General relativity
Dr. Gyula Bene
Department for Theoretical Physics, Loránd Eötvös University
Pázmány Péter sétány 1/A, 1117 Budapest
13. week
Relativisztikus kozmológia
Homogén és izotrop tér. Friedmann-Robertson-Walker metrika. Skálafaktor. Zárt, nyílt, sík modell. Fény terjedése homogén univerzumban. Tágulás, vöröseltolódás. Divergenciaegyenlet. Anyagtípusok, állapotegyenletek. Korai és késői univerzum, domináns anyagtípusok.
Homogén és izotróp tér
Szinkronizált vonatkoztatási rendszert vezetünk be, ami minden téridőben lehetséges:
$$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-\gamma_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta\phantom{kozm1}\end{align}$$
A kozmológiai elv szerint elegendően nagy távolságskálán ($\propto$ ezer
megaparsec) a tér homogén és izotrop. A homogenitás és izotrópia az euklideszi tér
esetében azt jelenti, hogy a tér metrikája az eltolásokkal és elforgatásokkal
szemben invariáns. Görbült tér esetén (ill. görbevonalú koordináták használata
esetén) is megfogalmazhatjuk a homogenitás és izotrópia követelményét
koordinátatranszformációk segítségével. Az $x'^i=x^i+\xi^i(x)$ infinitezimális
koordinátatranszformáció hatására, amint ezt a 7. fejezetben láttuk, a metrika
$$\begin{align}\delta \gamma_{\alpha \beta}=-\xi_{\alpha; \beta}-\xi_{\beta; \alpha}\phantom{kozm2}\end{align}$$
szerint változik meg. Azokat a koordinátatranszformációkat, melyek során a
metrika nem változik, izometriának nevezzük. Egy izometria a definíciója
értelmében a
$$\begin{align}\xi_{\alpha; \beta}+\xi_{\beta; \alpha}=0\phantom{izom}\end{align}$$
egyenletnek tesz eleget. Az euklideszi tér izometriái a három független
eltolás és a három független elforgatás.
Ennek általánosításaként azt a teret nevezzük homogénnek és izotrópnak, melyben hat lineárisan független
izometria létezik, vagyis amikor a (\ref{izom}) egyenletnek hat lineárisan
független megoldása van. Megmutatható, hogy háromdimenziós térben ez a
lehetséges maximális szám.
Az izometriák alakja adott pont közelében, lokálisan euklideszi rendszerben
könnyen meghatározható, mivel ilyenkor a (\ref{izom}) egyenletben a kovariáns
deriváltak az egyes koordináták szerinti parciális deriváltakkal esnek egybe,
ugyanúgy, mint euklideszi metrika esetén. Az egyenlet lineárisan független
megoldásai az infinitezimális eltolások és elforgatások.
Megmutatjuk, hogy a háromdimenziós görbületi tenzor a homogenitás és az
izotrópia következtében közvetlenül a metrikus tenzorral fejezhető ki úgy,
hogy annak deriváltjai egyáltalán nem lépnek fel.
Ebből a célból képezzük a háromdimenziós $P_{\alpha\beta\gamma\delta}$ görbületi tenzorból a
$$\begin{align}
Q^{\alpha\beta}=\frac{1}{4}E^{\alpha\mu\nu}E^{\beta\eta\kappa}P_{\mu\nu\eta\kappa}\phantom{kozm3}
\end{align}$$
másodrendű tenzort! Itt $E^{\alpha\mu\nu}$
a görbevonalú koordinátákba transzformált háromdimenziós Levi-Civita-tenzor, amely
a szokásos Levi-Civita-tenzortól csak a térbeli metrika determinánsának
négyzetgyökével különbözik. A $Q^{\alpha\beta}$ tenzor szimmetrikus, mivel a Riemann-tenzor
szimmetrikus az első és a második indexpár cseréjére:
$$\begin{align}
Q^{\alpha\beta}=Q^{\beta\alpha}\;.\phantom{kozm4}
\end{align}$$
A tér adott pontjában térjünk át lokálisan euklideszi koordinátákra! Ekkor az
alsó és felső indexek között nincs többé különbség. Tekintsük a $Q^{\alpha\beta}$ tenzor sajátértékegyenletét:
$$\begin{align}
Q^{\alpha\beta}w^\beta=\lambda w^\alpha\;.\phantom{kozm6}
\end{align}$$
A tenzor szimmetriája miatt a sajátértékek valósak. Ha a három $\lambda$ sajátérték nem lenne ugyanaz, akkor a sajátvektorok
kitüntetett irányokat jelentenének, ami ellentmondana az izotrópia
követelményének. Így tehát a sajátértékek egyenlőek, ami azt jelenti, hogy
$$\begin{align}
Q^{\alpha\beta}=\lambda \delta_\beta^\alpha\;,\phantom{kozm7a}
\end{align}$$
vagyis a $Q^{\alpha}_{\phantom{\alpha}\beta}$ tenzor az egységtenzorral
arányos. Ha visszatérünk görbevonalú koordinátákra,
$$\begin{align}
Q^{\alpha\beta}=\lambda \gamma^{\alpha\beta}\phantom{kozm7b}
\end{align}$$
adódik.
A $\lambda$ sajátérték minden pontban azonos kell, hogy legyen (nem
függhet a térkoordinátáktól), mivel
máskülönben a homogenitás követelménye nem teljesülne. Mivel azonban mindezek
a megfontolások rögzített időpontra vonatkoznak, a $\lambda$ sajátérték az
időtől még függhet.
A (\ref{kozm3}) egyenletből ezek után azt kapjuk, hogy
$$\begin{align}
P_{\mu\nu\eta\kappa}&=E_{\alpha\mu\nu}E_{\beta\eta\kappa}Q^{\alpha\beta}
=\lambda E_{\alpha\mu\nu}E_{\beta\eta\kappa}\gamma^{\alpha\beta} \\
&=\lambda E_{\alpha\mu\nu}E^\alpha_{\phantom{\alpha}\eta\kappa}
=\lambda E_{\alpha\mu\nu}E^{\alpha\eta'\kappa'}\gamma_{\eta\eta'}\gamma_{\kappa\kappa'}
=\lambda \epsilon_{\alpha\mu\nu}\epsilon^{\alpha\eta'\kappa'}\gamma_{\eta\eta'}\gamma_{\kappa\kappa'} \\
&=\lambda
\left(\delta^{\eta'}_\mu\delta^{\kappa'}_\nu-\delta^{\eta'}_\nu\delta^{\kappa'}_\mu\right)\gamma_{\eta\eta'}\gamma_{\kappa\kappa'}=\lambda
\left(\gamma_{\eta\mu}\gamma_{\kappa\nu}-\gamma_{\eta\nu}\gamma_{\kappa\mu}\right)\;, \phantom{kozm8}
\end{align}$$
tehát a tér homogenitása és izotrópiája miatt a háromdimenziós görbületi
tenzor algebrailag kifejezhető a térbeli metrika segítségével. A
háromdimenziós Ricci-tenzor ennek következtében
$$\begin{align}P_{\alpha\beta}=2\lambda\gamma_{\alpha\beta}\end{align}$$
lesz, a
térgörbület pedig
$$\begin{align}P=6\lambda\;.\end{align}$$
A $\lambda$ paraméter előjele szerint
három lehetőség állhat fenn:
\begin{itemize}
\item $\lambda=0$ : euklideszi (sík) tér,
\item $\lambda>0$ : pozitív görbületű (zárt) tér,
\item $\lambda<0$ : negatív görbületű (nyílt) tér.
\end{itemize}
A jelenlegi precíziós kozmológiai mérések a sík tér esetével konzisztensek.
Sík tér
Ilyenkor a tér görbületlen\footnote{A téridő azonban ilyenkor is görbült, mert
a téridő Riemann-tenzora általában nem tűnik el.}, a metrika tehát az euklideszi metrika. Ez
tartalmazhat még egy időfüggő $R(t)$ skálafaktort, ami adott időpontban csupán
a koordináták és a valódi távolságok közötti arányossági tényező, így a téridőbeli ívelemnégyzet
$$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\delta_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta\end{align}$$
Polárkoordinátákban:
$$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(dr^2+r^2(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2)\right)\end{align}$$
Az $R(t)$ skálafaktor időfüggését az Einstein-egyenletekből kapjuk (ld. később).
Most - feltéve, hogy $R(t)$ ismert - a metrika fizikai következményeit
elemezzük.
Megmutatjuk, hogy adott térkoordinátájú pontok geodetikus világvonalnak
felelnek meg. Ha az állítás igaz, akkor
négyessebesség térszerű komponensei eltűnnek, azaz $u^\alpha=0$ és $u^0=1$
kielégíti a
$$\begin{align}
\frac{Du^i}{ds}=0
\end{align}$$
geodetikus egyenletet. Számítsuk ki ehhez a Christoffel-szimbólumokat:
$$\begin{align}\Gamma^i_{\phantom 0jk}=\frac{1}{2}g^{im}\left(
\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}
+\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}\right)\end{align}$$
A definícióból következően a nullától különböző komponenseknek legfeljebb egy időszerű indexe lehet ($x^0=t$).
$$\begin{align}\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}
&=\frac{1}{2}\dot \gamma_{\alpha\beta}
=\frac{\dot R(t)}{R(t)} \gamma_{\alpha\beta}\\
\Gamma^\alpha_{\phantom 00\beta}
&=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha\delta}\dot \gamma_{\delta\beta}
=\frac{\dot R(t)}{R(t)} \delta^\alpha_\beta\end{align}$$
Ezzel geodetikus egyenlet komponensei:
$$\begin{align}
\frac{du^0}{ds}+\Gamma^0_{\alpha\beta}u^\alpha u^\beta&=0\\
\frac{du^\alpha}{ds}+2\Gamma^\alpha_{0\beta}u^0 u^\beta&=0\;.
\end{align}$$
Látható, hogy mind az időszerű, mind a térszerű komponensekre vonatkozó
egyenletek azonosan teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy ha egy tömegpont adott
térkoordinátájú pontban nyugszik, akkor később is ott marad.
Távolságok:
A térben nyugvó pontok közötti távolságot a metrika térbeli része adja meg:
$$\begin{align}d{\ell} =R(t)\sqrt{dx^\alpha dx^\alpha}\end{align}$$
A térben nyugvó pontok közötti távolság tehát a skálafaktornak megfelelően változik.
Fény terjedése:
Fény terjedése során az ívelemnégyzet eltűnik. Az izotrópia miatt elegendő az
origóból sugárirányban kifelé terjedő fénysugarat vizsgálni:
$$\begin{align}ds^2=0\quad \rightarrow\quad dr=\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$
Adott időpontban mért távolság a kibocsájtás helyétől:
$$\begin{align}\ell=R(t_2)\int_{t_1}^{t_2}\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$
Anyagdominált univerzumban pl. $R(t)\propto t^{2/3}$, így a jelen $t_0$
pillanatban az eseményhorizont távolsága tőlünk (annak a felületnek a
távolsága, ahonnan a $t_1=0$ időpontbeli Ősrobbanástól
bármilyen hatás hozzánk érkezhetett)
$$\begin{align}\ell_{\text{horizont}}=3ct_0\;.\end{align}$$
A valóságban az Univerzum nem volt mindig anyagdominált, ezért ez a formula
sem érvényes (a tényleges horizont jóval messzebb van). Jó közelítést ad
viszont az utolsó ütközés távolságára, arra a távolságra, ahonnan a
lecsatolódáskor útnak indult fény a mikrohullámú kozmikus háttérsugárzás
formájában hozzánk érkezik, vagyis az általunk látható Univerzum sugarára.
A fény terjedése közben változik a hullámhossza és a frekvenciája, ezért
felírjuk rá a geodetikus egyenletet:
$$\begin{align}\frac{dk^0}{d\lambda}+\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}k^\alpha
k^\beta=0\end{align}$$
ezt elosztva a négyes hullámszám-vektor időszerű komponensét definiáló
egyenlettel, ami
$$\begin{align}\frac{dx^0}{d\lambda}=k^0\;,\end{align}$$
azt kapjuk, hogy
$$\begin{align}\dot k^0=-\frac{\dot R(t)}{R(t)}k^0
\quad \rightarrow \quad
k^0\propto \frac{1}{R(t)}\;.
\end{align}$$
Itt felhasználtuk a Christoffel-szimbólumok fenti kifejezését. Az eredmény azt
jelenti, hogy
$$\begin{align}\frac{\omega(t_2)}{\omega(t_1)}=\frac{R(t_1)}{R(t_2)}\;,\phantom{voros_flat}\end{align}$$
tehát a frekvencia fordítottan arányos a skálafaktorral. Ez a jelenség a kozmológiai
vöröseltolódás. A sugárzás lecsatolódása óta a skálafaktor mintegy $1088$-szorosára
nőtt, emiatt a lecsatolódáskor még $2965\;K$ hőmérsékletű hőmérsékleti
sugárzás, melynek a maximális intenzitáshoz tartozó hullámhossza $977\; nm$
(frekvenciája $3.07\times 10^{14}\;Hz$) volt, a jelenlegi mikrohullámú kozmikus
háttérsugárzássá szelídült, amely szintén hőmérsékleti sugárzás, de a maximális intenzitás frekvenciája $160.4\;GHz$, a hullámhossza $1.063\;
mm$, ami $2.726\; K$ ($-270^\circ C$) hőmérsékletnek felel meg.\footnote{A Wien-féle eltolódási
tövény értelmében a maximális intenzitás frekvenciája arányos az abszolút hőmérséklettel.}
A fény intenzitása szintén nemtriviális módon változik a táguló
Univerzumban. Az intenzitás az adott $r$ sugárhoz tartozó valódi felülettel
nyilvánvalóan fordítottan arányos, de ezenkívül arányos a frekvencia
négyzetével is. Az egyik $\omega$ tényező a fotonok érkezési ütemének felel meg (ahogy
az adott felületen átlépnek), a másik pedig az egyes fotonok $\hbar \omega$
energiájának. Így tehát
$$\begin{align}I\propto \frac{\omega^2}{A}\propto \frac{1}{R^4(t)
\left(\int\frac{cdt}{R(t)}\right)^2}\;,\end{align}$$
azaz
$$\begin{align}\frac{I(t_2)}{I(t_1)}=
\frac{R^4(t_1)\left(\int_{t_0}^{t_1}
\frac{dt}{R(t)}\right)^2}{R^4(t_2)\left(\int_{t_0}^{t_2}
\frac{dt}{R(t)}\right)^2}\;.\phantom{int_flat}\end{align}$$
Pozitív görbületű tér
Homogén és izotróp térmetrikát kapunk a következő konstrukcióval: egy
képzeletbeli négydimenziós euklideszi térben elhelyezkedő $R$ sugarú négydimenziós gömb
háromdimenziós felszínének metrikáját határozzuk meg. Nyilvánvaló ugyanis,
hogy a gömbfelszín geometriája (akárhány dimenzióban) homogén és izotróp,
nincsenek rajta se kitüntetett pontok, se kitüntetett irányok.
$$\begin{align}d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2+(dx^4)^2\end{align}$$
$$\begin{align}(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2+(x^4)^2=R^2\end{align}$$
Utóbbiból
$$\begin{align}x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3+x^4dx^4=0\end{align}$$
Így
$$\begin{align}d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2
+\frac{\left(x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3\right)^2}{R^2
-\left((x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2\right)}\end{align}$$
Metrika az origó közelében:
$$\begin{align}\gamma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}+\frac{x^\alpha x^\beta}{R^2}\end{align}$$
Térgörbület:
$$\begin{align}P=\frac{6}{R^2}\end{align}$$
Térbeli polárkoordináták:
$$\begin{align}x^1=R\;r\;\sin\vartheta \cos\varphi\end{align}$$
$$\begin{align}x^2=R\;r\;\sin\vartheta \sin\varphi\end{align}$$
$$\begin{align}x^3=R\;r\;\cos\vartheta \end{align}$$
$$\begin{align}d\ell^2=R^2dr^2+R^2r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)+\frac{R^4r^2dr^2}{R^2
-R^2r^2}\end{align}$$
azaz
$$\begin{align}d\ell^2=R^2\left(\frac{dr^2}{1-r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)\end{align}$$
Téridőbeli ívelemnégyzet:
$$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta
\;d\varphi^2\right)\right)\end{align}$$
Negatív görbületű tér
Beágyazás csak hétdimenziós euklideszi térbe lehetséges, formálisan viszont írhatjuk:
$$\begin{align}d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2
+\frac{\left(x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3\right)^2}{-R^2
-\left((x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2\right)}\end{align}$$
Metrika az origó közelében:
$$\begin{align}\gamma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}-\frac{x^\alpha x^\beta}{R^2}\end{align}$$
Térgörbület:
$$\begin{align}P=-\frac{6}{R^2}\end{align}$$
Térbeli polárkoordináták:
$$\begin{align}x^1=R\;r\;\sin\vartheta \cos\varphi\end{align}$$
$$\begin{align}x^2=R\;r\;\sin\vartheta \sin\varphi\end{align}$$
$$\begin{align}x^3=R\;r\;\cos\vartheta \end{align}$$
$$\begin{align}d\ell^2=R^2dr^2+R^2r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)+\frac{R^4r^2dr^2}{-R^2
-R^2r^2}\end{align}$$
azaz
$$\begin{align}d\ell^2=R^2\left(\frac{dr^2}{1+r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)\end{align}$$
Téridőbeli ívelemnégyzet:
$$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1+r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta
\;d\varphi^2\right)\right)\end{align}$$
Friedmann-Robertson-Walker-metrika
A három különböző eset egységes alakban (Friedmann-Robertson-Walker-metrika):
$$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-K\;r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta
\;d\varphi^2\right)\right)\phantom{FRW_metric}\end{align}$$
Itt $K=0, \pm 1$.
Távolságok:
Sugárirányra merőlegesen:
$$\begin{align}d{\ell} =R(t)\;r\;d\vartheta\end{align}$$
Sugárirányban:
$$\begin{align}d{\ell} =R(t)\frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}\end{align}$$
Fény terjedése:
$$\begin{align}ds^2=0\quad \rightarrow\quad \frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}=\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$
Adott időpontban mért távolság a kibocsájtás helyétől:
$$\begin{align}\ell=R(t_2)\int_{t_1}^{t_2}\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$
Christoffel-szimbólumok:
$$\begin{align}\Gamma^i_{\phantom 0jk}=\frac{1}{2}g^{im}\left(
\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}
+\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}\right)\end{align}$$
A nullától különböző komponenseknek legfeljebb egy időszerű indexe lehet ($x^0=t$).
$$\begin{align}\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}
&=\frac{1}{2}\dot \gamma_{\alpha\beta}
=\frac{\dot R(t)}{R(t)} \gamma_{\alpha\beta}\phantom{FRW_Ch1}\\
\Gamma^\alpha_{\phantom 00\beta}
&=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha\delta}\dot \gamma_{\delta\beta}
=\frac{\dot R(t)}{R(t)} \delta^\alpha_\beta \phantom{FRW_Ch2}\end{align}$$
$$\begin{align}\frac{dk^0}{d\lambda}+\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}k^\alpha k^\beta=0\end{align}$$
$$\begin{align}\frac{dx^0}{d\lambda}=k^0\end{align}$$
$$\begin{align}\dot k^0=-\frac{\dot R(t)}{R(t)}k^0
\quad \rightarrow \quad
k^0\propto \frac{1}{R(t)}
\end{align}$$
$$\begin{align}\frac{\omega(t_2)}{\omega(t_1)}=\frac{R(t_1)}{R(t_2)}\end{align}$$
A frekvencia fordítottan arányos a skálafaktorral (vöröseltolódás az Univerzum
tágulása során).
Intenzitás:
$$\begin{align}I\propto \frac{\omega^2}{A}\propto \frac{1}{R^4(t)
r^2(t)}\end{align}$$
$$\begin{align}\frac{I(t_2)}{I(t_1)}=
\frac{R^4(t_1)r^2(t_1)
}{R^4(t_2)r^2(t_2)
}\end{align}$$
ahol
$$\begin{align}\int_0^{r(t_i)}\frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}=\int_{t_0}^{t_i}\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$
Nyugalmi tömeggel rendelkező részecskék mozgása
Ha a nyugalmi tömeg nem nulla, a világvonal paraméterezésére az ívhossz
használható. A geodetikus egyenlet térszerű komponensei:
$$\begin{align}
\frac{Du^\alpha}{ds}=\frac{du^\alpha}{ds}+2\Gamma^\alpha_{0\beta}u^0 u^\beta=\frac{du^\alpha}{ds}+2\frac{\dot{R}}{R}u^0 u^\alpha=0\;.
\end{align}$$
Ezt $u^0$-lal osztva, mivel $u^0ds=dx^0$,
$$\begin{align}
\frac{\dot{u^\alpha}}{u^\alpha}=-2\frac{\dot{R}}{R}
\end{align}$$
adódik (az $\alpha$ indexre nincs összegzés!). Az egyenlet megoldása
$$\begin{align}
u^\alpha\propto \frac{1}{R^2}\;.
\end{align}$$
A valódi (mért) impulzus térszerű komponense ebből
$$\begin{align}
p^\alpha=mc u^\alpha R\propto \frac{1}{R}\;,
\end{align}$$
ami összhangban van a $p=h/\lambda$ deBroglie-összefüggéssel ($\lambda$ a
hullámhossz, ami, mint minden távolság, $R$-rel arányosan növekszik), annak ellenére, hogy szokásos kvantumos viselkedés atomi
skálájától távol, hatalmas tömegű égitestek esetére alkalmazzuk.
Az impulzusra kapott eredmény azt mutatja, hogy az FRW-koordinátarendszerhez
képest mozgó tömegpontok a tágulás során egyre lassulnak, és határesetben
megállnak.
Friedmann-egyenletek
Számítsuk ki a görbületi tenzor komponenseit a (\ref{riemann_kov}),
(\ref{FRW_metric}), (\ref{FRW_Ch1}), (\ref{FRW_Ch2}) képletek alapján!
A térszerű és időszerű indexeket szétválasztva kapjuk, hogy\footnote{A ki nem
írt komponensek a görbületi tenzor szimmetriatulajdonságai alapján
közvetlenül felírhatók.}
$$\begin{align}
{\mathcal R}_{0\alpha0\beta}&=\frac{\ddot{R}}{R}\gamma_{\alpha\beta}\\
{\mathcal R}_{0\alpha\beta\gamma}&=0\\
{\mathcal R}_{\alpha\beta\gamma\delta}&=-P_{\alpha\beta\gamma\delta}-\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^2\left(\gamma_{\beta\delta}\gamma_{\alpha\gamma}-\gamma_{\beta\gamma}\gamma_{\alpha\delta}\right) \\
&=\left[-\frac{K}{R^2}-\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^2\right]\left(\gamma_{\beta\delta}\gamma_{\alpha\gamma}-\gamma_{\beta\gamma}\gamma_{\alpha\delta}\right)
\end{align}$$
Ebből indexösszeejtéssel a Ricci-tenzor
$$\begin{align}
{\mathcal R}_{00}&=-3\frac{\ddot{R}}{R}\\
{\mathcal R}_{0\alpha}&=0\\
{\mathcal R}_{\alpha\beta}&=\left[\frac{\ddot{R}}{R}+2\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^2+\frac{2K}{R^2}\right]\gamma_{\alpha\beta}\;,
\end{align}$$
a Ricci-skalár pedig
$$\begin{align}
{\mathcal R}=-6\frac{\ddot{R}}{R}-6\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^2-\frac{6K}{R^2}
\end{align}$$
Ezzel az Einstein-egyenletek (melyeket ebben a speciális esetben
Friedmann-egyenleteknek hívunk):
\noindent A $0,0$ komponens (3-mal osztva) az első Friedmann-egyenlet:
$$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}+\frac{Kc^2}{R^2}=\frac{8\pi
k}{3c^2}\epsilon\phantom{fried1}\end{align}$$
Az $\alpha, \beta$ komponens ($-\gamma_{\alpha\beta}$-val leosztva) a második Friedmann-egyenlet:
$$\begin{align}\frac{2\ddot R}{R}+\frac{\dot R^2}{R^2}+\frac{Kc^2}{R^2}=-\frac{8\pi k}{c^2}p\phantom{fried2}\end{align}$$
A divergenciaegyenlet
Az Einstein-egyenletekből következik, hogy az energia-impulzus tenzor
kovariáns négyesdivergenciája eltűnik:
$$\begin{align}T^{\phantom x k}_{i\phantom x ;k}=0\end{align}$$
Ez $i=0$ esetén
$$\begin{align}T^{\phantom x k}_{0\phantom x ,k}+\Gamma^k_{\phantom x jk}T^{\phantom x
j}_{0}-\Gamma^j_{\phantom x 0k}T^{\phantom x k}_{j}=0\end{align}$$
alakba írható, ami a makroszkopikus anyag és az FRW-metrika esetén érvényes
$$\begin{align}T^{\phantom x 0}_{0}=\epsilon\;,\quad
T^{\phantom x
\beta}_{\alpha}=-p\delta^{\beta}_{\alpha}\;,\quad
\Gamma^\alpha_{\phantom x0\beta}
=\frac{\dot R}{R}\delta^\alpha_{\beta}
\end{align}$$
összefüggések segítségével a következő, ún.
divergenciaegyenletre vezet:
$$\begin{align}\dot \epsilon+3\frac{\dot R}{R}(\epsilon+p)=0\phantom{divegy}\end{align}$$
Másképp:
$$\begin{align}\int \frac{d\epsilon}{\epsilon+p}=-3\int \frac{dR}{R}\end{align}$$
A divergenciaegyenlet közvetlenül a Friedmann-egyenletekből is levezethető: az
első Friedmann-egyenlet időderiváltjából és a második Friedmann-egyenletből
az $\ddot{R}$-ot tartalmazó tag kiküszöbölésével kapható meg.
A divergenciaegyenlet megoldásához csak a $p(\epsilon)$ állapotegyenlet
ismerete szükséges, és a megoldás az energiasűrűséget ill. a nyomást határozza
meg a skálafaktor függvényében. Ezután az első Friedmann-egyenletből kapható
meg a skálafaktor időfüggése.
A Friedmann-egyenletek megoldása
Sík tér, nemrelativisztikus anyag
$$\begin{align}K=0\;,\quad p=0\end{align}$$
A (\ref{divegy}) divergenciaegyenletből ebben az esetben azt kapjuk, hogy
$$\begin{align}
\epsilon \propto R^{-3}\;.\phantom{nrel1}
\end{align}$$
Ez szemléletesen is könnyen megérthető. Nemrelativisztikus anyag esetében az
egyes tömegpontok energiája gyakorlatilag a nyugalmi energia, így adott
fizikai térfogatban az energia állandó. A térfogat azonban $R^3$-nal arányosan
növekszik a tágulás folyamán, emiatt az energiasűrűség $R^{-3}$ szerint
csökken.
A (\ref{nrel1}) energiasűrűséget az (\ref{fried1}) Friedmann-egyenletbe
helyettesítve kapjuk a skálafaktor időfüggését:
$$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}=\frac{8\pi
k}{3c^2}\epsilon_0\frac{R_0^3}{R^3}\;\phantom{fried_nrel}\end{align}$$
amiből
$$\begin{align}
R\propto t^{2/3}\phantom{nrel2}\end{align}$$
adódik.
Sík tér, ultrarelativisztikus anyag
$$\begin{align}K=0\;,\quad p=\frac{1}{3}\epsilon\end{align}$$
A (\ref{divegy}) divergenciaegyenletből ebben az esetben azt kapjuk, hogy
$$\begin{align}
\epsilon \propto R^{-4}\;.\phantom{rel1}
\end{align}$$
Relativisztikus anyag esetében az
egyes tömegpontok (pl. fotonok) energiája a tágulás során a kozmológiai
vöröseltolódás miatt $1/R$ törvény szerint csökken. A térfogatok azonban $R^3$-nal arányosan
növekednek, emiatt az energiasűrűség $R^{-4}$ szerint
csökken.
A (\ref{rel1}) energiasűrűséget az (\ref{fried1}) Friedmann-egyenletbe
helyettesítve kapjuk a skálafaktor időfüggését:
$$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}=\frac{8\pi
k}{3c^2}\epsilon_0\frac{R_0^4}{R^4}\;\phantom{fried_rel}\end{align}$$
amiből
$$\begin{align}
R\propto t^{1/2}\phantom{rel2}\end{align}$$
adódik.
Görbületi tag
A görbületi tagot átvihetjük a (\ref{fried1}), (\ref{fried2})
Friedmann-egyenletek jobboldalára, és egyfajta anyag energia-impulzus
tenzorának tekinthetjük. A megfelelő energiasűrűség $-(3c^2K)/(8\pi k R^2)$
lesz, a nyomás pedig $(c^2K)/(8\pi k R^2)$. Ebből következően a görbületi
tagnak megfelelő állapotegyenlet
$$\begin{align}p=-\frac{1}{3}\epsilon\;.\phantom{curv1}\end{align}$$
Ebből a energiára a divergenciaegyenletből természetesen ismét $\epsilon \propto
1/R^2$ adódik. Görbületdominált univerzumban (ami persze csak $K=-1$ esetén
lehetséges)
$$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}=-\frac{K}{R^2}\;\phantom{fried_curv}\end{align}$$
teljesülne, amiből
$$\begin{align}
R\propto t\;.\phantom{curv2}\end{align}$$
Kozmológiai állandó
Az Einstein-egyenletek levezetését módosíthatjuk úgy, hogy az ${\mathcal R}$
invariáns görbülethez hozzáadunk egy állandót:
$$\begin{align}S_g=-\frac{c^3}{16\pi k}\int({\mathcal
R}+2\Lambda)\sqrt{-g}d\Omega\end{align}$$
Ez a Lagrange-sűrűség skalár voltát nem változtatja meg, viszont újabb tag
megjelenéséhez vezet az Einstein-egyenletekben:
$$\begin{align}{\mathcal R}_{ik}-\frac{1}{2}{\mathcal R}g_{ik}=\frac{8\pi
k}{c^4}T_{ik}+\Lambda g_{ik}\end{align}$$
A $\Lambda$ mennyiség neve kozmológiai állandó, és, amint az a bevezetéséből
látszik, a vákuum univerzális görbületeként értelmezhető. Az egyenletből
azonnal leolvasható, hogy a
kozmológiai állandónak megfelelő állapotegyenlet:
$$\begin{align}p=-\epsilon\end{align}$$
Ez az állapotegyenlet a (\ref{divegy}) divergenciaegyenlettel kombinálva
$\epsilon \propto 1$ egyenletre vezet, vagyis a kozmológiai állandónak
megfelelő energiasűrűség nem változik a táguláskor, így a kozmológiai állandó
a vákuum univerzális
energiasűrűségének is tekinthető. Az első Friedmann-egyenlet ezúttal
$$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}=\frac{1}{3}c^2\Lambda\;,\end{align}$$
alakú, amiből exponenciálisan (gyorsulva) táguló megoldás következik:
$$\begin{align}R\propto exp\left(\sqrt{\Lambda/3}ct\right)\;.\end{align}$$
Kozmológiai standard modell
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
\multicolumn{4}{|c|}{A Friedmann-egyenletek megoldásai egy-egy domináns anyagtípus esetén}\\
\hline
anyagfajta&
állapotegyenlet&
energiasűrűség skálafüggése&
skálafaktor időfüggése\\
\hline\hline
nemrelativisztikus anyag&
$p=0$&
$\epsilon\propto 1/R^3$&
$R\propto t^{2/3}\phantom{\left(\sqrt{\Lambda}\right)}$\\
\hline
ultrarelativisztikus anyag&
$p=\frac{1}{3}\epsilon$&
$\epsilon\propto 1/R^4$&
$R\propto t^{1/2}\phantom{\left(\sqrt{\Lambda}\right)}$\\
\hline
görbület&
$p=-\frac{1}{3}\epsilon$&
$\epsilon\propto 1/R^2$&
$R\propto t \quad (K=-1)\phantom{\left(\sqrt{\Lambda}\right)}$\\
\hline
kozmológiai állandó&
$p=-\epsilon$&
$\epsilon\propto 1$&
$R\propto exp\left(\sqrt{\Lambda/3}ct\right)$\\
\hline
-&
$p=w\epsilon$&
$\epsilon\propto 1/R^{3(1+w)}$&
$R\propto t^{2/3/(1+w)}\phantom{\left(\sqrt{\Lambda}\right)}$\\
\hline
\end{tabular}
Az utolsó sor a nyomás és az energia általános lineáris kapcsolatát
mutatja. Ennek speciális esetei a korábbiak.
Amennyiben több anyagfajta egyidejűleg van jelen, de egymással nem állnak
kölcsönhatásban, akkor minden anyagfajta energia-impulzus tenzorára
külön-külön érvényes a divergenciaegyenlet, ill. a belőle adódó
skálafüggés.\footnote{Az első Friedmann-egyenlet megoldása természetesen ilyenkor már nem lesz
egyszerű hatványfüggvény.} A fenti táblázatból látható, hogy a tágulás során a
sugárzás energiasűrűsége csökken a leggyorsabban, ezt követi a
nemrelativisztikus anyag, majd a görbület és végül a kozmológiai
állandó. Ebből az következik, hogy a korai univerzum sugárzásdominált volt,
majd (kb. 10 ezer évvel az Ősrobbanás után) anyagdominálttá vált, jelenleg
pedig a megfigyelt gyorsuló tágulás szerint kozmológiai állandó dominált.
Valójában az anyag és sugárzás (ill. a különféle elemi részek) a korai univerzumban nem függetlenek, így
külön-külön az energia-impulzus tenzoruk nem tesz eleget a
divergenciaegyenletnek, csak együttesen. A kölcsönhatás a tágulás folyamán a
kinetikai gázelméletből jól ismert Boltzmann-egyenlet segítségével vehető
figyelembe (ld. a következő fejezetben). Az egyes anyagfajták
egyrészecske-fázistérbeli eloszlására felírt Boltzmann-egyenletek és az első
Friedmann-egyenlet együttesen meghatározzák mind a különböző részecsketípusok
sűrűségének időfüggését, mind pedig a skálafaktor időfüggését. Ezt az elméleti
leírást szokás gyakran kozmológiai standard modellként emlegetni. A
kozmológiai standard modell fényes sikere volt az univerzumban megfigyelhető
elemgyakoriságok kvantitatív értelmezése. Az elmélet szerint primordiális nukleoszintézis az
ősrobbanás utáni első három percben lezajlott, és a különböző elemek a
rendszám növekedtével rohamosan csökkenő arányban fordulnak elő.
A kölcsönhatás figyelembevételével is érvényben marad a korai
sugárzásdominált, majd az azt követő anyagdominált univerzum képe. Az
anyagdominált univerzum korai, fontos eseménye a sugárzás lecsatolódása az
anyagról. A tágulás és hűlés folyamán ez akkor következik be - mintegy $380
000$ évvel az ősrobbanás után -, amikor a sugárzás fotonjai már nem képesek az
atomi energiaszinteket gerjeszteni. Ezzel az univerzum átlátszóvá válik, az
elektromágneses sugárzás akadálytalanul terjed benne. Mára a korai univerzum
sugárzása a tágulás következtében a mikrohullámú tartományba esik. A korai
univerzum szerkezetéről a talán legértékesebb információt a mikrohullámú háttérsugárzás hordozza.
A kozmológiai standard modell nehézségei
A kozmológiai standard modell sikerei ellenére súlyos problémákkal küzd. Ezek
az időskála mindkét végén fellépnek: a nagyon korai univerzum nem lehetett
sugárzásdominált, hanem exponenciálisan kellett, hogy táguljon (kozmológiai
infláció), a késői univerzum viszont, mint nagy meglepetésre 1998-ban
kiderült, szintén gyorsulva tágul, ami nem fér össze a nemrelativisztikus anyag
dominálta univerzum képével. Az előbbi probléma feltételezhető megoldása
vezetett az inflációs modellek tanulmányozásához, azonban ehhez a dolog lényegénél
fogva egy olyan anyag tulajdonságait kell elméletileg elemezni, amely ma már
nem létezik és ennél fogva csak az elmélet következetessége és a belőle erősen
áttételes módon a levont következtetések helyessége adhatnak támpontot. A
késői univerzumban fellépő nehézségek a mérésekkel összhangba hozhatók a
kozmológiai állandó sokadszori újrabevezetése árán. Az így adódó
összhang-modell (condordance model) azt a képet adja a világunkról, hogy
jelenleg az anyag túlnyomó többsége ismeretlen fajtájú, részben kozmológiai
állandó szerű sötét energiából áll, részben pedig egy szintén ismeretlen fajta
nemrelativisztikus anyagból, az ún. sötét anyagból. Az általunk ismert
barionos anyag átlagsűrűsége a teljes tömegsűrűség kb. 5 \%-ára tehető.
A finomhangolási probléma
%$$\begin{align}\Delta \Omega_0 \approx \frac{R_0}{R_1}\Delta \Omega_1\end{align}$$
%ahol $\Omega=\rho/\rho_c$, $\rho_c=3H^2/(8\pi k)=9.20\times 10^{-27} kg/m^3$, $H=\dot R/R=70\pm 2.4
%(km/s)/Mpc=(2.27\pm 0.08)\times 10^{-18} s^{-1} $.
A horizont-probléma
Infláció a korai univerzumban: kozmológia véges nyugalmi tömeggel rendelkező skalártér jelenlétében
Gyorsuló tágulás a késői univerzumban: sötét energia
1998-ban két kutatócsoport is - egymástól függetlenül - arra a következtetésre
jutott, hogy az univerzum gyorsulva tágul. A Hubble-diagramot határozták meg
úgy, hogy ``standard gyertyáknak'', azaz ismert abszolút luminozitású
fényforrásoknak 1A típusú szupernovákat használtak. Ezek a szupernovák
eredetileg fehér törpék, melyek egy kettős csillagrendszer tagjai,
és folyamatosan anyagot vonzanak magukba a kísérőjüktől
(ami vörös óriás), míg végül elérik a Chandrasekhar-határt, és
szupernovaként felrobbannak. A fénygörbéjükből (tehát a látszó fényesség
időbeli lefutásából) az elmélet szerint meghatározható a maximális abszolút
fényességük. Egy távoli, ismert abszolút fényességű objektum látszó fényessége
és vöröseltolódása közötti kapcsolat az $R(t)$ skálafaktortól függ (v.ö. (\ref{voros_flat}), (\ref{int_flat})).
Tekintsük a skálafaktor sorfejtését a jelenkori $t_0$ időpont körül!
$$\begin{align}
R(t)=R_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2\;.\phantom{rsorf}
\end{align}$$
Itt $v_0=\dot{R}=R_0 H_0$ nyilván pozitív, mivel az univerzum tágul (itt
$H_0=67.80\pm 0.77 km/s/Mpc$ a Hubble-paraméter jelenkori
értéke\footnote{Planck collaboration (2013), arXiv:1303.5062 }).
Ha az univerzum anyagdominált, akkor $R=R_0(t/t_0)^{2/3}$, és így
$$\begin{align}
H_0=\frac{\dot{R}}{R_0}=\frac{2}{3}\frac{R_0}{t_0}\;.
\end{align}$$
$$\begin{align}
a_0=\ddot{R}=-\frac{2}{9}\frac{R_0}{t_0^2}=-\frac{1}{2}R_0H_0^2\;.
\end{align}$$
Anyagdominált esetben a tágulás lineárisnál lassúbb, a gyorsulás ennek
megfelelően negatív volna.
Számítsuk most ki a vöröseltolódást és az intenzitásváltozást a sorfejtett
(\ref{rsorf}) alak segítségével! A vöröseltolódást a
$$\begin{align}
z=\frac{\lambda_0}{\lambda_1}-1=\frac{R_0}{R_1}-1
\end{align}$$
paraméterrel jellemezzük, ahol $\lambda$ a hullámhossz, a 0 index a jelenkori,
az 1 index pedig a kibocsátáskori értékre utal. Azt kapjuk, hogy
$$\begin{align}
z=H_0(t_0-t_1)+\left(1-\frac{a_0}{2R_0H_0^2}\right)H_0^2(t_0-t_1)^2\;,
\end{align}$$
vagy megfordítva:
$$\begin{align}
H_0(t_0-t_1)=z-\left(1-\frac{a_0}{2R_0H_0^2}\right)z^2\;.
\end{align}$$
Az intenzitásra ezzel az első nemtriviális rendben
$$\begin{align}
I_0=\frac{L}{4\pi c^2
R_0^4\left(\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{R(t)}\right)^2}\approx
\frac{LH_0^2}{4\pi c^2 R_0 z^2}\left[1+\left(\frac{a_0}{R_0H_0^2}-1\right)z\right]
\end{align}$$
adódik, ahol $L$ az abszolút luminozitás. Az $R_0$ paraméter csak a távolság
mértékegységének megválasztását jelenti, a fenti képletben egyszerűen $R_0=1$
írható. Több különböző távolságban levő (különböző $z$ vöröseltolódású) távoli
szupernovára végzett mérésből az $a_0$ gyorsulás elegendő pontossággal
meghatározható volt az előjel eldöntéséhez, és
meglepetésre pozitívnak adódott. Ez nyilván nem lenne lehetséges anyagdominált
univerzumban. Az eddig tárgyalt állapotegyenletek közül egyedül a kozmológiai
állandóé képes gyorsuló tágulást produkálni. Nem kizárható valamiféle
skalártér jelenléte, de ez csupán spekuláció, mert jelenleg semmilyen ismert anyagtípus nem tud számot
adni a megfigyelt jelenségről. Éppen ezért azt a hipotetikus anyagot - avagy
kozmológiai állandót -, ami a gyorsuló tágulást okozza, sötét energiának nevezik.
Összhang-modell ($\Lambda$-CDM model)
A szupernova mérések mellett a mikrohullámú háttérsugárzás fluktuációiról és a
galaxisok eloszlásáról is számot kell adnia a kozmológiai modellnek. Ez a két
mérés kevésbé érzékeny a tágulás esetleges gyorsulására, mint az egyéb
paraméterekre, a $H_0$ Hubble-konstansra és a görbületre. A precíziós
kozmológiai mérések eredményei összhangba hozhatók egy egyszerű modellel,
amely tulajdonképpen a kozmológiai standard modell kozmológiai
állandóval. Valójában a standard modell a korai univerzumban gyakorlatilag nem
változik ettől a bővítéstől, mivel a korai időszakban a skálafaktor kis értéke
azt jelenti, hogy az anyag, de különösen a sugárzás energiasűrűsége hatalmas
a skálafüggetlen kozmológiai állandó mellett. A módosításnak tehát csak a késői
univerzumban van szerepe, amikor a sugárzás és az anyag sűrűsége a tágulás
következtében lecsökkent. Ebben a tartományban viszont nem játszik lényeges
szerepet a különböző anyagfajták kölcsönhatása, emiatt a modell lényegesen
egyszerűsödik. Az így kapott összhang-modell (concordance model, $\Lambda$-CDM
model) paraméterei meglepő képet rajzolnak a világunkról.
- A görbület értéke hibahatáron belül nulla, az univerzum sík
(v.ö. finomhangolási probléma).
- Az univerzum jelenlegi energiasűrűségének 68 \%-a sötét energia.
- A fennmaradó 31 \%-ból kb. 5 \% a barionos anyag, a többi 26 \% az
ismeretlen fajtájú (nemrelativisztikus) sötét anyag.
- Bármi legyen is ez a sötét anyag, már a sugárzás lecsatolódásakor is
nemrelativisztikus volt (erre utal a CDM= cold dark matter
rövidítés). Speciálisan ez azt jelenti, hogy a korábbi sejtésekkel szemben
a nullától különböző nyugalmi tömegű neutrinók nem azonosíthatók a sötét anyaggal.
bene@arpad.elte.hu