General relativity
Dr. Gyula Bene
Department for Theoretical Physics, Loránd Eötvös University
Pázmány Péter sétány 1/A, 1117 Budapest
10. week
Gyenge gravitációs mezők
Kis tömegek esetében a gravitációs mezők mindenütt gyengék lehetnek,
pontosabban található olyan koordinátarendszer, melynek pontjaiban a metrika a
Minkowski-metrikától csak csekély mértékben tér el. Az ilyen
koordinátarendszerek választása nem egyértelmű, mivel az identitáshoz közeli
koordinátatranszformáció ugyanilyen tulajdonságú koordinátarendszerbe visz át.
Gyenge gravitációk mezők esetében a metrika tehát felírható
$$\begin{align}
g_{ik}=\eta_{ik}+h_{ik}
\end{align}$$
alakban, ahol $\eta_{ik}$ a Minkowski-metrika, $h_{ik}$ komponensei pedig
abszolút értékben kicsik az egységhez képest. Ilyen körülmények között a
$h_{ik}$-ban négyzetes és annál magasabb rendű tagok elhanyagolhatók.
A metrikus tenzor determinánsa pl. közelítőleg
$$\begin{align}
g=-1-\eta^{ik}h_{ik}
\end{align}$$
lesz, a kontravariáns metrikus tenzor pedig
$$\begin{align}
g^{ik}=\eta^{ik}-\eta^{ij}\eta^{kn}h_{jn}\;,
\end{align}$$
amit közvetlen számítással ellenőrizhetünk. Az indexek fel- és lehúzását
a Minkowski-metrikával fogjuk végezni, tehát definíció szerint
$$\begin{align}
h^{ik}=\eta^{ij}\eta^{kn}h_{jn}\;.
\end{align}$$
A Riemann-tenzor lineáris rendig
$$\begin{align}
{\mathcal R}_{iklm}=
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 h_{im}}{\partial x^k \partial x^l}
+\frac{\partial^2 h_{kl}}{\partial x^i \partial x^m}
-\frac{\partial^2 h_{il}}{\partial x^k \partial x^m}
-\frac{\partial^2 h_{km}}{\partial x^i \partial x^l}
\right)\;,
\end{align}$$
amiből a Minkowski-metrikával végzett indexösszeejtésekkel kapjuk a
Ricci-tenzort:
$$\begin{align}
{\mathcal R}_{km}&=
\frac{1}{2}\eta^{il}\left(\frac{\partial^2 h_{im}}{\partial x^k \partial x^l}
+\frac{\partial^2 h_{kl}}{\partial x^i \partial x^m}
-\frac{\partial^2 h_{il}}{\partial x^k \partial x^m}
-\frac{\partial^2 h_{km}}{\partial x^i \partial x^l}
\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(-\eta^{il}\frac{\partial^2 h_{km}}{\partial x^i \partial
x^l}
+\frac{\partial^2 h_{m}^l}{\partial x^l \partial x^k}
+\frac{\partial^2 h_{k}^l}{\partial x^l \partial x^m}
-\frac{\partial^2 h_{l}^l}{\partial x^k \partial x^m}\right)
\;.\phantom{gyeng1b}
\end{align}$$
Ha $x'^i=x^i+\xi^i(\{x^k\})$ alakú transzformációt végzünk, ahol a $\xi^i$
függvény kicsi, akkor
$$\begin{align}
h'_{ik}=h_{ik}-\frac{\partial \xi_i}{\partial x^k}-\frac{\partial \xi_k}{\partial x^i}\phantom{gyeng_tr}
\end{align}$$
lesz az új koordinátarendszerben a metrika korrekciója, ami továbbra is
kicsi. Ezt a szabadságot, tehát a négy $\xi^i$ függvény tetszőleges
megválasztásának lehetőségét arra használjuk, hogy alkalmas mellékfeltételeket
kiszabva egyszerűsítsük az Einstein-egyenleteket. Legyen
$$\begin{align}
\psi^k_i=h^k_i-\frac{1}{2}\delta^k_ih^j_j\;.\phantom{gyeng_psi}
\end{align}$$
A mellékfeltételek legyenek
$$\begin{align}
\frac{\partial \psi^k_i}{\partial x^k}=0\;.\phantom{gyeng_mellek}
\end{align}$$
Könnyen belátható, hogy a ... egyenlet utolsó három tagja ennek
következtében kölcsönösen kiejti egymást. Marad tehát
$$\begin{align}
{\mathcal R}_{km}=\frac{1}{2}\square h_{km}\equiv -\frac{1}{2}\eta^{il}\frac{\partial^2 h_{km}}{\partial x^i \partial
x^l}
\end{align}
$$
Itt $\square=\triangle-1/c^2\partial^2/\partial t^2$ a d'Alambert-operátor. Az Einstein-egyenletek ennek megfelelően az
$$\begin{align}
\frac{1}{2}\square \psi^k_i=\frac{8\pi k}{c^4}T^k_{i}\phantom{gyeng2}
\end{align}$$
alakot öltik. Közvetlenül
belátható, hogy a ... mellékfeltételek teljesülnek.
Sztatikus gravitációs tér
Sztatikus tömegeloszlás esetén a $T^0_0$ komponenshez képest az
energia-impulzus tenzor többi tagja
elhanyagolható. Ekkor a .... egyenlet a
$$\begin{align}
\triangle \psi^0_0=\frac{16\pi k}{c^2}\rho\phantom{gyeng3}
\end{align}$$
alakot ölti, ahol $\rho$ a tömegsűrűség. A többi komponens esetén a jobboldalon nulla áll, amiből
az következik, hogy $\psi^k_i$ többi komponense eltűnik. A ...
egyenlet megoldása
$$\begin{align}
\psi^0_0({\bf r})=-\frac{4 k}{c^2}\int \frac{\rho({\bf r}')d^3{\bf r}'}{|{\bf r}-{\bf r}'|}\;,\phantom{gyeng4}
\end{align}$$
amiből
$$\begin{align}
h^0_0({\bf r})=-h^\alpha_\alpha({\bf r})=-\frac{2 k}{c^2}\int \frac{\rho({\bf
r}')d^3{\bf r}'}{|{\bf r}-{\bf r}'|}\equiv \frac{2 \Phi({\bf r})}{c^2}\;,\phantom{gyeng4a}
\end{align}$$
adódik. Itt az $\alpha$ térszerű indexre nincs összegzés, $\Phi({\bf r})$
pedig a klasszikus newtoni gravitációs potenciál. Az ívelemnégyzet gyenge
szatikus gravitációs térben tehát
$$\begin{align}
ds^2 = \left( 1+\frac{2\Phi ({\bf r}) }{c^2} \right) c^2dt^2-\left(
1-\frac{2\Phi({\bf r})}{c^2} \right) \left( dx^2+dy^2+dz^2 \right)
\;.
\end{align}$$
Stacionárius gravitációs tér
Az energia-impulzus tenzor és metrika továbbra is időtől független, azonban
$T^0_0$ mellett a $T^\alpha_0$ ill. $T^0_\alpha$ komponensek is számottevőek.
A (\ref{gyeng3}) egyenlet mellett a
$$\begin{align}
\triangle \psi^\alpha_0=\frac{16\pi k}{c^3}\rho v^\alpha\phantom{gyeng6}
\end{align}$$
egyenlet is megoldandó, a megoldás
$$\begin{align}
h^\alpha_0({\bf r})=-\frac{4 k}{c^3}\int \frac{\rho({\bf
r}')v^\alpha({\bf
r}')d^3{\bf r}'}{|{\bf r}-{\bf r}'|}\;.\phantom{gyeng7}
\end{align}$$
${\bf J}$ impulzusmomentumú forgó test esetén az eredmény
$$\begin{align}
h_{\alpha 0}({\bf r})=\frac{2k}{c^3}\frac{\left({\bf r}\times{\bf J}\right)_\alpha}{r^3}\;.\phantom{gyeng7a}
\end{align}$$
Gravitációs hullámok
Gravitációs hullámok terjedése Minkowski-térben
A forrásoktól távol a gyenge gravitációs tér egyenletei a
$$\begin{align}
\square \psi^k_i=0\phantom{gyeng8}
\end{align}$$
hullámegyenletek, melyeknek a triviális nullán kívül fénysebességgel terjedő
hullámmegoldásai is vannak. Ha a metrikát alávetjük a (\ref{gyeng_tr})
koordinátatranszformációnak, a transzformált metrika továbbra is teljesíti a
(\ref{gyeng_mellek}) mellékfeltételt, amennyiben
$$\begin{align}
\square \xi^i=0\phantom{gyeng_m1}
\end{align}$$
teljesül. Ezt a szabadságot fel fogjuk használni a metrika egyszerűbb alakra
hozására.
A (\ref{gyeng8}) egyenlet síkhullám megoldását
$$\begin{align}
\psi^n_m=A^n_m\exp\left(ik_jx^j\right)\phantom{gyeng9}
\end{align}$$
alakba írhatjuk, ahol a négyes hullámszámvektor négyzete nulla,
$$\begin{align}
k_jk^j=0\;,\phantom{gyeng10}
\end{align}$$
a mellékfeltételek következtében pedig
$$\begin{align}
A^n_mk_n=0\phantom{gyeng11}
\end{align}$$
teljesül a konstans $A^n_i$ amplitudóra. Mindebből a metrika korrekciójára
$$\begin{align}
h_{nm}=\left(A_{nm}-\frac{1}{2}\eta_{nm}A^j_j\right)\exp\left(ik_jx^j\right)\phantom{gyeng12}
\end{align}$$
adódik. Végezzünk olyan $x'^n=x^n+\xi^n(x)$ koordinátatranszformációt, melyre (\ref{gyeng_m1})
teljesül, legyen speciálisan
$$\begin{align}
\xi^n=\zeta^n\exp\left(ik_jx^j\right)\;,\phantom{gyeng13}
\end{align}$$
aho $\zeta^n$ konstans vektor. Ezzel
$$\begin{align}
A'_{nm}=A_{nm}+i\eta_{nm}k^j\zeta_j-ik_n\zeta_m-ik_m\zeta_n\phantom{gyeng14}
\end{align}$$
Az általánosság csorbítása nélkül választhatjuk a koordinátatengelyeket úgy,
hogy a hullámszámvektor térszerű része éppen az $x$ tengely pozitív irányába
mutasson. Ekkor tehát $k^0=k^1=k$, $k_2=k_3=0$. Ezzel (\ref{gyeng11})-ből
$$\begin{align}
A'_{10}&=-A'_{00}=-A'_{11}\\
A'_{20}&=-A'_{21}\\
A'_{30}&=-A'_{31}
\end{align}$$
következik. A négy $\zeta^n$ számot úgy választjuk meg, hogy $A'_{10}$,
$A'_{20}$, $A'_{30}$ és $A'_{22}+A'_{33}$ nullává váljon. Ekkor az $A'^n_n$
spur is eltűnik. Ezek a feltételek expliciten (\ref{gyeng14}) szerint azt
jelentik, hogy
$$\begin{align}
&A_{10}+ik\zeta_0-ik\zeta_1=0\\
&A_{20}-ik\zeta_2=0\\
&A_{30}-ik\zeta_3=0\\
&A_{22}+A_{33}-2ik(\zeta_0+\zeta_1)=0\;,
\end{align}$$
ami a $\zeta_j$ komponensekre mindig megoldható.
A (\ref{gyeng14}) transzformációból ugyanakkor
$$\begin{align}
A'_{23}&=A_{23}\\
A'_{22}-A'_{33}&=A_{22}-A_{33}
\end{align}$$
következik, ezeket a mennyiségeket tehát a koordinátatranszformáció nem
befolyásolja. Végül tehát $h_{nm}$ együtthatómátrixa
$$\begin{align}
\left(
\begin{array}{cccc}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&A_{22}&A_{23}\\
0&0&A_{23}&-A_{22}\\
\end{array}
\right)
\end{align}$$
lesz, tehát a két független $A_{22}$ és $A_{23}$ mennyiség határozza meg.
Az amplitudómátrix merőleges a hármas
hullámszám-vektorra\footnote{Természetesen a négyes hullámszám-vektorra is
merőleges.} (azaz $A_{n\alpha}k^\alpha=0$), tehát transzverzális hullámmal
van dolgunk. Az amplitudót meghatározó két független mennyiség két lehetséges
polarizációnak felel meg ($A_{22}=0$ és $A_{23}=1$ ill. $A_{23}=0$ és
$A_{22}=1$), melyek a terjedés iránya (az $x$ tengely) körüli $45^\circ$-os
elforgatással vihetők át egymásba.
Gravitációs síkhullám által szállított energia
Síkhullámokra a gravitációs tér (\ref{pszeud}) energia-impulzus pszeudotenzora
$$\begin{align}
t^{ik}=\frac{c^4}{32\pi k}h^{n,i}_mh^{m,k}_n
\end{align}$$
alakban egyszerűsödik. Az $x$ tengely mentén terjedő síkhullámra ebből az
energiaáram sűrűségére
$$\begin{align}
ct^{01}=\frac{c^3}{16\pi k}\left[\left(\dot{h}_{23}\right)^2+\frac{1}{4}\left(\dot{h}_{22}-\dot{h}_{33}\right)^2\right]\phantom{gyeng_en}
\end{align}$$
adódik.
Gravitációs hullámok kisugárzása
Források, azaz nullától különböző energia-impulzus tenzor esetén
a (\ref{gyeng2}) egyenletet kell megoldani. Ez pontosan ugyanolyan alakú, mint
elektromágneses sugárzás esetén a négyespotenciál egyenlete, ennek megfelelően a
megoldás közvetlenül felírható:
$$\begin{align}
\psi^j_n({\bf r},t)=-\frac{4 k}{c^4}\int \frac{T^j_n({\bf
r}',t')d^3{\bf r}'}{|{\bf r}-{\bf r}'|}\;,\phantom{gyeng_sug1}
\end{align}$$
ahol
$$\begin{align}
t'=t-\frac{|{\bf r}-{\bf r}'|}{c}\;.\phantom{gyeng_sug2}
\end{align}$$
Feltéve, hogy a forrás kiterjedése a hullámhossznál jóval kisebb, a
megfigyelési pont távolsága a forrástól pedig a hullámhossznál jóval nagyobb
(hullámzóna), akkor ez
közelítőleg
$$\begin{align}
\psi^j_n({\bf r},t)=-\frac{4 k}{c^4R_0}\int T^j_n({\bf
r}',t')d^3{\bf r}'\;,\phantom{gyeng_sug3}
\end{align}$$
alakba írható, ahol
$$\begin{align}
t'=t-\frac{R_0}{c}\;,\phantom{gyeng_sug4}
\end{align}$$
és
$$\begin{align}
R_0=|{\bf r}-{\bf r}_0|\;,\phantom{gyeng_sug4a}
\end{align}$$
ahol ${\bf r}_0$ a forrás belsejébe eső tetszőleges, rögzített pont.
Ezt a formulát az előbbiek szerint elegendő térszerű indexekre
kiértékelni, tehát a
$$\begin{align}
h_{\alpha\beta}({\bf r},t)=-\frac{4 k}{c^4R_0}\int T_{\alpha\beta}({\bf
r}',t')d^3{\bf r}'\;,\phantom{gyeng_sug5}
\end{align}$$
képletet használhatjuk. A kontinuitási egyenlet most egyszerűen
$$\begin{align}
\frac{\partial T_{00}}{\partial x^0}-\frac{\partial T_{0\mu}}{\partial x^\mu}=0
\end{align}$$
és
$$\begin{align}
\frac{\partial T_{0\mu}}{\partial x^0}-\frac{\partial T_{\mu\nu}}{\partial x^\nu}=0
\end{align}$$
alakba írható, amiből
$$\begin{align}
\frac{\partial^2 T_{00}}{\partial x^{02}}=\frac{\partial^2 T_{0\mu}}{\partial x^\mu\partial x^{0}}=\frac{\partial T_{\mu\nu}}{\partial x^\mu\partial x^\nu}
\end{align}$$
következik. Ha mindkét oldalt $x^\alpha x^\beta$-val szorozzuk, ebből
$$\begin{align}
\frac{\partial^2 T_{00}x^\alpha x^\beta}{\partial x^{02}}=x^\alpha x^\beta\frac{\partial T_{\mu\nu}}{\partial x^\mu\partial x^\nu}=\frac{\partial T_{\mu\nu}x^\alpha x^\beta}{\partial x^\mu\partial x^\nu}-2\frac{\partial }{\partial x^\mu}\left(T_{\mu\alpha}x^\beta+T_{\mu\beta}x^\alpha\right)+2T_{\alpha\beta}
\end{align}$$
adódik. Az egyenlőséget a hármas térre integrálva, Gauss tételének
alkalmazásával kapjuk, hogy
$$\begin{align}
\int T_{\alpha\beta}d^3{\bf r}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x^{0}}\right)^2\int x^\alpha x^\beta T_{00}d^3{\bf r}\;.
\end{align}$$
Így tehát
$$\begin{align}
h_{\alpha\beta}({\bf r},t)=-\frac{2 k}{c^4R_0}\frac{\partial^2 }{\partial
t^{2}}\int \rho({\bf
r}',t')x'^\alpha x'^\beta d^3{\bf r}'\;,\phantom{gyeng_sug6}
\end{align}$$
ahol $\rho=T_{00}/c^2$ a tömegsűrűség.
Bevezetjük a
$$\begin{align}
Q_{\alpha\beta}=\int \rho(3 x^\alpha x^\beta -\delta_{\alpha\beta} x_\gamma^2)d^3{\bf r}
\end{align}$$
kvadrupólmomentum-tenzort. Ezzel
a forrástól távol $x$ irányban elhelyezkedő megfigyelési pontban a két transzverzális amplitudó
$$\begin{align}
h_{23}=-\frac{2 k}{3c^4R_0}\ddot{Q}_{23}\phantom{gyeng_sug7a}
\end{align}$$
és
$$\begin{align}
h_{22}-h_{33}=-\frac{2 k}{3c^4R_0}\left(\ddot{Q}_{22}-\ddot{Q}_{33}\right)\;.\phantom{gyeng_sug7b}
\end{align}$$
Az $x$ irányú energiaáram-sűrűségre ezzel (\ref{gyeng_en})-ból a
$$\begin{align}
ct^{01}=\frac{k}{36\pi c^5 R_0^2}\left[{\dddot{Q}}^2_{23}+\frac{1}{4}\left({\dddot{Q}}_{22}-{\dddot{Q}}_{33}\right)^2\right]
\phantom{gyeng_sug8}
\end{align}$$
formulát kapjuk. A gravitációs sugárzás által szállított energiát a teljes
térszögre vett integrálással kapjuk, a végeredmény
$$\begin{align}
-\frac{dE}{dt}=\frac{k}{45c^5}{\dddot{Q}}^2_{\alpha\beta}\;,
\phantom{gyeng_sug9}
\end{align}$$
ahol az $\alpha$, $\beta$ indexekre összegezni kell. Könnyen kiszámítható ennek
segítségével két, közös tömegközéppont körül keringő égitest gravitációs
sugárzása miatti energiaveszteség:
$$\begin{align}
-\frac{dE}{dt}=\frac{32k^4m_1^2m_2^2(m_1+m_2)}{5c^5r^5}\;,
\phantom{gyeng_sug10}
\end{align}$$
ahol $m_1$ és $m_2$ az égitestek tömege, $r$ az egymástól mért
távolságuk. Természetesen a formula adiabatikus közelítésben érvényes, amikor
a gravitációs sugárzás által elvitt energia sokkal kisebb, mint a kettős rendszer
mechanikai energiája, és emiatt $r$ csak lassan változik a keringés
periódusidejéhez képest.
bene@arpad.elte.hu