A kvantummechanika elvi problémái

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
2. Előadás

2.1 Ismétlés

• A kvantummechanika formalizmusa:
  • állapot, szuperpozíció-elv
  • Schrödinger-egyenlet
  • fizikai mennyiség
  • reprezentációk
  • mátrixelemek
  • többtestprobléma
  • részrendszer mérése, sűrűségmátrix
  • Schmidt-reprezentáció
  • spin
• A kvantummechanikai mérés és a koppenhágai értelmezés
• A kvantummechanika és a lokalitás elve

2.2 Kérdések:

• Leírható-e a mérés a Schrödinger-egyenlettel?
• Érvényben marad-e a szuperpozíció elve?
• Tényleges fizikai folyamat-e a hullámfüggvény redukciója? Hol húzódik a határ a kvantumos és klasszikus jelenségek között?

2.3 Neumann mérési modellje

• $$\hat H_{int}=\hat p_2 \hat x_1 \delta(t)$$
• $$i\hbar |\dot\psi>=\hat H_{int}|\psi>$$
• $$|\psi(t)>=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat p_2 \hat x_1\right)|\psi(0)>$$
• Koordinátareprezentációban: $$\psi(x_1,x_2,t)=\psi(x_1,x_2-x_1,0)$$ Ha pl. $\psi(x_1,x_2,0)=\phi(x_1)\xi(x_2)$, $$\psi(x_1,x_2,t)=\phi(x_1)\xi(x_2-x_1)$$
• $$P(x_2)=\int \left|\psi(x_1,x_2,t)\right|^2dx_1=\int \left|\phi(x_1)\right|^2\left|\xi(x_2-x_1)\right|^2dx_1\approx \left|\phi(x_2)\right|^2$$

2.4 Miért egyenesek a részecskepályák a ködkamrában?
N.F.Mott, Proc.Roy.Soc. A 126, 79-84 (1929).

• $$\Psi^{I}({\boldsymbol r})=\psi({\boldsymbol r-\boldsymbol a_1})$$ $$\Psi^{II}({\boldsymbol r})=\psi({\boldsymbol r-\boldsymbol a_2})$$
• $$F({\boldsymbol R,\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2})=\sum_{J_1,J_2} f_{J_1,J_2}({\boldsymbol R})\Psi^{I}_{J_1}({\boldsymbol r_1})\Psi^{II}_{J_2}({\boldsymbol r_2})$$
• $$\left\{\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_R^2+\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla_1^2+\nabla_1^2)+E +\frac{e^2}{|{\boldsymbol r_1-\boldsymbol a_1}|} +\frac{e^2}{|{\boldsymbol r_2-\boldsymbol a_2}|}+\frac{2e^2}{|{\boldsymbol R-\boldsymbol r_1}|} +\frac{2e^2}{|{\boldsymbol R-\boldsymbol r_2}|}\right\}F=0$$
• Perturbációszámítás $$F=F^{(0)}+F^{(1)}+F^{(2)}+...$$ $$F^{(0)}=\frac{{\rm e}^{ik|{\boldsymbol R}|}}{|{\boldsymbol R}|}\Psi^{I}_{0}({\boldsymbol r_1})\Psi^{II}_{0}({\boldsymbol r_2})$$ $$k=\frac{\sqrt{2M(E-2\;E_0)}}{\hbar}$$
• $\begin{eqnarray} \left\{\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_R^2+\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla_1^2+\nabla_1^2)+E +\frac{e^2}{|{\boldsymbol r_1-\boldsymbol a_1}|} +\frac{e^2}{|{\boldsymbol r_2-\boldsymbol a_2}|}\right\}F^{(n)} \\=-\left\{\frac{2e^2}{|{\boldsymbol R-\boldsymbol r_1}|} +\frac{2e^2}{|{\boldsymbol R-\boldsymbol r_2}|}\right\}F^{(n-1)} \end{eqnarray} $
• $$F^{(1)}({\boldsymbol R,\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2})=\sum_{J_1,J_2} f^{(1)}_{J_1,J_2}({\boldsymbol R})\Psi^{I}_{J_1}({\boldsymbol r_1})\Psi^{II}_{J_2}({\boldsymbol r_2})$$
• $$\left\{\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_R^2+E-E_{J_1}-E_{J_2} \right\}f^{(1)}_{J_1,J_2}({\boldsymbol R})=K(\boldsymbol R)$$
• $$K(\boldsymbol R)=V_{0J}({\boldsymbol R-\boldsymbol a_1})\frac{{\rm e}^{ik|{\boldsymbol R}|}}{|{\boldsymbol R}|}\;, {\rm ha}\;J_1=J,\; J_2=0$$ $$K(\boldsymbol R)=V_{0J}({\boldsymbol R-\boldsymbol a_2})\frac{{\rm e}^{ik|{\boldsymbol R}|}}{|{\boldsymbol R}|}\;, {\rm ha}\;J_2=J,\; J_1=0$$ $$K(\boldsymbol R)=0\quad {\rm egy\acute{e}bk\acute{e}nt}$$ $$V_{0J}({\boldsymbol R})=-\int \frac{2e^2}{|{\boldsymbol R-\boldsymbol r}|}\psi_0(\boldsymbol r)\psi_J(\boldsymbol r)d^3\boldsymbol r$$ $V_{0J}({\boldsymbol R})$ csak $\boldsymbol R\approx 0$ esetén nem tűnik el.
• Megoldás: $$f^{(1)}_{J_1,J_2}({\boldsymbol R})=\frac{1}{4\pi}\int \frac{2M}{\hbar^2}K(\boldsymbol R')\;\frac{{\rm e}^{ik'|{\boldsymbol R}-{\boldsymbol R'}|}}{|{\boldsymbol R}-{\boldsymbol R'}|}\;d^3\boldsymbol R'$$ $$k'=\frac{\sqrt{2M(E-E_{J_1}-E_{J_2})}}{\hbar}$$
• $$f^{(1)}_{0,J_2}({\boldsymbol R})\approx \frac{{\rm e}^{ik'|{\boldsymbol R}-{\boldsymbol a_2}|}}{|{\boldsymbol R}-{\boldsymbol a_2}|}\mathcal J (\boldsymbol n)$$ ahol $$\boldsymbol n=\frac{\boldsymbol R-\boldsymbol a_2}{|\boldsymbol R-\boldsymbol a_2|}$$ és $$\mathcal J (\boldsymbol n)=\frac{1}{4\pi}\int \frac{2M}{\hbar^2}V_{0J_2}(\boldsymbol R')\; \frac{{\rm e}^{-ik'({\boldsymbol n}\cdot{\boldsymbol R'})+ik|\boldsymbol R'+\boldsymbol a_2|}}{|\boldsymbol R'+\boldsymbol a_2|}\;d^3\boldsymbol R'$$ A kitevő stacionárius (az $\boldsymbol R'$ szerinti derivált eltűnik), ha $$\boldsymbol n=\frac{\boldsymbol {a_2}}{|\boldsymbol {a_2}|}$$
• $ \begin{eqnarray} \left\{\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_R^2+E-E_{J_1}-E_{J_2} \right\}f^{(2)}_{J_1,J_2}({\boldsymbol{ R}})&=&-\int \int \left\{\frac{2e^2}{|{\boldsymbol R-\boldsymbol r_1}|} +\frac{2e^2}{|{\boldsymbol R-\boldsymbol r_2}|}\right\}F^{(1)}({\boldsymbol{ R},\boldsymbol{ r_1},\boldsymbol{ r_2}})\Psi^{I}_{J_1}({\boldsymbol{r_1}})\Psi^{II}_{J_2}({\boldsymbol{ r_2 }})d^3\boldsymbol{ r_1}d^3\boldsymbol{ r_2} \\ &=&f^{(1)}_{J_1,0}({\boldsymbol{ R}})V_{0J_2}({\boldsymbol{R}-\boldsymbol{ a_2}}) \end{eqnarray} $