General relativity
Dr. Gyula Bene
Department for Theoretical Physics, Loránd Eötvös University
Pázmány Péter sétány 1/A, 1117 Budapest
8. week
Megmaradási tételek
%Az energia-impulzus tenzor négyesdivergenciája eltűnik, de ebből nem
%következik megmaradási tétel. Ok: az anyag és gravitációs tér együttes
%négyesimpulzusa marad meg. Az energia, impulzus, impulzusmomentum,
%tömegközéppont megmaradása gravitációs térben. A gravitációs tér
%energia-impulzus pszeudotenzora. A tér megmaradó teljes négyesimpulzusának
%transzformációs tulajdonságai.
%6.2. Megmaradási tételek. Az energia, impulzus, impulzusmomentum, tömegközéppont megmaradása gravitációs térben.
Görbült téridőben az energia-impulzus-tenzor a
$$\begin{align}
T^{k}_{i;k}=0
\end{align}$$
koninuitási egyenletnek tesz eleget,
ami felírható
$$\begin{align}
T^{k}_{i;k}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \left(T^{k}_{i}\sqrt{-g}\right)}{\partial x^k}-
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}T^{kl}=0
\end{align}$$
alakban. Ebből nem következik megmaradási tétel!
Magyarázat: csak a gravitációs tér és az anyag együttes energiája és impulzusa marad meg.
A megmaradó, teljes négyesimpulzus meghatározása
Az Einstein-egyenletek felhasználásával olyan kifejezést keresünk, amely a gravitációs tér kikapcsolásakor
(azaz lokálisan geodetikus rendszerben) az anyag $T^{ik}$ energia-impulzus-tenzorába megy át, térfogati integrálja megmaradó mennyiség, és melynek általános esetben $T^{ik}$-tól való eltérése a metrikának legfeljebb első deriváltjaitól függ.
Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk (az adott pontban a metrikus tenzor első deriváltjai
ill. a Christoffel-szimbólumok eltûnnek)
Az adott pontban
$$\begin{align}
T^{ik}_{;k}=\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k}=0
\end{align}$$
$T^{ik}$-t az Einstein-egyenletek segítségével
$$\begin{align}
T^{ik}=\frac{\partial \eta^{ikl}}{\partial x^l}
\end{align}$$
alakra hozzuk (még mindig lokálisan geodetikus rendszerben), ahol
$$\begin{align}
\eta^{ikl}=-\eta^{ilk}
\end{align}$$
(Ekkor a kontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)
Ehhez
kiindulunk az Einstein-egyenletekből:
$$\begin{align}
T^{ik}=\frac{c^4}{8\pi k}\left({\mathcal R}_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}{\mathcal R}\right)
\end{align}$$
Felhasználjuk, hogy lokálisan geodetikus rendszerben
$$\begin{align}
{\mathcal R}^{ik}
=
\frac{1}{2}\;g^{im}g^{kp}g^{ln}\left\{\frac{\partial^2 g_{lp}}{\partial x^m \partial x^n}
+\frac{\partial^2 g_{mn}}{\partial x^l \partial x^p}
-\frac{\partial^2 g_{ln}}{\partial x^m \partial x^p}
-\frac{\partial^2 g_{mp}}{\partial x^l \partial x^n}
\right\}
\end{align}$$
Kapjuk:
$$\begin{align}
T^{ik}=\frac{\partial}{\partial x^l}\left\{\frac{1}{(-g)}\right.&\underbrace{\frac{c^4}{16\pi k}\frac{\partial}{\partial x^m}
\left[(-g)\left(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km}\right)\right]}&\left.\phantom{\frac{1}{(-g)}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\right\}\\
&b^{ikl}&
\end{align}$$
($\eta^{ikl}=\frac{1}{(-g)}b^{ikl}$)
Lokálisan geodetikus rendszerben
$$\begin{align}
T^{ik}=\frac{1}{(-g)}\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}
\end{align}$$
vagy
$$\begin{align}
(-g)T^{ik}=\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}
\end{align}$$
Visszatérünk általános görbevonalú koordinátákra. Ekkor
$$\begin{align}
(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)=\frac{\partial b^{ikl}}{\partial x^l}
\end{align}$$
ahol $t^{ik}$ csak a metrikus tenzor első deriváltjaitól függ. Expliciten ($T^{ik}$-t ismét a téregyenletből véve):
$$\begin{align}
t^{ik}&=\frac{c^4}{16\pi k}\left\{\left(g^{il}g^{km}-g^{ik}g^{lm}\right)\left(2\Gamma^n_{lm}\Gamma^p_{np}-\Gamma^n_{lp}\Gamma^p_{mn}-\Gamma^n_{ln}\Gamma^p_{mp}\right)\right. \\
&+\left.g^{il}g^{mn}\left(\Gamma^k_{lp}\Gamma^p_{mn}+\Gamma^k_{mn}\Gamma^p_{lp}-\Gamma^k_{np}\Gamma^p_{lm}
-\Gamma^k_{lm}\Gamma^p_{np}\right)\right. \\
&+\left.g^{kl}g^{mn}\left(\Gamma^i_{lp}\Gamma^p_{mn}+\Gamma^i_{mn}\Gamma^p_{lp}-\Gamma^i_{np}\Gamma^p_{lm}
-\Gamma^i_{lm}\Gamma^p_{np}\right)\right. \\
&+\left.g^{lm}g^{np}\left(\Gamma^i_{ln}\Gamma^k_{mp}-\Gamma^i_{lm}\Gamma^k_{np}\right)
\right\} \phantom{pszeud}
\end{align}$$
$t^{ik}$ a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora.
Mivel
$$\begin{align}
b^{ikl}=-b^{ilk}
\end{align}$$
azonosan teljesül, hogy
$$\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x^k}(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)=0
\end{align}$$
Emiatt
$$\begin{align}
P^i=\frac{1}{c}\int (-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)dS_k
\end{align}$$
megmaradó mennyiség. Ez az anyag és a gravitációs tér együttes ``négyesimpulzusa''.
(Ténylegesen nem négyesvektor, mivel a négyesvektorok a tér különböző pontjaiban különbözőképpen transzformálódnak,
$P^i$ pedig egy teljes háromdimenziós hiperfelülethez tartozik.)
Mivel
$(-g)\left(T^{ik}+t^{ik}\right)$
szimmetrikus az $i,k$ indexekben, megmarad a négyes impulzusmomentum:
$$\begin{align}
J^{ik}=\int \left(x^idP^k-x^kdP^i\right)=\frac{1}{c}\int \left[x^i\left(T^{kl}+t^{kl}\right)
-x^k\left(T^{il}+t^{il}\right)\right](-g)dS_l
\end{align}$$
A tömegközéppont megmaradása a $J^{0\alpha}$ mennyiség megmaradásának felel meg:
$$\begin{align}
x^0\int \left(T^{\alpha 0}+t^{\alpha 0}\right)(-g)dV-\int x^\alpha\left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV=const.
\end{align}$$
Másképpen:
$$\begin{align}
X^\alpha=const.'+\frac{P^\alpha}{P^0}x^0
\end{align}$$
ahol
$$\begin{align}
X^\alpha=\frac{\int x^\alpha\left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV}{\int \left(T^{00}+t^{00}\right)(-g)dV}
\end{align}$$
A négyesimpulzus és a négyes impulzusmomentum kifejezése felületi integrálként:
$$\begin{align}
P^i=\frac{1}{c}\int \frac{\partial b^{i0l}}{\partial x^l}dV=\frac{1}{c}\int \frac{\partial b^{i0\alpha}}{\partial x^\alpha}dV=
\frac{1}{c}\oint b^{i0\alpha}df_{\alpha}
\end{align}$$
Hasonlóan belátható, hogy
$$\begin{align}
J^{ik}=\frac{1}{c}\oint \left(x^ib^{k0\alpha}-x^kb^{i0\alpha}+\lambda^{i0\alpha k}\right)df_{\alpha}
\end{align}$$
bene@arpad.elte.hu