Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
10.1. Homogén és izotróp tér
Szinkronizált vonatkoztatási rendszer:
$$ds^2=c^2dt^2-\gamma_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta$$
Infinitezimális koordinátatranszformáció hatása adott pontban:
$$\delta \gamma_{\alpha \beta}=-\xi_{\alpha; \beta}-\xi_{\beta; \alpha}$$
Izometria:
$$\xi_{\alpha; \beta}+\xi_{\beta; \alpha}=0$$
Homogén és izotróp tér: hat lineárisan független
izometria létezik.
Az izometriák alakja adott pont közelében, lokálisan geodetikus rendszerben.
10.1.1. Sík tér
$$ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\delta_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta$$
Polárkoordinátákban:
$$ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(dr^2+r^2(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2)\right)$$
Az $R(t)$ skálafaktor időfüggését az Einstein-egyenletekből kapjuk.
Távolságok:
Adott térkoordinátájú pontok geodetikus világvonalnak felelnek meg. A
négyessebesség térszerű komponensei eltűnnek.
$$d{\ell} =R(t)\sqrt{dx^\alpha dx^\alpha}$$
A térben nyugvó pontok közötti távolság tehát a skálafaktornak megfelelően változik.
Fény terjedése:
$$ds^2=0\quad \rightarrow\quad dr=\frac{cdt}{R(t)}$$
Adott időpontban mért távolság a kibocsájtás helyétől:
$$\ell=R(t_2)\int_{t_1}^{t_2}\frac{cdt}{R(t)}$$
Christoffel-szimbólumok:
$$\Gamma^i_{\phantom 0jk}=\frac{1}{2}g^{im}\left(
\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}
+\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}\right)$$
A nullától különböző komponenseknek legfeljebb egy időszerű indexe lehet ($x^0=t$).
$$\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}
=\frac{1}{2}\dot \gamma_{\alpha\beta}
=\frac{\dot R(t)}{R(t)} \gamma_{\alpha\beta}$$
$$\Gamma^\alpha_{\phantom 00\beta}
=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha\delta}\dot \gamma_{\delta\beta}
=\frac{\dot R(t)}{R(t)} \delta^\alpha_\beta$$
$$\frac{dk^0}{d\lambda}+\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}k^\alpha k^\beta=0$$
$$\frac{dx^0}{d\lambda}=k^0$$
$$\dot k^0=-\frac{\dot R(t)}{R(t)}k^0
\quad \rightarrow \quad
k^0\propto \frac{1}{R(t)}
$$
$$\frac{\omega(t_2)}{\omega(t_1)}=\frac{R(t_1)}{R(t_2)}$$
A frekvencia fordítottan arányos a skálafaktorral. Vöröseltolódás.
Intenzitás:
$$I\propto \frac{\omega^2}{A}\propto \frac{1}{R^4(t)
\left(\int\frac{cdt}{R(t)}\right)^2}$$
$$\frac{I(t_2)}{I(t_1)}=
\frac{R^4(t_1)\left(\int_{t_0}^{t_1}
\frac{dt}{R(t)}\right)^2}{R^4(t_2)\left(\int_{t_0}^{t_2}
\frac{dt}{R(t)}\right)^2}$$
10.1.2. Pozitív görbületű tér
Homogén és izotróp térmetrikát kapunk a következő konstrukcióval: egy képzeletbeli négydimenziós euklideszi térben elhelyezkedő négydimenziós gömb háromdimenziós felszínének metrikáját határozzuk meg. $$d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2+(dx^4)^2$$ $$(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2+(x^4)^2=a^2$$ Utóbbiból $$x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3+x^4dx^4=0$$ Így $$d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2 +\frac{\left(x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3\right)^2}{a^2 -\left((x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2\right)}$$ Metrika az origó közelében: $$\gamma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}+\frac{x^\alpha x^\beta}{a^2}$$ Térgörbület: $$P=\frac{6}{a^2}$$ Térbeli polárkoordináták: $$x^1=a\;r\;\sin\vartheta \cos\varphi$$ $$x^2=a\;r\;\sin\vartheta \sin\varphi$$ $$x^3=a\;r\;\cos\vartheta $$ $$d\ell^2=a^2dr^2+a^2r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)+\frac{a^4r^2dr^2}{a^2 -a^2r^2}$$ azaz $$d\ell^2=a^2\left(\frac{dr^2}{1-r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)$$ Téridőbeli ívelemnégyzet: $$ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)$$
10.1.3. Negatív görbületű tér
Beágyazás csak hétdimenziós euklideszi térbe lehetséges.
Formálisan viszont írhatjuk:
$$d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2
+\frac{\left(x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3\right)^2}{-a^2
-\left((x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2\right)}$$
Metrika az origó közelében:
$$\gamma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}-\frac{x^\alpha x^\beta}{a^2}$$
Térgörbület:
$$P=-\frac{6}{a^2}$$
Térbeli polárkoordináták:
$$x^1=a\;r\;\sin\vartheta \cos\varphi$$
$$x^2=a\;r\;\sin\vartheta \sin\varphi$$
$$x^3=a\;r\;\cos\vartheta $$
$$d\ell^2=a^2dr^2+a^2r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)+\frac{a^4r^2dr^2}{-a^2
-a^2r^2}$$
azaz
$$d\ell^2=a^2\left(\frac{dr^2}{1+r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)$$
Téridőbeli ívelemnégyzet:
$$ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1+r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta
\;d\varphi^2\right)\right)$$
A három különböző eset egységes alakban (Friedmann-Robertson-Walker-metrika):
$$ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-K\;r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta
\;d\varphi^2\right)\right)$$
Itt $K=0, \pm 1$.
Távolságok:
Sugárirányra merőlegesen: $$d{\ell} =R(t)\;r\;d\vartheta$$ Sugárirányban: $$d{\ell} =R(t)\frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}$$
Fény terjedése:
$$ds^2=0\quad \rightarrow\quad \frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}=\frac{cdt}{R(t)}$$
Adott időpontban mért távolság a kibocsájtás helyétől:
$$\ell=R(t_2)\int_{t_1}^{t_2}\frac{cdt}{R(t)}$$
Christoffel-szimbólumok:
$$\Gamma^i_{\phantom 0jk}=\frac{1}{2}g^{im}\left(
\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}
+\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}\right)$$
A nullától különböző komponenseknek legfeljebb egy időszerű indexe lehet ($x^0=t$).
$$\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}
=\frac{1}{2}\dot \gamma_{\alpha\beta}
=\frac{\dot R(t)}{R(t)} \gamma_{\alpha\beta}$$
$$\Gamma^\alpha_{\phantom 00\beta}
=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha\delta}\dot \gamma_{\delta\beta}
=\frac{\dot R(t)}{R(t)} \delta^\alpha_\beta$$
$$\frac{dk^0}{d\lambda}+\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}k^\alpha k^\beta=0$$
$$\frac{dx^0}{d\lambda}=k^0$$
$$\dot k^0=-\frac{\dot R(t)}{R(t)}k^0
\quad \rightarrow \quad
k^0\propto \frac{1}{R(t)}
$$
$$\frac{\omega(t_2)}{\omega(t_1)}=\frac{R(t_1)}{R(t_2)}$$
A frekvencia fordítottan arányos a skálafaktorral. Vöröseltolódás.
Intenzitás:
$$I\propto \frac{\omega^2}{A}\propto \frac{1}{R^4(t)
r^2(t)}$$
$$\frac{I(t_2)}{I(t_1)}=
\frac{R^4(t_1)r^2(t_1)
}{R^4(t_2)r^2(t_2)
}$$
ahol
$$\int_0^{r(t_i)}\frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}=\int_{t_0}^{t_i}\frac{cdt}{R(t)}$$