A kvantummechanika elvi problémái

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
4. Előadás

4.1 Ismétlés

• Schrödinger macskája, Wigner barátja: a kvantummechanikai leírás minden alternatívát tartalmaz, de a rendszer részét alkotó macska ill. személy csak ezek valamelyikét tapasztalja.
• Dekoherencia: átmenet tiszta állapotból kevert állapotba a környezettel való kölcsönhatás következtében. Az interferenciaképesség megszűnése.
• A Caldeira-Leggett modell alapján: makroszkopikus rendszer esetén ez az átmenet észlelhetetlenül rövid

4.2 A Caldeira-Leggett modell

• Oszcillátorrendszerrel kölcsönható tömegpont: $$\hat H = \frac{\hat P^2}{2M}+V(\hat X)+\hat X\sum_i C_i \hat q_i+\sum_i \frac{\hat p_i^2}{2m_i}+\frac{1}{2}m_i\omega_i^2\hat q_i^2$$
• Kezdetben a tömegpont tiszta állapotban van
• Kezdetben az oszcillátorrendszer termikus egyensúlyban van, sűrűségmátrixa $$\hat \rho_{osc}=\frac{1}{Z}\exp\left(-\frac{\hat H_{osc}}{k_BT}\right)$$ ahol $$\hat H_{osc}=\sum_i \frac{\hat p_i^2}{2m_i}+\frac{1}{2}m_i\omega_i^2\hat q_i^2\;,\quad Z={\rm Tr}\left(\exp\left(-\frac{\hat H_{osc}}{k_BT}\right)\right)$$

4.3 Előkészítés a Caldeira-Leggett modell megoldásához: Feynman-féle pályaintegrálok

• Átmeneti valószínűségi amplitudó koordinátareprezentációban (időfüggő Green-függvény, $t'>t$):
  $ \begin{eqnarray} \left< \boldsymbol{r}'\left|\hat U_t\right|\boldsymbol{r}\right > &=& \left< \boldsymbol{r}'\left|\exp\left(-i\frac{\hat H (t'-t)}{\hbar}\right)\right|\boldsymbol{r}\right > = \int d^3\boldsymbol{r_1}\int d^3\boldsymbol{r_2} ... \int d^3\boldsymbol{r_{N-1}}\left< \boldsymbol{r}'\left|\exp\left(-i\frac{\hat H (t'-t_{N-1})}{\hbar}\right)\right|\boldsymbol{r_{N-1}}\right >... \left< \boldsymbol{r_2}\left|\exp\left(-i\frac{\hat H (t_2-t_1)}{\hbar}\right)\right|\boldsymbol{r_1}\right > \left< \boldsymbol{r_1}\left|\exp\left(-i\frac{\hat H (t_1-t)}{\hbar}\right)\right|\boldsymbol{r}\right > \end{eqnarray} $
  Itt
  $ \begin{eqnarray} \hat H &=& \frac{\hat p^2}{2m}+V(\boldsymbol{r})\;,\quad \frac{(t_1-t)}{\hbar}=\frac{(t_2-t_1)}{\hbar}=...\frac{(t'-t_{N-1})}{\hbar}=\frac{(t'-t)}{N\hbar}=\tau \end{eqnarray} $
  Tekintsük a következő összefüggést:
  $ \begin{eqnarray} \exp\left(-i\hat H \tau\right)&=&\exp\left(-i\frac{1}{2} V(\boldsymbol{r}) \tau\right)\exp\left(-i\frac{\hat p^2}{2m} \tau\right)\exp\left(-i\frac{1}{2} V(\boldsymbol{r}) \tau\right)+O(\tau^3)\\ 1-i\frac{\hat p^2}{2m} \tau-iV(\boldsymbol{r}) \tau&-&\frac{1}{2}\left(\frac{\hat p^2}{2m}\right)^2\tau^2-\frac{1}{2}\frac{\hat p^2}{2m}V(\boldsymbol{r})\tau^2 -\frac{1}{2}V(\boldsymbol{r})\frac{\hat p^2}{2m}\tau^2 -\frac{1}{2}V^2(\boldsymbol{r})\tau^2+O(\tau^3)\\ &=&\left[1-i\frac{1}{2} V(\boldsymbol{r}) \tau-\frac{1}{8} V^2(\boldsymbol{r})\tau^2\right]\left[1-i\frac{\hat p^2}{2m} \tau-\frac{1}{2}\left(\frac{\hat p^2}{2m}\right)^2\tau^2\right]\left[1-i\frac{1}{2} V(\boldsymbol{r}) \tau-\frac{1}{8} V^2(\boldsymbol{r})\tau^2\right]+O(\tau^3) \end{eqnarray} $
  Ennek megfelelően
  $ \begin{eqnarray} \left< \boldsymbol{r_2}\left|\exp\left(-i\hat H \tau\right)\right|\boldsymbol{r_1}\right >&=&\exp\left(-i\frac{1}{2} \left(V(\boldsymbol{r_2}+V(\boldsymbol{r_1})\right) \tau\right)\left< \boldsymbol{r_2}\left|\exp\left(-i\frac{\hat p^2}{2m} \tau\right)\right|\boldsymbol{r_1}\right >\\&=&\exp\left(-i\frac{1}{2} \left(V(\boldsymbol{r_2}+V(\boldsymbol{r_1})\right) \tau\right)\int d^3\boldsymbol{p_1}\left< \boldsymbol{r_2}\left|\exp\left(-i\frac{\hat p^2}{2m} \tau\right)\right|\boldsymbol{p_1}\right >\left< \boldsymbol{p_1}\left|\right.\boldsymbol{r_1}\right >\\&=&\int d^3\boldsymbol{p_1}\exp\left(-i\frac{1}{2} \left(V(\boldsymbol{r_2}+V(\boldsymbol{r_1})\right)\tau-i\frac{p_1^2}{2m} \tau \right)\left< \boldsymbol{r_2}\left|\right.\boldsymbol{p_1}\right >\left< \boldsymbol{p_1}\left|\right.\boldsymbol{r_1}\right >\\&=&\int \frac{d^3\boldsymbol{p_1}}{(2\pi\hbar)^3}\exp\left(-i\frac{1}{2} \left(V(\boldsymbol{r_2}+V(\boldsymbol{r_1})\right)\tau-i\frac{p_1^2}{2m} \tau \right)\exp\left(i\frac{\boldsymbol{r_2}\boldsymbol{p_1}}{\hbar}\right)\exp\left(-i\frac{\boldsymbol{r_1}\boldsymbol{p_1}}{\hbar}\right) \end{eqnarray} $