General relativity
Dr. Gyula Bene
Department for Theoretical Physics, Loránd Eötvös University
Pázmány Péter sétány 1/A, 1117 Budapest
12. week
Az általános relativitáselmélet kísérleti bizonyítékai II.
Erőmentes pörgettyű precessziója: a Gravity Probe B kísérlet
Amint a 3.3 szakaszban láttuk, stacionárius, de nem sztatikus gravitációs
mezőkben nyugvó pörgettyűk tengelyiránya kúpfelület mentén lassan elfordul, precesszál. A gyenge
gravitációs mezők tárgyalásakor megmutattuk, hogy a Föld forgása miatt a Föld
gravitációs mezejének is nullától különböző $g_{0\alpha}$ komponensei vannak.
Gyenge stacionárius gravitációs mezőkben a (\ref{porg1}) egyenlet vezető rendben
$$\begin{align}
\frac{dn^\alpha}{dx^0}=-\frac{1}{2}g_{0\beta,\alpha}n^\beta\phantom{probe1}
\end{align}$$
alakú lesz.
Ennek megfelelően egy a Föld forgásában részt nem vevő erőmentes pörgettyű
tengelye precesszál (Lense-Thirring-effektus\footnote{Ugyanígy nevezik azt a
jelenséget is, amikor egy égitest forgása miatt a körülötte keringő tömegpont
pályasíkja elfordul.}). Valóban, ha a (\ref{gyeng7a}) képletet az (\ref{probe1})
egyenletbe helyettesítjük, azt kapjuk, hogy
$$\begin{align}
\dot{\bf n}=\frac{k}{c^2r^5}\left\{r^2\left({\bf n}\times{\bf J}\right)-3\left[{\bf r}\cdot\left({\bf n}\times{\bf J}\right)\right]{\bf r}\right\}\;.\phantom{probe2}
\end{align}$$
Az effektus kimutatásához egy pörgettyűt kell az űrben elhelyezni, hogy ne
forogjon együtt a Földdel. Ahhoz, hogy ne zuhanjon le, keringenie is kell a
Föld körül (lehetőleg minél közelebb a Földhöz, mivel az effektus a távolság
harmadik hatványával fordítottan arányos). A keringés, mint korábban láttuk, a
Thomas-precesszióra vezet, ami a keringés síkjára merőleges tengely körüli
precesszió.\footnote{Együtt keringő koordinátarendszerben a Thomas-precessziót
a (\ref{probe1}) egyenletből is levezethetjük.} A tényleges kísérlet, a
Gravity Probe B esetén a keringés síkja a Föld tengelyével
párhuzamos volt, mivel így a kétféle precesszió egymásra merőleges elmozdulást
eredményez\footnote{A két effektus egyidejű jelenléte csak magasabb rendben
eredményez korrekciót, így elhanyagolható.}, ami lehetővé teszi az elkülönítésüket. Valóban, egy ilyen pályára
kiátlagolva a (\ref{probe2}) egyenletet (mivel a precesszió nagyon lassú, az
átlagolás folyamán a pörgettyű tengelyének irányvektora, ${\bf n}$ állandónak
tekinthető),
$$\begin{align}
\dot{\bf n}=\frac{k}{2c^2r^3}\left({\bf J}\times{\bf n}\right)\;.\phantom{probe3}
\end{align}$$
adódik. Ezzel szemben a Thomas-precesszió (amit ez esetben
geodetikus-precessziónak szokás nevezni) egyenlete a
(\ref{porg2a})-(\ref{porg2c}) egyenletek alapján
$$\begin{align}
\dot{\bf n}=-\frac{r^2\omega^3}{2c^2}\left({\bf s}\times{\bf n}\right)=-\frac{(kM)^{3/2}}{2c^2r^{5/2}}\left({\bf s}\times{\bf n}\right)\;,\phantom{probe4}
\end{align}$$
ahol $\omega$ a keringés szögsebessége, $M$ a Föld tömege és ${\bf s}$ a
pályasík normálvektora. Ez utóbbi az egyenlítői síkkal párhuzamos.
\par\medskip
40 év tervezés és előkészítés után 2004-ben állították pályára a Gravity Probe
B műholdat, amely 2005-ig gyűjtötte az adatokat. Négy darab kb. pingponglabda
méretű, nióbiumbevonatú\footnote{A szupravezetés érdekében, mert ennek segítségével tartották
őket helyben ill. mérték a forgásukat.} kvarcgömb volt a pörgettyű, az ismert
legtökéletesebb gömbök, kb. 50 atomrétegnyi pontossággal. Az eredmények
kiértékelése 2011-ig tartott, végül a (\ref{probe3}) képletből adódó $0.037$
szögmásodperc/év precessziót (``frame dragging''), amely a Föld forgásának
következménye, 19\%-os pontossággal sikerült igazolni. A (\ref{probe4})
geodetikus precesszió $6.6$ szögmásodperc/év, ezt 0.2\% pontossággal igazolta
a mérés.
Gravitációs hullámok kisugárzása: a Hulse-Taylor-pulzár
1974-ben J.H.Taylor és R.A.Hulse az arecibo-i (Puerto Rico) 300 m-es
rádiótávcsővel felfedezett egy pulzárt. A pulzárok neutroncsillagok, tömegük a
Napénál valamivel nagyobb, de sugaruk csak 10 km körüli. Erős rádiósugárzást
bocsátanak ki a mágneses tengelyük mentén egy keskeny nyalábban. Ha a
forgástengely nem esik egybe a mágneses tengellyel, a rádiónyaláb egy
kúpfelületet söpör végig. Ha a Föld véletlenül ezen a kúpfelületen van, akkor
a forgás ütemében a pulzár irányából rádióimpulzus észlelhető. A Hulse és
Taylor felfedezte PSR B1913+16 jelű pulzár\footnote{Felfedezőik tiszteletére
Hulse-Taylor kettőspulzárnak is nevezik.} esetében az észlelés 430 Mhz-en
történt, és a rádióimpulzusok frekvenciája 59 ms volt (17 fordulat
másodpercenként). Ez a frekvencia azonban ingadozott. A pulzárok forgása
nagyon stabil, ezért a változás annak tulajdonítható, hogy a pulzár
láthatatlan kísérője körül kering, és az impulzusok frekvenciája ennek során a
Doppler-effektus miatt változik. Az impulzusok alapos elemzéséből meg lehetett
határozni a kettős rendszer pályaelemeit. Kiderült, hogy mindkét csillag
neutroncsillag közel egyenlő, 1.4 naptömegnyi tömeggel. Megnyúlt
ellipszispályán keringenek a kettős tömegközéppontja körül, a legkisebb
távolságuk 746 600 km, a legnagyobb 3 153 600 km. A pálya síkja kb. 45 fokos
szöget zár be a megfigyelés irányával. A keringés periódusideje
mindössze 7.75 óra. Ilyen körülmények között a periasztron-elfordulás (a
perihélium-elfordulás neve a Naptól különböző csillagok esetében) lényegesen
nagyobb, mint a Merkur esetében (ahol 43 szögmásodperc évszázadonként): 4 fok évenként.
Az alapos elemzés megmutatta, hogy a keringés periódusideje évente 76.5
mikroszekundummal csökken. Ez a csökkenés a gravitációs hullámok
kisugárzásából ered. A (\ref{gyeng_sug10}) formula (ill. ellipszispályákra
érvényes általánosítása) a kettős rendszerre alkalmazva a periódusidő
csökkenéséről 0.2\%-os pontossággal számot ad (Weisberg és Taylor,
2004).\footnote{Hulse és Taylor eredményei ennél pontatlanabbak voltak, de a
felfedezés óta folyamatosan gyűlnek az adatok.} Taylor és
Hulse felfedezésükért 1993-ban Nobel-díjat kaptak.
Gravitációs hullámok földi észlelése
bene@arpad.elte.hu