General relativity
Dr. Gyula Bene
Department for Theoretical Physics, Loránd Eötvös University
Pázmány Péter sétány 1/A, 1117 Budapest
7. week
Einstein-egyenletek
%Anyag és gravitációs tér egyesített hatása. Az Einstein-egyenletek
%származtatása. Az Einstein-egyenletek tulajdonságai. Csak a metrikus tenzor
%térszerű komponenseinek lép fel a második
%deriváltja. Kényszerek. Kezdetiérték-probléma. Függetlenül megadható fizikai
%mennyiségek.
Variációs elv:
$$\begin{align}
\delta (S_g+S_m)=0
\end{align}$$
A metrikus tenzor komponensei szerint variálunk.
$$\begin{align}
\delta S_g\propto \delta \int {\mathcal R}\sqrt{-g}d\Omega &= \delta \int g^{ik}{\mathcal R}_{ik}\sqrt{-g}d\Omega \\&
=\int \left({\mathcal R}_{ik}\sqrt{-g} \delta g^{ik}+ g^{ik}{\mathcal R}_{ik}\delta \sqrt{-g}+g^{ik}\sqrt{-g}\delta {\mathcal R}_{ik}\right)d\Omega
\end{align}$$
$$\begin{align}
\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\;g_{ik}\;\delta g^{ik}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\delta \int R\sqrt{-g}d\Omega = \int \left({\mathcal R}_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R\right)\delta g^{ik}d\Omega
+\int g^{ik}\delta {\mathcal R}_{ik}\;\sqrt{-g}d\Omega
\end{align}$$
Megmutatjuk, hogy a második tag eltűnik:
$\delta \Gamma^k_{il}A_k dx^l$
vektor, mert azonos pontokban levő vektorok különbsége. Eszerint
$\delta \Gamma^k_{il}$
tenzor.
Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk. Ekkor a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek.
$$\begin{align}
g^{ik}\delta {\mathcal R}_{ik}=g^{ik}\left(\frac{\partial }{\partial x^l}\delta \Gamma^l_{ik}
-\frac{\partial }{\partial x^k}\delta \Gamma^l_{il}
\right)=\frac{\partial w^l}{\partial x^l}
\end{align}$$
ahol
$$\begin{align}
w^l=g^{ik}\delta \Gamma^l_{ik}-g^{il}\delta \Gamma^k_{ik}
\end{align}$$
Általános esetben tehát
$$\begin{align}
g^{ik}\delta {\mathcal R}_{ik}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\left(\sqrt{-g}\; w^l\right)}{\partial x^l}
\end{align}$$
A Gauss-tételt alkalmazva bizonyítjuk az eredeti állítást.
Tehát
$$\begin{align}
\delta S_g=-\frac{c^3}{16\pi k}\int \left({\mathcal R}_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}{\mathcal R}\right)\delta g^{ik}d\Omega
\end{align}$$
Az anyag hatásintegráljának variációja (ld. az energia-impulzus-tenzor levezetését):
$$\begin{align}
\delta S_m=\frac{1}{2c}\int T_{ik}\delta g^{ik}\;\sqrt{-g}\;d\Omega
\end{align}$$
Végül tehát a teljes variáció:
$$\begin{align}
-\frac{c^3}{16\pi k}\int \left({\mathcal R}_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}{\mathcal R}-\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik}\right)\delta g^{ik}d\Omega
\end{align}$$
amiből megkapjuk az Einstein-egyenleteket:
$$\begin{align}
{\mathcal R}_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}{\mathcal R}=\frac{8\pi k}{c^4} T_{ik}
\end{align}$$
Másképpen:
$$\begin{align}
{\mathcal R}^k_{i}-\frac{1}{2}\delta^k_{i}{\mathcal R}=\frac{8\pi k}{c^4} T^k_{i}\phantom{ein_v}
\end{align}$$
Az indexeket összeejtve:
$$\begin{align}
{\mathcal R}=-\frac{8\pi k}{c^4} T
\end{align}$$
Ezért írhatjuk:
$$\begin{align}
{\mathcal R}_{ik}=\frac{8\pi k}{c^4} \left(T_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}T\right)
\end{align}$$
Az Einstein-egyenletek nemlineáris, másodrendű parciális
differenciálegyenletek. Csak a metrikus tenzor térszerű komponenseinek fordul
elő bennük a második időderiváltja, és az is csak az $\dots^\alpha_\beta$
típusú térszerű indexeket tartalmazó egyenletben. A másik négy egyenlet csak
első időderiváltakat tartalmaz, ezek tehát kényszerekként értelmezhetők.
Az anyag és gravitációs tér kezdeti értékei emiatt nem adhatók meg
függetlenül. Összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg, ezek közül
négy az anyagot jellemzi (pl. a négyessebesség komponensei), négy pedig a
szabad gravitációs teret (két független polarizáció, amplitudók és
időderiváltjuk).
Az anyag mozgásegyenlete következik az Einstein-egyenletekből.
Az egyértelmű megoldáshoz az anyag állapotegyenletére is szükség van, ezt az
Einstein-egyenletek nem tartalmazzák.
\subsubsection{Konzisztencia az energia-impulzus tenzor kovariáns
négyesdivergenciájának eltűnésével}
Az Einstein-egyenletek levezetéséhez az energia-impulzus tenzor olyan alakját
használtuk, amelynek alapvető tulajdonsága volt kovariáns
négyesdivergenciájának eltűnése. Megmutatjuk, hogy ez összhangban van az
Einstein-egyenletekkel. Az (\ref{ein_v}) egyenlet mindkét oldalának
kovariáns négyesdivergenciáját véve
$$\begin{align}
{\mathcal R}^k_{i;k}-\frac{1}{2}{\mathcal R}_{,i}=\frac{8\pi k}{c^4} T^k_{i;k}\phantom{ein_v2}
\end{align}$$
adódik. A baloldal a Bianchi-azonosságból következő (\ref{bian2}) összefüggés miatt eltűnik.
bene@arpad.elte.hu