General relativity
Dr. Gyula Bene
Department for Theoretical Physics, Loránd Eötvös University
Pázmány Péter sétány 1/A, 1117 Budapest
6. week
Energy-momentum tensor
Another Új levezetést adunk az energia-impulzus-tenzorra, amely azonnal szimmetrikus $T_{ik}$-t eredményez
Gondolatmenet:
- Végtelen kis általános koordinátatranszformációt végzünk.
- Ennek következtében az anyag hatásfüggvénye (mivel a Lagrange-sűrűség skalár) nem változhat, $\delta S=0$.
- Formálisan felírjuk a hatás koordinátatranszformációból eredő megváltozását és egyenlővé tesszük nullával.
- Az anyagot jellemző térmennyiségek (pl. elektromágneses térerősségtenzor) kielégítik a mozgásegyenleteket, így
a koordinátatranszformációból eredő megváltozásuk a hatás kifejezésében első rendben nem ad járulékot.
- Csak a metrika megváltozása eredményez nemtriviális változást. Eredmény: egy szimmetrikus tenzor ($T_{ik}$)
kovariáns négyesdivergenciája nulla. (Ez most nem jelenti automatikusan megmaradó mennyiség létezését!)
$$\begin{align}
S=\frac{1}{c}\int \Lambda\sqrt{-g}\;d\Omega
\end{align}$$
Infinitezimális koordinátatranszformáció:
$$\begin{align}
x'^i=x^i+\xi^i
\end{align}$$
($\xi^i$ kicsi)
$$\begin{align}
dx'^i=dx^i+\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}dx^l=\left(\delta^i_l+\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}\right)dx^l
\end{align}$$
$$\begin{align}
g'^{ik}(x'^l)=g^{mn}(x^l)\left(\delta^i_m+\frac{\partial \xi^i}{\partial x^m}\right)\left(\delta^k_n+\frac{\partial \xi^k}{\partial x^n}\right)\approx g^{ik}(x^l)+g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}
+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n}
\end{align}$$
Átalakítjuk a baloldalt:
$$\begin{align}
g'^{ik}(x'^l)=g'^{ik}(x^l+\xi^l)=g'^{ik}(x^l)+\frac{\partial g'^{ik}}{\partial x^l}\xi^l\approx g'^{ik}(x^l)+\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\xi^l
\end{align}$$
Végül tehát
$$\begin{align}
g'^{ik}(x^l)=g^{ik}(x^l)-\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\xi^l+g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}
+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\xi^{i;k}+\xi^{k;i}&=g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n}+g^{km}\Gamma^i_{ml}\xi^l
+g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{im}\Gamma^k_{ml}\xi^l \\
&=g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n}
+\left(g^{km}g^{in}+g^{im}g^{kn}\right)\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{nm}}{\partial x^l}+\frac{\partial g_{nl}}{\partial x^m}
-\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^n}\right)\xi^l
\\
&=g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n}
+g^{km}g^{in}\frac{\partial g_{nm}}{\partial x^l}\xi^l=g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n}
-g^{km}g_{nm}\frac{\partial g^{in}}{\partial x^l}\xi^l \\
&=g^{im}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m}+g^{kn}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n}
-\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\xi^l
\end{align}$$
Tehát
$$\begin{align}
g'^{ik}(x^l)=g^{ik}(x^l)+\delta g^{ik}(x^l)\;,\quad\quad \delta g^{ik}=\xi^{i;k}+\xi^{k;i}
\end{align}$$
Hasonlóan (mivel
$g'^{ik}g'_{kl}=\delta^i_l$
)
$$\begin{align}
g'_{ik}(x^l)=g_{ik}(x^l)+\delta g_{ik}(x^l)\;,\quad\quad \delta g_{ik}=-\xi_{i;k}-\xi_{k;i}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\delta S&=\frac{1}{c}\int \left\{\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}
+\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\right)}\delta \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}
\right)\right\}d\Omega \\
&=\frac{1}{c}\int \left\{\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial g^{ik}}
-\frac{\partial }{\partial x^l}\left(\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\right)}\right)\right\}\delta g^{ik}\;d\Omega
\end{align}$$
Legyen
$$\begin{align}
T_{ik}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\left\{\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial g^{ik}}
-\frac{\partial }{\partial x^l}\left(\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\Lambda\right)}{\partial \left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}\right)}\right)\right\}
\end{align}$$
(Szimmetrikus!)
Ekkor
$$\begin{align}
\delta S=\frac{1}{2c}\int T_{ik}\delta g^{ik}\;\sqrt{-g}\;d\Omega
\end{align}$$
$\delta g^{ik}$ kifejezését behelyettesítve:
$$\begin{align}
\delta S=\frac{1}{2c}\int T_{ik}\left(\xi^{i;k}+\xi^{k;i}\right)\;\sqrt{-g}\;d\Omega
\end{align}$$
Másképpen:
$$\begin{align}
\delta S&=\frac{1}{c}\int T_{ik}\xi^{i;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega=\frac{1}{c}\int T^k_{i}\xi^{i}_{;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega \\
&=\frac{1}{c}\int \left(T^k_{i}\xi^{i}\right)_{;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega
-\frac{1}{c}\int \xi^{i}\;T^k_{i;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega
\end{align}$$
Az első tagban felhasználjuk a vektorok kovariáns négyesdivergenciájára vonatkozó azonosságot. Kapjuk:
$$\begin{align}
\int \left(T^k_{i}\xi^{i}\right)_{;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega=\int \frac{\partial }{\partial x^k}\left(\sqrt{-g}\;T^k_{i}\xi^{i}\right)\;d\Omega
\end{align}$$
Ezt a négydimenziós Gauss-tétel segítségével átalakítva nullát kapunk.
Marad:
$$\begin{align}
\delta S=-\frac{1}{c}\int \xi^{i}\;T^k_{i;k}\;\sqrt{-g}\;d\Omega
\end{align}$$
Mivel $\xi^{i}$ tetszőleges,
$$\begin{align}
T^k_{i;k}=0
\end{align}$$
következik. Ez sík téridőben az energia-impulzus-tenzor kontinuitási egyenletével azonos alakú.
\section{Példák energia-impulzus tenzorra:}
\subsection{Elektromágneses tér}
Lagrange-sűrűség ($\sqrt{-g}$ nélkül):
$$\begin{align}
\Lambda=-\frac{\epsilon_0}{4}F_{ik}F^{ik}\end{align}$$
Energia-impulzus-tenzor:
$$\begin{align}
T_{ik}=\epsilon_0\left(-F_{il}F_k^l+\frac{1}{4}F_{lm}F^{lm}g_{ik}\right)\end{align}$$
\subsection{Makroszkopikus anyag (por, gáz, folyadék stb.)}
$$\begin{align}
T_{ik}=(p+\epsilon)u_iu_k-p\;g_{ik}\end{align}$$
Itt $p$ a nyomás, $\epsilon$ az energiasűrűség (térfogategységre eső energia),
$u^i$ pedig az anyag négyessebessége.
bene@arpad.elte.hu