A kvantummechanika elvi problémái

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
1. Előadás

1.1 Emlékeztető: a kvantummechanika formalizmusa

• $|\psi>$ állapotvektor: az absztrakt Hilbert-tér eleme $$<\psi|\psi>=1$$
• Szuperpozíció elve: ha $|\psi_1>$ és $|\psi_2>$ lehetséges állapotvektorok, akkor $$c_1|\psi_1>+c_2|\psi_2>$$ is lehetséges állapotvektor.
• Dinamika: Schrödinger-egyenlet $$i\hbar \frac{\partial |\psi>}{\partial t}=\hat H |\psi>$$ $\hat H$: Hamilton-operátor (az energia operátora).
• Mérhetõ fizikai mennyiség: hermitikus operátor A $\hat A^\dagger $ adjungált definíciója: $$<\varphi|\hat A|\psi>^*=<\psi|\hat A^\dagger |\varphi>$$ hermitikus (önadjungált) operátor: $$\hat A^\dagger=\hat A$$
• Méréskor kapható értékek ($a_j$) és valószínűségük ($p_j$) Sajátértékegyenlet: $$\hat A |\varphi_j>=a_j |\varphi_j>$$ $|\psi>$ állapotban $a_j$ mérésének valószínűsége $$p_j=|<\varphi_j|\psi>|^2$$ $\hat A$ várható értéke: $$\bar A=\sum_j a_j |<\varphi_j|\psi>|^2=<\psi|\hat A|\psi>$$
• Reprezentációk: $\psi_j=<\varphi_j|\psi>$ a hullámfüggvény A-reprezentációban. $$|\psi>=\sum_j \psi_j |\varphi_j>=\sum_j |\varphi_j><\varphi_j|\psi>$$
• Operátorok mátrixelemei: $$A_{jk}=<\varphi_j|\hat A|\varphi_k>$$ $$\hat A|\varphi_k>=\sum_j A_{jk}|\varphi_j>$$ $$<\varphi_j|\hat A|\psi>=\sum_k <\varphi_j|\hat A|\varphi_k><\varphi_k|\psi>=\sum_k A_{jk}\psi_k$$
• Példák
  • koordinátareprezentáció $$\hat x|x> = x|x> $$ $$ < x|x'> =\delta (x-x') $$
    (Dirac-deltára normált állapotok) $$ \psi(x)= < x|\psi>$$ $$\int dx\; |x>< x|=\hat 1$$ $$< x|\hat x|x'>=x'< x|x'>=x'\delta(x-x')=x\delta(x-x')$$ $$< x|\hat p|x'>=-i\hbar \delta'(x-x')$$ $$< x|\hat p|\psi>=\int dx' (-i\hbar)\delta'(x-x')< x'|\psi>=-i\hbar\partial_x \int dx'\delta(x-x') \psi(x') =-i\hbar\frac{\partial \psi(x)}{\partial x}$$
  • impulzusreprezentáció $$\hat p |p>=p |p>$$ $$< p|p'>=\delta(p-p')$$ $$\psi(p)=< p|\psi>$$ $$\int dp\; |p>< p|=\hat 1$$ $$< x|\hat p|p>=p< x|p>$$ $$-i \hbar \frac{\partial }{\partial x}< x|p>=p< x|p>$$ $$< x|p>=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}{\rm e}^{i\frac{p x}{\hbar}}$$ $$< p|p'>=\int dx\;< p|x>< x|p'>=\int dx\;\frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left(\frac{i}{\hbar}(p'x-px)\right)=\delta(p-p')$$ $ \begin{eqnarray} < p|\hat x|p'>=\int dx\int dx' < p|x>< x|\hat x|x'>< x'|p'>\\ =\int dx\int dx' \frac{1}{2\pi\hbar} \exp\left(-\frac{i}{\hbar}px\right) \exp\left(\frac{i}{\hbar}p'x'\right)\;x\;\delta(x-x')\\ =\frac{1}{2\pi\hbar}\int dx\;x \exp\left(-\frac{i}{\hbar}(p'-p)x\right)=i\hbar\delta'(p-p') \end{eqnarray} $
  $< x|p>$ unitér transzformáció: $$\int dp\; < x|p>< p|x'>=\delta(x-x')$$ Általában az áttérés egyik reprezentációról a másikra unitér transzformációt jelent.
• Többtestprobléma $$\psi(x_1,x_2)=C\psi(x_2,x_1)\quad\quad |C|=1$$ $$\psi(x_2,x_21)=C\psi(x_1,x_2)$$ $$\Downarrow$$ $$C^2=1$$ $$C=\pm 1$$ bozonok és fermionok
• Részrendszer mérése $$\hat A(x_1)\varphi(x_1)=a_j\varphi(x_1)$$
  $\left|\int dx_1 \varphi_j^*(x_1)\psi(x_1,x_2)\right|^2$ annak a valószínűsége, hogy A értéke $a_j$ és a 2. részrendszer koordinátája $x_2$.
  $ \begin{eqnarray} P(a_j)=\int dx_2\;\left|\int dx_1 \varphi_j^*(x_1)\psi(x_1,x_2)\right|^2 =\int dx_1\int dx_1'\varphi_j^*(x_1)\underbrace{\int dx_2\;\psi(x_1,x_2)\psi^*(x_1',x_2)}_{\rho(x_1,x_1')}\varphi_j(x_1') \end{eqnarray} $
  $\rho(x_1,x_1')$: redukált sűrűségmátrix (koordinátareprezentációban).