{\bf v}+{\bf g}$$
Legyen $t=T\;\tau$, ahol az új független változó $\tau\in [0,1]$.
Az új függő változók
$\begin{eqnarray}
x_1&=& t\\
x_2&=& x\\
x_3&=& y\\
x_4&=& v_x\\
x_5&=& v_y\\
x_6&=& T
\end{eqnarray}$
Ezekre az egyenletek
$\begin{eqnarray}
\dot x_1&=& x_6\\
\dot x_2&=& x_4 x_6\\
\dot x_3&=& x_5 x_6\\
\dot x_4&=& -k x_4 x_6\sqrt{x_4^2+x_5^2}\\
\dot x_5&=& -g x_6-k x_5 x_6\sqrt{x_4^2+x_5^2}\\
\dot x_6&=& 0
\end{eqnarray}$
- Hidrogénmolekula-ion (példa sajátérték-egyenletre)
- Born-Oppenheimer-közelítés
$$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle-\frac{q_e^2}{4\pi
\epsilon_0}\frac{1}{r_A}-\frac{q_e^2}{4\pi
\epsilon_0}\frac{1}{r_B}+\frac{q_e^2}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{R}$$
Itt $m$ az elektron tömege, $r_A$ az elektron távolsága az egyik, $r_B$ a
másik atommagtól, $R$ a két proton távolsága egymástól (állandó).
- Dimenziótlanítás:
hosszegység (Bohr-sugár):
$$a_0=\frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{m q_e^2}=0.0529\; nm$$
energiaegység (hidrogénatom alapállapoti energiája):
$$E_0=\frac{m q_e^4}{32\pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2}=13.6\; eV$$
Ilyen egységekben a Hamilton-operátor
$$\hat H=-\triangle-\frac{2}{r_A}-\frac{2}{r_B}+\frac{2}{R}$$
- Nyújtott szferoidális koordináták:
$\begin{eqnarray}
x&=&\frac{R}{2}\sqrt{\left(\sigma^2-1\right)\left(1-\tau^2\right)}\cos\phi\\
y&=&\frac{R}{2}\sqrt{\left(\sigma^2-1\right)\left(1-\tau^2\right)}\sin\phi\\
z&=&\frac{R}{2}\sigma\tau
\end{eqnarray}$
Itt $\sigma\ge 1$ és $-1\le\tau\le 1$.
Ezzel
$$r_{A,B}=\frac{R}{2}\left(\sigma\pm\tau\right)$$
és
$$\triangle=\left(\frac{2}{R}\right)^2\left\{\frac{1}{\sigma^2-\tau^2}\left[\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\left(\sigma^2-1\right)\frac{\partial}{\partial\sigma}\right)+\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\left(1-\tau^2\right)\frac{\partial}{\partial\tau}\right)\right]+\frac{1}{\left(\sigma^2-1\right)\left(1-\tau^2\right)}\frac{\partial^2}{\partial
\phi^2}\right\}$$
- Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet szeparálása:
$$\hat H\psi=E\psi$$
Legyen
$$\psi=S(\sigma)T(\tau)F(\phi)$$
Ekkor
$\begin{eqnarray}
F(\phi)&=&{\rm e}^{im\phi}\\
\frac{\partial}{\partial\tau}\left[\left(1-\tau^2\right)\frac{\partial
T}{\partial\tau}\right]+\left(\kappa-{\cal E}\tau^2-\frac{m^2}{1-\tau^2}\right)T&=&0\\
\frac{\partial}{\partial\sigma}\left[\left(\sigma^2-1\right)\frac{\partial
S}{\partial\sigma}\right]+\left(-\kappa+2R\sigma+{\cal E}\sigma^2-\frac{m^2}{\sigma^2-1}\right)S&=&0
\end{eqnarray}$
Itt $${\cal E}=E\left(\frac{R}{2}\right)^2-\frac{R}{2}<0$$
Az $S$-re vonatkozó egyenletben az $u=1/\sigma$ új változóval az $(1,\infty)$
intervallumot a $(0,1)$ intervallumra képezzük le. Ebben a változóban az
egyenlet
$$\frac{\partial}{\partial u}\left[\left(1-u^2\right)\frac{\partial
S}{\partial u}\right]+\left(-\frac{\kappa}{u^2}+\frac{2R}{u^3}+\frac{\cal
E}{u^4}-\frac{m^2}{1-u^2}\right)S=0$$
alakú.
Mivel $T$ egyenlete tükrözésre szimmetrikus, $T$ vagy páros
($T'(0)=0$), vagy
páratlan
($T(0)=0$) függvény,
így ebben az
egyenletben is elég
$\tau$-t a $(0,1)$
intervallumra
korlátozni. A
független változót a
továbbiakban mindkét
egyenletben $u$-val
jelöljük.
- Aszimptotikus rész leválasztása:
$$T=(1-u^2)^{m/2}\tilde T$$
és
$$S=(1-u^2)^{m/2}u^{(1-R/q)}\exp\left(-\frac{q}{u}\right)\tilde S$$
ahol $q=\sqrt{|{\cal E}|}$.
Ekkor az egyenletek:
$\begin{eqnarray}
&& (1-u^2)\tilde T''-2(m+1)u\tilde T'+\left(\kappa-m(m+1)-{\cal E}u^2\right)\tilde T=0\\
&& u^2(1-u^2)\tilde S''+2\left[q(1-u^2)+\left(1-\frac{R}{q}\right)u(1-u^2)-(m+1)u^3\right]\tilde S'+\\
&& +\left[-\kappa-q^2-\frac{R}{q}\left(1-\frac{R}{q}\right)-2q\left(m+1-\frac{R}{q}\right)u-\left(m+1-\frac{R}{q}\right)\left(m+2-\frac{R}{q}\right)u^2\right]\tilde S=0
\end{eqnarray}$
- határfeltételek:
$u=0$-ban:
$$\tilde T'(0)=0\;,\;\tilde T(0)=1\;\text{ vagy } \tilde T(0)=0\;,\; \tilde T'(0)=1$$
$$2q\tilde S'(0)-\left[\kappa+q^2+\frac{R}{q}\left(1-\frac{R}{q}\right)\right]\tilde S(0)=0\;,\quad \tilde S(0)=2q$$
$u=1$-ben:
$$2(m+1)\tilde T'(1)+\left(-\kappa+m(m+1)+{\cal E}\right)\tilde T(1)=0$$
$$2(m+1)\tilde S'(1)+\left[\kappa+q^2+\frac{R}{q}\left(1-\frac{R}{q}\right)+\left(m+1-\frac{R}{q}\right)\left(m+2(1+q)-\frac{R}{q}\right)\right]\tilde S(1)=0$$
bene@arpad.elte.hu