tovább fel vissza

General relativity

Dr. Gyula Bene
Department for Theoretical Physics, Loránd Eötvös University
Pázmány Péter sétány 1/A, 1117 Budapest
11. week

Az általános relativitáselmélet kísérleti bizonyítékai I.

Az ekvivalencia elvének kísérleti bizonyítékai. Perihélium-elfordulás. Fényelhajlás gravitációs térben. Összehasonlítás a newtoni gravitáció következményével. Gravitációs vöröseltolódás. Gravity Probe B kísérlet. Gravitációs hullámok, Hulse-Taylor-pulzár.

Az ekvivalencia elvének kísérleti bizonyítékai

Az általános relativitáselmélet szempontjából kulcsfontosságú az ekvivalencia elve, mely szerint a tehetetlenségi erők és a gravitációs erők lokálisan ekvivalensek. Ez egyben azt is jelenti, hogy a gravitációs mezőbe tett testre ható erő annak tehetetlen tömegével arányos (ahogyan a tehetetlenségi erők esetében), és semmilyen más tulajdonságától nem függ. Ez a feltevés kísérletileg ellenőrizhető. Ha a tehetetlen és a súlyos tömegek egyenlőek, akkor a csak gravitációs mezőben történő mozgás a tömegtől és anyagi minőségtől független. Emiatt alkalmasak az ekvivalencia elvének ellenőrzésére az ejtési ill. ingakísérletek. A torziós inga alkalmazása a forgó Földön a centrifugális erő és a nehézségi erő egyidejű hatását méri. A gravitációs erő vízszintes komponenseinek kis különbségei a függőleges helyzetű vékony fémszálat elcsavarják. A kísérletekben az elcsavarodás szögét mérik. Az Eötvös-féle torziós ingával (az inga több különböző pozíciójában mérve, értve ezen a függőleges tengely körüli elforgatást) meghatározhatók a gravitációs potenciál vegyes második deriváltjai, $\triangle \phi$ és ezenkívül az inga karjain elhelyezett tömegek súlyának esetleges anyagi minőségtől való függése. Eötvös módszere (geofizikai jelentőségén túl, mert egyébként az USA legnagyobb olajlelőhelyét az Eötvös-féle torziós inga segítségével fedezték fel) a maga korában kivételes tudományos hatású volt. Mérésének pontosságát Renner János még a 30-as években a 25-szörösére növelte. A jelenlegi legpontosabb mérés a hibahatárt csaknem további négy nagyságrenddel csökkentette. Mai tudásunk szerint legalább 13 jegy relatív pontossággal azonos a tehetetlen és a súlyos tömeg (legalábbis a megvizsgált anyagokra). Ciufolini és Wheeler összeállítása az elvégzett kísérletekről:
Year Investigator Accuracy Method
500? Philoponus "small" drop tower
1585 Stevin $5\times 10^{-2}$ drop tower
1590? Galileo $2\times10^{-2}$ pendulum, drop tower
1686 Newton $10^{-3}$ pendulum
1832 Bessel $2\times10^{-5}$ pendulum
1910 Southerns $5\times10^{-6}$ pendulum
1918 Zeeman $3\times10^{-8}$ torsion balance
1922 Eötvös $5\times10^{-9}$ torsion balance
1923 Potter $3\times10^{-6}$ pendulum
1935 Renner $2\times10^{-10}$ torsion balance
1964 Dicke,Roll,Krotkov $3\times10^{-11}$ torsion balance
1972 Braginsky,Panov $10^{-12 }$ torsion balance
1976 Shapiro, et al. $10^{-12 }$ lunar laser ranging
1981 Keiser,Faller $4\times10^{-11 }$ fluid support (swimming torsion balance with electrostatic restoring torque)
1987 Niebauer, et al. $10^{-10 }$ drop tower
1989 Heckel, et al. $10^{-11}$ torsion balance
1990 Adelberger, et al. $10^{-12}$ torsion balance
1999 Baessler, et al. $5\times10^{-14 }$ torsion balance

Perihélium-elfordulás

Perihélium-elfordulás (gyenge gravitációs tér esetén): Mivel a potenciál nem tisztán $1/r$-es, hanem $1/r^3$-ös korrekciót kap, a pályák nem záródnak. A napközelpont- a perihélium - ezért lassan vándorol, egy körülfordulás során $$\begin{align} \delta \varphi&=2\int_{r_{min}}^{r_{max}} \frac{J\;dr}{r^2\sqrt{\left(\left(\frac{E}{c}\right)^2-m^2c^2\right)+\frac{2km^2M}{r}-\frac{J^2}{r^2}+\frac{2kMJ^2}{c^2}\frac{1}{r^3}}}-2\pi \\ &=\frac{6\pi k^2 m^2 M^2}{c^2 J^2}=\frac{6\pi k M}{c^2 a(1-e^2)} \end{align}$$ mértékben, ahol $a$ az ellipszis nagytengelye, $e$ az excentricitása. Proof: $$\begin{align} \delta \varphi&=2\int_{r_{min}}^{r_{max}} \frac{J\;dr}{r^2\sqrt{\left(\left(\frac{E}{c}\right)^2-m^2c^2\right)+\frac{2km^2M}{r}-\frac{J^2}{r^2}+\frac{2kMJ^2}{c^2}\frac{1}{r^3}}}-2\pi \end{align}$$ Legyen $E'=\frac{1}{2m}\left(\left(\frac{E}{c}\right)^2-m^2c^2\right)\approx E-mc^2$. Kötött mozgás esetén ez az érték negatív. Jelöljük továbbá a $\frac{2kMJ^2}{c^2}$ együtthatót $\beta$-val. Fentebb $r_{min}$ és $r_{max}$ a pálya fordulópontjai, vagyis a gyökjel alatti kifejezés zérushelyei. Ezek értéke közelítőleg (a $\beta/r^3$-ös korrekciós tag elhanyagolásával kiszámítva): $$\begin{align} \frac{1}{r_{min}}&\approx \frac{km^2M}{J^2}\left(1+\sqrt{1+\frac{2E'J^2}{k^2m^3M^2}}\right)\\ \frac{1}{r_{max}}&\approx \frac{km^2M}{J^2}\left(1-\sqrt{1+\frac{2E'J^2}{k^2m^3M^2}}\right) \end{align}$$ Mivel $E'<0$, mindkét érték pozitív. Ezekután $$\begin{align} \delta \varphi&=-2\pi+2\int_{r_{min}}^{r_{max}} \frac{J\;dr}{r^2\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{r}-\frac{J^2}{r^2}+\frac{\beta}{r^3}}} \\ &=-2\pi-2\frac{\partial }{\partial J}\left(\int_{r_{min}}^{r_{max}}dr\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{r}-\frac{J^2}{r^2}+\frac{\beta}{r^3}}\right) \end{align}$$ Az integrandust sorbafejtjük $\beta $ szerint elsőrendig. A nulladrend eltűnik, ugyanis $$\begin{align} &-2\pi-2\frac{\partial }{\partial J}\left(\int_{r_{min}}^{r_{max}}dr\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{r}-\frac{J^2}{r^2}}\right) \\ =&-2\pi+2\int_{r_{min}}^{r_{max}} \frac{J\;dr}{r^2\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{r}-\frac{J^2}{r^2}}} \\ =&-2\pi+2\int_{J/r_{max}}^{J/r_{min}} \frac{d\xi}{\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{J}\xi-\xi^2}} \\ &\left(\text{itt }\xi=\frac{J}{r}\right) \\ =&-2\pi+2\int_{J/r_{max}}^{J/r_{min}} \frac{d\xi}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}-\left(\xi-\frac{km^2M}{J}\right)^2}} \\ =&-2\pi+2\int_{\zeta_1}^{\zeta_2} \frac{d\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \\ &\left(\text{itt }\zeta=\frac{\xi-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}\;,\quad \zeta_1=\frac{\frac{J}{r_{max}}-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}=-1\;,\quad \zeta_2=\frac{\frac{J}{r_{min}}-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}=1 \right) \\ =&-2\pi+2\int_{-1}^{1} \frac{d\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}=-2\pi+2\left.\arcsin\zeta\phantom{\frac{1}{1}}\right|_{-1}^1=0. \end{align}$$ Első rendben: $$\begin{align} \delta \varphi&=-\beta\frac{\partial }{\partial J}\left(\int_{r_{min}}^{r_{max}}\frac{dr}{r^3\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{r}-\frac{J^2}{r^2}}}\right) \\ &=-\beta\frac{\partial }{\partial J}\left(\frac{1}{J^2}\int_{J/r_{max}}^{J/r_{min}}\frac{\xi\;d\xi}{\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{J}\xi-\xi^2}}\right) \\ &\left(\text{itt }\xi=\frac{J}{r}\right) \\ &=-\beta\frac{\partial }{\partial J}\left(\frac{1}{J^2}\int_{J/r_{max}}^{J/r_{min}} \frac{\xi\;d\xi}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}-\left(\xi-\frac{km^2M}{J}\right)^2}}\right) \\ &=-\beta\frac{\partial }{\partial J}\left(\frac{1}{J^2}\int_{\zeta_1}^{\zeta_2} \frac{\left(\frac{km^2M}{J}+\zeta\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}\right)\;d\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right) \\ &\left(\text{itt }\zeta=\frac{\xi-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}\;,\quad \zeta_1=\frac{\frac{J}{r_{max}}-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}=-1\;,\quad \zeta_2=\frac{\frac{J}{r_{min}}-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}=1 \right) \\ &=-\beta\frac{\partial }{\partial J}\left(\frac{km^2M}{J^3}\underbrace{\int_{-1}^{1} \frac{d\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}_{=\pi}+\frac{1}{J^2}\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}\underbrace{\int_{-1}^{1} \frac{\zeta\;d\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}_{=0}\right) \\ &=\beta\frac{3\pi km^2M}{J^4} \\ &=\frac{6\pi k^2m^2M^2}{c^2 J^2}=\frac{6\pi k M}{c^2 a(1-e^2)} \end{align}$$ Az utolsó egyenlőség a perturbálatlan pálya paramétereit, az $a$ fél nagytengelyt és az $e$ excentricitást használja. A perturbálatlan pálya ugyanis: $$\begin{align} \varphi&=\int_{r}^{r_{max}}\frac{J\;dr}{r^2\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{r}-\frac{J^2}{r^2}}} \\ &=\int_{J/r_{max}}^{J/r} \frac{d\xi}{\sqrt{2mE'+\frac{2km^2M}{J}\xi-\xi^2}} \\ &\left(\text{itt }\xi=\frac{J}{r}\right) \\ &=\int_{J/r_{max}}^{J/r} \frac{d\xi}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}-\left(\xi-\frac{km^2M}{J}\right)^2}} \\ &=\int_{\zeta_1}^{\zeta} \frac{d\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \\ &\left(\text{itt }\zeta=\frac{\xi-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}\;,\quad\zeta_1=\frac{\frac{J}{r_{max}}-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}=-1 \right) \\ &=\int_{-1}^{\zeta} \frac{d\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\pi-\arccos\zeta \end{align}$$ Feltéve, hogy $\zeta\in(-1,1)$ és $\varphi\in (0,\pi)$, a fenti összefüggésből $$\begin{align}\zeta=\cos(\pi-\varphi)=-\cos\varphi\end{align}$$ következik, azaz $$\begin{align}\frac{\frac{J}{r}-\frac{km^2M}{J}}{\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}}=-\cos\varphi\end{align}$$ Ebből $$\begin{align} \frac{J}{r}= \frac{km^2M}{J}-\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}\cos\varphi\;, \end{align}$$ azaz $$\begin{align} \frac{1}{r}= \frac{km^2M}{J^2}\left(1-\frac{J}{km^2M}\sqrt{2mE'+\frac{k^2m^4M^2}{J^2}}\cos\varphi\right) \end{align}$$ Ez ellipszis egyenlete $$\begin{align}p=\frac{J^2}{km^2M}\end{align}$$ paraméterrel és $$\begin{align}e=\sqrt{1+\frac{2E'J^2}{k^2m^3M^2}}\end{align}$$ excentricitással: $$\begin{align}r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}\end{align}$$ A fél nagytengely $$\begin{align}a=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{1-e\cos 0}+\frac{p}{1-e\cos\pi}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{1-e}+\frac{p}{1+e}\right)=\frac{p}{1-e^2}\end{align}$$ Ebből $$\begin{align}\frac{J^2}{km^2M}=p=a(1-e^2)\end{align}$$ és ezzel $$\begin{align}\delta \varphi=\frac{6\pi k^2m^2M^2}{c^2 J^2}=\frac{6\pi k M}{c^2 a(1-e^2)}\end{align}$$ A Naprendszerben a perihélium-elfordulás a Merkur esetében a legerősebb. A jelenlegi legpontosabb - radarral végzett - megfigyelések szerint a Naprendszer tömegközéppontjához rögzített inerciarendszerhez képest a Merkur perihélium-vándorlása évszázadonként összesen $574.10\pm 0.65$ szögmásodpercet tesz ki. Ezt a következő okok magyarázzák:
Amount (arcsec/century) Cause
$531.63 \pm 0.69$ A többi bolygó gravitációs vonzása
$0.0254$ A Nap lapultsága (kvadrupólmomentum)
$42.98 \pm 0.04$ Általános relativitáselmélet
$574.64\pm 0.69$ Összesen
$574.10\pm 0.65$& Megfigyelés
Az általános relativitáselméletből származó jelentős járulékot figyelembe véve tehát a mért értékkel az elméleti érték hibahatáron belül egyezik.

A fénysugár elgörbülése gravitációs térben

Gravitációs térben a fénysugár elhajlik. A fénysugár irányának megváltozása (gyenge gravitációs tér esetén): $$\begin{align} \delta \varphi&=2\int_{r_{min}}^{\infty} \frac{\rho\;dr}{r^2\sqrt{1-\frac{\rho^2}{r^2}+\frac{2kM \rho^2}{c^2}\frac{1}{r^3}}}-\pi \\ &=\frac{2r_g}{\rho}=\frac{4kM}{c^2 \rho} \end{align}$$ Proof: Legyen $r_{min}\approx \rho$ és $\beta'=\frac{2kM \rho^2}{c^2}$. Ekkor $$\begin{align} \delta \varphi&=2\int_{r_{min}}^{\infty} \frac{\rho\;dr}{r^2\sqrt{1-\frac{\rho^2}{r^2}+\frac{\beta'}{r^3}}}-\pi \\ &=-\pi-2\frac{\partial }{\partial \rho}\left(\int_{r_{min}}^{\infty}dr\sqrt{1-\frac{\rho^2}{r^2}+\frac{\beta'}{r^3}}\right) \\ &(\beta'\text{ a deriválás során állandónak tekintendő)} \\ &=-\beta'\frac{\partial }{\partial \rho}\left(\int_{\rho}^{\infty}\frac{dr}{r^3\sqrt{1-\frac{\rho^2}{r^2}}}\right) \\ &=-\beta'\frac{\partial }{\partial \rho}\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{2\rho^2}\frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi}}\right) \\ &\left(\text{itt }\xi=\frac{\rho^2}{r^2}\;\right) \\ &=-\beta'\frac{\partial }{\partial \rho}\left(\frac{1}{2\rho^2}\underbrace{ \left. \left( -2\sqrt{1-\xi} \right) \phantom{\frac{1}{1}} \right|_0^1 }_{=2}\right) \\ &=\frac{2\beta'}{\rho^3}=\frac{4kM}{c^2 \rho} \end{align}$$ Kézenfekvő elvégeznünk egy félklasszikus számolást a következőképpen: egy fénysebességgel mozgó test mozgásirányra merőlegesen impulzusra tesz szert a newtoni gravitáció következtében. A pályát első közelítésben egyenesnek tekintjük. Az irányváltozás szögét a merőleges impulzusnak és az eredeti impulzusnak az aránya adja meg. $$\begin{align} F&=\frac{k\;E/c^2\;M}{\rho^2+x^2}\\ F_y&=\frac{\rho\;k\;E/c^2\;M}{\left(\rho^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\\ \delta \varphi&=\frac{\Delta p}{E/c}=\frac{c}{E}\int_{-\infty}^{\infty} F_y\frac{dx}{c}=\frac{c}{E}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\rho\;k\;E/c^2\;M}{\left(\rho^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\frac{dx}{c} \\ &=\frac{kM}{c^2 \rho}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left(1+\xi^2\right)^{\frac{3}{2}}}d\xi=\frac{kM}{c^2 \rho}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \alpha\; d\alpha \\ &\left(\text{itt }\xi=\frac{x}{\rho}={\rm tg}\;\alpha\;\right) \\ &=\frac{2kM}{c^2 \rho} \end{align}$$ Ez feleannyi, mint amit az általános relativitáselmélet jósol. Azért nem kapjuk vissza az általános relativitáselmélet eredményét, mert a klasszikus közelítés érvényességéhez két feltétel szükséges: $$\begin{itemize} \item legyen gyenge a gravitációs tér \item a sebességek legyenek kicsik a fénysebességhez képest. \end{itemize} Az utóbbi nem teljesül. A klasszikus eredmény hibájának másik oka az, hogy a gravitációs mező nem skalármező, hanem tenzormező.
A fénysugár irányváltozását a Nap közelében először 1919-ben Eddington mérte meg teljes napfogyatkozáskor. Ilyenkor meghatározható a Nap melletti csillagok iránya, ami aztán összevethető azzal az iránnyal, amit pl. fél évvel később észlelnek, amikor a Nap és az illető csillag az ég átellenes pontjain láthatók a Földről. Az eredmények, bár nagy hibával, de az általános relativitáselméletet igazolták. A jelenlegi legjobb eredményt rádiócsillagászati módszerekkel kapták (Lebach et al., 1995), ennek egyrészt sokkal jobb a szögfelbontása, másrészt nem kell várni a napfogyatkozásra. Az eredmények $8\times 10^{-4}$ relatív pontossággal egyeztek az általános relativitáselmélet jóslatával, az $1.75$ szögmásodperces értékkel (közvetlenül a Nap mellett elhaladó fénysugárra, vagyis a fenti képletekben $\rho$ a Nap sugara).

Gravitációs vöröseltolódás

A gravitációs vöröseltolódás formulája elemi megfontolásokkal megkapható az energiamegmaradásra alapozva. A Föld felszínéről függőlegesen felfelé $h$ távolságot megtevő foton körfrekvenciája legyen induláskor $\omega_1$, érkezéskor $\omega_2$. Mozgási energiája ennek megfelelően $\hbar\omega_1$ ill. $\hbar\omega_2$. Mivel a tömege $\hbar\omega/c^2$ (mindegy, melyik indexszel, mivel a csekély különbség elhanyagolható), a potenciális energia növekedése $(\hbar\omega/c^2)gh$, így az energiamegmaradásból $$\begin{align} \Delta \omega =-\frac{\omega gh}{c^2}\;.\phantom{reds2} \end{align}$$ Ez megegyezik a (\ref{reds}) képlettel. Az effektus rendkívül kicsi relatív frekvenciaváltozást jelent, $22.5\;m$-en\footnote{Ekkora volt ui. a szintkülönbség a Pound-Rebka kísérletben.} mindössze $2\times 10^{-15}$-öt. Ezt a rendkívül finom megváltozást mégis már 1960-ban sikerült kimutatni a nem sokkal korábban felfedezett Mössbauer-effektus\footnote{R. L. Mössbauer, 1958.} segítségével (Pound-Rebka kísérlet, 1960). A Mössbauer-effektus lényege, hogy alacsony hőmérsékleten megnő a visszalökődés-mentes - és így természetes vonalszélességű - gamma-rezonanciák valószínűsége. A jelenség annak köszönhető, hogy a fononspektrum alacsony energiás részén az állapotsűrűség nullához tart, így kis energiákon nagy valószínűséggel nem gerjesztődnek rácsrezgések, hanem a teljes rács egyetlen egységes tömbként lökődik vissza. Az egyébként nagyon éles atommagbeli gamma-átmenetek esetén pl. gázban erős a visszalökődés, ami nem teszi lehetővé a rezonanciák megfigyelését. Kristályrácsban viszont a rács egész tömege jelenik meg egyetlen atommag tömege helyett, így a visszalökődés teljességgel elhanyagolható lesz, és a nagyon éles rezonancia - az egyik minta atommagjai által kibocsátott gamma-sugárzás elnyelődése a másik minta atommagjaiban - megfigyelhetővé válik. A minta lassú mozgatásával (a gyakorlatban rezgetésével) lehet a Doppler-effektus révén a frekvenciát hangolni, és ezzel a gravitációs vöröseltolódást kimutatni. A Pound-Rebka kísérletben a (\ref{reds2}) képlet érvényességét 10\% pontossággal sikerült igazolni. Pound és Schneider a hibát 1964-ben 1\%-ra csökkentette, majd 1980-ban Vessot és munkatársai egy műholdon elhelyezett hidrogén-mézer segítségével 0.01\%-os ($10^{-4}$-es) pontosságot értek el.
tovább fel vissza
bene@arpad.elte.hu