Szimbolikus dinamika

Next: További káoszhoz vezetõ utak Up: A kialakult káosz jellemzése Previous: Fraktáldimenzió

Szimbolikus dinamika

Dinamikai rendszerek: fázistér, pályák, valószínûségi mérték, mértéket invariánsan hagyó dinamika (automorfizmus)

Ábra: Valószínûségi mérték megadása a pályák terében (szimultán valószínûségek)
$\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{9_stoch_foly.eps} \end{center} \end{figure}$

Valószínûségi mérték:

$\begin{displaymath}\mu(C_1,t_1;C_2, t_2;C_3,t_3;...;C_n,t_n)\end{displaymath}$

Valószínûségsûrûség:

$\begin{displaymath}P_n(x_1,t_1;x_2, t_2;x_3,t_3;...;x_n,t_n)dx_1\;dx_2\;dx_3...dx_n\end{displaymath}$

$\displaystyle P_{n-1}(x_1,t_1;...x_{i-1}, t_{i-1};x_{i+1}, t_{i+1};...;x_n,t_n)$

$\displaystyle =\int dx_i\;P_n(x_1,t_1;...;x_{i-1}, t_{i-1};x_{i}, t_{i};x_{i+1}, t_{i+1};...;x_n,t_n)$
Partíció, generáló partíció, Markov-partíció
Partíció: a fázistér felosztása diszjunkt halmazokra, melyek uniója a teljes fázistér. Véges partíciók jelentõsége. Szimbolikus dinamika, ábécé, útvonal, átmeneti mátrix, teljes és ``megmetszett'' szimbolikus dinamika (pruning).
Generáló partíció: (nullmértékû halmaztól eltekintve) egy-egyértelmû kapcsolat létezik a pályák és a szimbólumsorozatok között.
Markov-partíció: az átmeneti valószínûség nem függ az elõzményektõl.

$\begin{displaymath}P(C_n,t_n\vert C_1,t_1;C_2, t_2;C_3,t_3;...;C_{n-1},t_{n-1}) =P(C_n,t_n\vert C_{n-1},t_{n-1})\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\mu(C_1,t_1;C_2, t_2;C_3,t_3;...;C_n,t_n)=P(C_n,t_n\vert C_{n-1},t_{n-1}) ... P(C_2,t_2\vert C_1, t_1)...\mu(C_{1},t_1)\end{displaymath}$
Példák: 1D leképezések, 3 tárcsás biliárd

Ábra: Partíció és szimbólumok egydimenziós leképezésre
$\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{9_1Dmap.eps} \end{center} \end{figure}$

Ábra: Háromtárcsás biliárd
$\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{9_3disk.eps} \end{center} \end{figure}$
Szimbolikus dinamika alkalmazása egymaximumú 1D leképezésekre: kneading sequence, univerzális pályasorrend

$\begin{displaymath}LRRRLR\rightarrow x\in f^{-1}_{L}\circ f^{-1}_{R}\circ f^{-1}_{R}\circ f^{-1}_{R}\circ f^{-1}_{L} (I_R)\end{displaymath}$

**Ábra:** Valószínûségi mérték megadása a pályák terében (szimultán valószínûségek)
$\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{9_stoch_foly.eps} \end{center} \end{figure}$

**Ábra:** Partíció és szimbólumok egydimenziós leképezésre
$\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{9_1Dmap.eps} \end{center} \end{figure}$

**Ábra:** Háromtárcsás biliárd
$\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{9_3disk.eps} \end{center} \end{figure}$

Next: További káoszhoz vezetõ utak Up: A kialakult káosz jellemzése Previous: Fraktáldimenzió

Bene Gyula 2004-05-10

$\displaystyle P_{n-1}(x_1,t_1;...x_{i-1}, t_{i-1};x_{i+1}, t_{i+1};...;x_n,t_n)$
$\displaystyle =\int dx_i\;P_n(x_1,t_1;...;x_{i-1}, t_{i-1};x_{i}, t_{i};x_{i+1}, t_{i+1};...;x_n,t_n)$