tovább fel vissza

General relativity

Dr. Gyula Bene
Department for Theoretical Physics, Loránd Eötvös University
Pázmány Péter sétány 1/A, 1117 Budapest
13. week

Relativisztikus kozmológia

Homogén és izotrop tér. Friedmann-Robertson-Walker metrika. Skálafaktor. Zárt, nyílt, sík modell. Fény terjedése homogén univerzumban. Tágulás, vöröseltolódás. Divergenciaegyenlet. Anyagtípusok, állapotegyenletek. Korai és késői univerzum, domináns anyagtípusok.

Homogén és izotróp tér

Szinkronizált vonatkoztatási rendszert vezetünk be, ami minden téridőben lehetséges: $$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-\gamma_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta\phantom{kozm1}\end{align}$$ A kozmológiai elv szerint elegendően nagy távolságskálán ($\propto$ ezer megaparsec) a tér homogén és izotrop. A homogenitás és izotrópia az euklideszi tér esetében azt jelenti, hogy a tér metrikája az eltolásokkal és elforgatásokkal szemben invariáns. Görbült tér esetén (ill. görbevonalú koordináták használata esetén) is megfogalmazhatjuk a homogenitás és izotrópia követelményét koordinátatranszformációk segítségével. Az $x'^i=x^i+\xi^i(x)$ infinitezimális koordinátatranszformáció hatására, amint ezt a 7. fejezetben láttuk, a metrika $$\begin{align}\delta \gamma_{\alpha \beta}=-\xi_{\alpha; \beta}-\xi_{\beta; \alpha}\phantom{kozm2}\end{align}$$ szerint változik meg. Azokat a koordinátatranszformációkat, melyek során a metrika nem változik, izometriának nevezzük. Egy izometria a definíciója értelmében a $$\begin{align}\xi_{\alpha; \beta}+\xi_{\beta; \alpha}=0\phantom{izom}\end{align}$$ egyenletnek tesz eleget. Az euklideszi tér izometriái a három független eltolás és a három független elforgatás. Ennek általánosításaként azt a teret nevezzük homogénnek és izotrópnak, melyben hat lineárisan független izometria létezik, vagyis amikor a (\ref{izom}) egyenletnek hat lineárisan független megoldása van. Megmutatható, hogy háromdimenziós térben ez a lehetséges maximális szám.
Az izometriák alakja adott pont közelében, lokálisan euklideszi rendszerben könnyen meghatározható, mivel ilyenkor a (\ref{izom}) egyenletben a kovariáns deriváltak az egyes koordináták szerinti parciális deriváltakkal esnek egybe, ugyanúgy, mint euklideszi metrika esetén. Az egyenlet lineárisan független megoldásai az infinitezimális eltolások és elforgatások.
Megmutatjuk, hogy a háromdimenziós görbületi tenzor a homogenitás és az izotrópia következtében közvetlenül a metrikus tenzorral fejezhető ki úgy, hogy annak deriváltjai egyáltalán nem lépnek fel. Ebből a célból képezzük a háromdimenziós $P_{\alpha\beta\gamma\delta}$ görbületi tenzorból a $$\begin{align} Q^{\alpha\beta}=\frac{1}{4}E^{\alpha\mu\nu}E^{\beta\eta\kappa}P_{\mu\nu\eta\kappa}\phantom{kozm3} \end{align}$$ másodrendű tenzort! Itt $E^{\alpha\mu\nu}$ a görbevonalú koordinátákba transzformált háromdimenziós Levi-Civita-tenzor, amely a szokásos Levi-Civita-tenzortól csak a térbeli metrika determinánsának négyzetgyökével különbözik. A $Q^{\alpha\beta}$ tenzor szimmetrikus, mivel a Riemann-tenzor szimmetrikus az első és a második indexpár cseréjére: $$\begin{align} Q^{\alpha\beta}=Q^{\beta\alpha}\;.\phantom{kozm4} \end{align}$$ A tér adott pontjában térjünk át lokálisan euklideszi koordinátákra! Ekkor az alsó és felső indexek között nincs többé különbség. Tekintsük a $Q^{\alpha\beta}$ tenzor sajátértékegyenletét: $$\begin{align} Q^{\alpha\beta}w^\beta=\lambda w^\alpha\;.\phantom{kozm6} \end{align}$$ A tenzor szimmetriája miatt a sajátértékek valósak. Ha a három $\lambda$ sajátérték nem lenne ugyanaz, akkor a sajátvektorok kitüntetett irányokat jelentenének, ami ellentmondana az izotrópia követelményének. Így tehát a sajátértékek egyenlőek, ami azt jelenti, hogy $$\begin{align} Q^{\alpha\beta}=\lambda \delta_\beta^\alpha\;,\phantom{kozm7a} \end{align}$$ vagyis a $Q^{\alpha}_{\phantom{\alpha}\beta}$ tenzor az egységtenzorral arányos. Ha visszatérünk görbevonalú koordinátákra, $$\begin{align} Q^{\alpha\beta}=\lambda \gamma^{\alpha\beta}\phantom{kozm7b} \end{align}$$ adódik. A $\lambda$ sajátérték minden pontban azonos kell, hogy legyen (nem függhet a térkoordinátáktól), mivel máskülönben a homogenitás követelménye nem teljesülne. Mivel azonban mindezek a megfontolások rögzített időpontra vonatkoznak, a $\lambda$ sajátérték az időtől még függhet. A (\ref{kozm3}) egyenletből ezek után azt kapjuk, hogy $$\begin{align} P_{\mu\nu\eta\kappa}&=E_{\alpha\mu\nu}E_{\beta\eta\kappa}Q^{\alpha\beta} =\lambda E_{\alpha\mu\nu}E_{\beta\eta\kappa}\gamma^{\alpha\beta} \\ &=\lambda E_{\alpha\mu\nu}E^\alpha_{\phantom{\alpha}\eta\kappa} =\lambda E_{\alpha\mu\nu}E^{\alpha\eta'\kappa'}\gamma_{\eta\eta'}\gamma_{\kappa\kappa'} =\lambda \epsilon_{\alpha\mu\nu}\epsilon^{\alpha\eta'\kappa'}\gamma_{\eta\eta'}\gamma_{\kappa\kappa'} \\ &=\lambda \left(\delta^{\eta'}_\mu\delta^{\kappa'}_\nu-\delta^{\eta'}_\nu\delta^{\kappa'}_\mu\right)\gamma_{\eta\eta'}\gamma_{\kappa\kappa'}=\lambda \left(\gamma_{\eta\mu}\gamma_{\kappa\nu}-\gamma_{\eta\nu}\gamma_{\kappa\mu}\right)\;, \phantom{kozm8} \end{align}$$ tehát a tér homogenitása és izotrópiája miatt a háromdimenziós görbületi tenzor algebrailag kifejezhető a térbeli metrika segítségével. A háromdimenziós Ricci-tenzor ennek következtében $$\begin{align}P_{\alpha\beta}=2\lambda\gamma_{\alpha\beta}\end{align}$$ lesz, a térgörbület pedig $$\begin{align}P=6\lambda\;.\end{align}$$ A $\lambda$ paraméter előjele szerint három lehetőség állhat fenn: \begin{itemize} \item $\lambda=0$ : euklideszi (sík) tér, \item $\lambda>0$ : pozitív görbületű (zárt) tér, \item $\lambda<0$ : negatív görbületű (nyílt) tér. \end{itemize} A jelenlegi precíziós kozmológiai mérések a sík tér esetével konzisztensek.

Sík tér

Ilyenkor a tér görbületlen\footnote{A téridő azonban ilyenkor is görbült, mert a téridő Riemann-tenzora általában nem tűnik el.}, a metrika tehát az euklideszi metrika. Ez tartalmazhat még egy időfüggő $R(t)$ skálafaktort, ami adott időpontban csupán a koordináták és a valódi távolságok közötti arányossági tényező, így a téridőbeli ívelemnégyzet $$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\delta_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta\end{align}$$ Polárkoordinátákban: $$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(dr^2+r^2(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2)\right)\end{align}$$ Az $R(t)$ skálafaktor időfüggését az Einstein-egyenletekből kapjuk (ld. később). Most - feltéve, hogy $R(t)$ ismert - a metrika fizikai következményeit elemezzük.
Megmutatjuk, hogy adott térkoordinátájú pontok geodetikus világvonalnak felelnek meg. Ha az állítás igaz, akkor négyessebesség térszerű komponensei eltűnnek, azaz $u^\alpha=0$ és $u^0=1$ kielégíti a $$\begin{align} \frac{Du^i}{ds}=0 \end{align}$$ geodetikus egyenletet. Számítsuk ki ehhez a Christoffel-szimbólumokat: $$\begin{align}\Gamma^i_{\phantom 0jk}=\frac{1}{2}g^{im}\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} -\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}\right)\end{align}$$ A definícióból következően a nullától különböző komponenseknek legfeljebb egy időszerű indexe lehet ($x^0=t$). $$\begin{align}\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta} &=\frac{1}{2}\dot \gamma_{\alpha\beta} =\frac{\dot R(t)}{R(t)} \gamma_{\alpha\beta}\\ \Gamma^\alpha_{\phantom 00\beta} &=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha\delta}\dot \gamma_{\delta\beta} =\frac{\dot R(t)}{R(t)} \delta^\alpha_\beta\end{align}$$ Ezzel geodetikus egyenlet komponensei: $$\begin{align} \frac{du^0}{ds}+\Gamma^0_{\alpha\beta}u^\alpha u^\beta&=0\\ \frac{du^\alpha}{ds}+2\Gamma^\alpha_{0\beta}u^0 u^\beta&=0\;. \end{align}$$ Látható, hogy mind az időszerű, mind a térszerű komponensekre vonatkozó egyenletek azonosan teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy ha egy tömegpont adott térkoordinátájú pontban nyugszik, akkor később is ott marad.
Távolságok:
A térben nyugvó pontok közötti távolságot a metrika térbeli része adja meg: $$\begin{align}d{\ell} =R(t)\sqrt{dx^\alpha dx^\alpha}\end{align}$$ A térben nyugvó pontok közötti távolság tehát a skálafaktornak megfelelően változik.
Fény terjedése:
Fény terjedése során az ívelemnégyzet eltűnik. Az izotrópia miatt elegendő az origóból sugárirányban kifelé terjedő fénysugarat vizsgálni: $$\begin{align}ds^2=0\quad \rightarrow\quad dr=\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$ Adott időpontban mért távolság a kibocsájtás helyétől: $$\begin{align}\ell=R(t_2)\int_{t_1}^{t_2}\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$ Anyagdominált univerzumban pl. $R(t)\propto t^{2/3}$, így a jelen $t_0$ pillanatban az eseményhorizont távolsága tőlünk (annak a felületnek a távolsága, ahonnan a $t_1=0$ időpontbeli Ősrobbanástól bármilyen hatás hozzánk érkezhetett) $$\begin{align}\ell_{\text{horizont}}=3ct_0\;.\end{align}$$ A valóságban az Univerzum nem volt mindig anyagdominált, ezért ez a formula sem érvényes (a tényleges horizont jóval messzebb van). Jó közelítést ad viszont az utolsó ütközés távolságára, arra a távolságra, ahonnan a lecsatolódáskor útnak indult fény a mikrohullámú kozmikus háttérsugárzás formájában hozzánk érkezik, vagyis az általunk látható Univerzum sugarára.
A fény terjedése közben változik a hullámhossza és a frekvenciája, ezért felírjuk rá a geodetikus egyenletet: $$\begin{align}\frac{dk^0}{d\lambda}+\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}k^\alpha k^\beta=0\end{align}$$ ezt elosztva a négyes hullámszám-vektor időszerű komponensét definiáló egyenlettel, ami $$\begin{align}\frac{dx^0}{d\lambda}=k^0\;,\end{align}$$ azt kapjuk, hogy $$\begin{align}\dot k^0=-\frac{\dot R(t)}{R(t)}k^0 \quad \rightarrow \quad k^0\propto \frac{1}{R(t)}\;. \end{align}$$ Itt felhasználtuk a Christoffel-szimbólumok fenti kifejezését. Az eredmény azt jelenti, hogy $$\begin{align}\frac{\omega(t_2)}{\omega(t_1)}=\frac{R(t_1)}{R(t_2)}\;,\phantom{voros_flat}\end{align}$$ tehát a frekvencia fordítottan arányos a skálafaktorral. Ez a jelenség a kozmológiai vöröseltolódás. A sugárzás lecsatolódása óta a skálafaktor mintegy $1088$-szorosára nőtt, emiatt a lecsatolódáskor még $2965\;K$ hőmérsékletű hőmérsékleti sugárzás, melynek a maximális intenzitáshoz tartozó hullámhossza $977\; nm$ (frekvenciája $3.07\times 10^{14}\;Hz$) volt, a jelenlegi mikrohullámú kozmikus háttérsugárzássá szelídült, amely szintén hőmérsékleti sugárzás, de a maximális intenzitás frekvenciája $160.4\;GHz$, a hullámhossza $1.063\; mm$, ami $2.726\; K$ ($-270^\circ C$) hőmérsékletnek felel meg.\footnote{A Wien-féle eltolódási tövény értelmében a maximális intenzitás frekvenciája arányos az abszolút hőmérséklettel.}
A fény intenzitása szintén nemtriviális módon változik a táguló Univerzumban. Az intenzitás az adott $r$ sugárhoz tartozó valódi felülettel nyilvánvalóan fordítottan arányos, de ezenkívül arányos a frekvencia négyzetével is. Az egyik $\omega$ tényező a fotonok érkezési ütemének felel meg (ahogy az adott felületen átlépnek), a másik pedig az egyes fotonok $\hbar \omega$ energiájának. Így tehát $$\begin{align}I\propto \frac{\omega^2}{A}\propto \frac{1}{R^4(t) \left(\int\frac{cdt}{R(t)}\right)^2}\;,\end{align}$$ azaz $$\begin{align}\frac{I(t_2)}{I(t_1)}= \frac{R^4(t_1)\left(\int_{t_0}^{t_1} \frac{dt}{R(t)}\right)^2}{R^4(t_2)\left(\int_{t_0}^{t_2} \frac{dt}{R(t)}\right)^2}\;.\phantom{int_flat}\end{align}$$

Pozitív görbületű tér

Homogén és izotróp térmetrikát kapunk a következő konstrukcióval: egy képzeletbeli négydimenziós euklideszi térben elhelyezkedő $R$ sugarú négydimenziós gömb háromdimenziós felszínének metrikáját határozzuk meg. Nyilvánvaló ugyanis, hogy a gömbfelszín geometriája (akárhány dimenzióban) homogén és izotróp, nincsenek rajta se kitüntetett pontok, se kitüntetett irányok. $$\begin{align}d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2+(dx^4)^2\end{align}$$ $$\begin{align}(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2+(x^4)^2=R^2\end{align}$$ Utóbbiból $$\begin{align}x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3+x^4dx^4=0\end{align}$$ Így $$\begin{align}d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2 +\frac{\left(x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3\right)^2}{R^2 -\left((x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2\right)}\end{align}$$ Metrika az origó közelében: $$\begin{align}\gamma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}+\frac{x^\alpha x^\beta}{R^2}\end{align}$$ Térgörbület: $$\begin{align}P=\frac{6}{R^2}\end{align}$$ Térbeli polárkoordináták: $$\begin{align}x^1=R\;r\;\sin\vartheta \cos\varphi\end{align}$$ $$\begin{align}x^2=R\;r\;\sin\vartheta \sin\varphi\end{align}$$ $$\begin{align}x^3=R\;r\;\cos\vartheta \end{align}$$ $$\begin{align}d\ell^2=R^2dr^2+R^2r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)+\frac{R^4r^2dr^2}{R^2 -R^2r^2}\end{align}$$ azaz $$\begin{align}d\ell^2=R^2\left(\frac{dr^2}{1-r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)\end{align}$$ Téridőbeli ívelemnégyzet: $$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)\end{align}$$

Negatív görbületű tér

Beágyazás csak hétdimenziós euklideszi térbe lehetséges, formálisan viszont írhatjuk: $$\begin{align}d\ell^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2 +\frac{\left(x^1dx^1+x^2dx^2+x^3dx^3\right)^2}{-R^2 -\left((x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2\right)}\end{align}$$ Metrika az origó közelében: $$\begin{align}\gamma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}-\frac{x^\alpha x^\beta}{R^2}\end{align}$$ Térgörbület: $$\begin{align}P=-\frac{6}{R^2}\end{align}$$ Térbeli polárkoordináták: $$\begin{align}x^1=R\;r\;\sin\vartheta \cos\varphi\end{align}$$ $$\begin{align}x^2=R\;r\;\sin\vartheta \sin\varphi\end{align}$$ $$\begin{align}x^3=R\;r\;\cos\vartheta \end{align}$$ $$\begin{align}d\ell^2=R^2dr^2+R^2r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)+\frac{R^4r^2dr^2}{-R^2 -R^2r^2}\end{align}$$ azaz $$\begin{align}d\ell^2=R^2\left(\frac{dr^2}{1+r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)\end{align}$$ Téridőbeli ívelemnégyzet: $$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1+r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)\end{align}$$

Friedmann-Robertson-Walker-metrika

A három különböző eset egységes alakban (Friedmann-Robertson-Walker-metrika): $$\begin{align}ds^2=c^2dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-K\;r^2}+r^2\left(d\vartheta^2+sin^2\vartheta \;d\varphi^2\right)\right)\phantom{FRW_metric}\end{align}$$ Itt $K=0, \pm 1$.
Távolságok:
Sugárirányra merőlegesen: $$\begin{align}d{\ell} =R(t)\;r\;d\vartheta\end{align}$$ Sugárirányban: $$\begin{align}d{\ell} =R(t)\frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}\end{align}$$
Fény terjedése:
$$\begin{align}ds^2=0\quad \rightarrow\quad \frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}=\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$ Adott időpontban mért távolság a kibocsájtás helyétől: $$\begin{align}\ell=R(t_2)\int_{t_1}^{t_2}\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$ Christoffel-szimbólumok: $$\begin{align}\Gamma^i_{\phantom 0jk}=\frac{1}{2}g^{im}\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} -\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}\right)\end{align}$$ A nullától különböző komponenseknek legfeljebb egy időszerű indexe lehet ($x^0=t$). $$\begin{align}\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta} &=\frac{1}{2}\dot \gamma_{\alpha\beta} =\frac{\dot R(t)}{R(t)} \gamma_{\alpha\beta}\phantom{FRW_Ch1}\\ \Gamma^\alpha_{\phantom 00\beta} &=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha\delta}\dot \gamma_{\delta\beta} =\frac{\dot R(t)}{R(t)} \delta^\alpha_\beta \phantom{FRW_Ch2}\end{align}$$ $$\begin{align}\frac{dk^0}{d\lambda}+\Gamma^0_{\phantom 0\alpha\beta}k^\alpha k^\beta=0\end{align}$$ $$\begin{align}\frac{dx^0}{d\lambda}=k^0\end{align}$$ $$\begin{align}\dot k^0=-\frac{\dot R(t)}{R(t)}k^0 \quad \rightarrow \quad k^0\propto \frac{1}{R(t)} \end{align}$$ $$\begin{align}\frac{\omega(t_2)}{\omega(t_1)}=\frac{R(t_1)}{R(t_2)}\end{align}$$ A frekvencia fordítottan arányos a skálafaktorral (vöröseltolódás az Univerzum tágulása során). Intenzitás: $$\begin{align}I\propto \frac{\omega^2}{A}\propto \frac{1}{R^4(t) r^2(t)}\end{align}$$ $$\begin{align}\frac{I(t_2)}{I(t_1)}= \frac{R^4(t_1)r^2(t_1) }{R^4(t_2)r^2(t_2) }\end{align}$$ ahol $$\begin{align}\int_0^{r(t_i)}\frac{dr}{\sqrt{1-K\;r^2}}=\int_{t_0}^{t_i}\frac{cdt}{R(t)}\end{align}$$
Nyugalmi tömeggel rendelkező részecskék mozgása
Ha a nyugalmi tömeg nem nulla, a világvonal paraméterezésére az ívhossz használható. A geodetikus egyenlet térszerű komponensei: $$\begin{align} \frac{Du^\alpha}{ds}=\frac{du^\alpha}{ds}+2\Gamma^\alpha_{0\beta}u^0 u^\beta=\frac{du^\alpha}{ds}+2\frac{\dot{R}}{R}u^0 u^\alpha=0\;. \end{align}$$ Ezt $u^0$-lal osztva, mivel $u^0ds=dx^0$, $$\begin{align} \frac{\dot{u^\alpha}}{u^\alpha}=-2\frac{\dot{R}}{R} \end{align}$$ adódik (az $\alpha$ indexre nincs összegzés!). Az egyenlet megoldása $$\begin{align} u^\alpha\propto \frac{1}{R^2}\;. \end{align}$$ A valódi (mért) impulzus térszerű komponense ebből $$\begin{align} p^\alpha=mc u^\alpha R\propto \frac{1}{R}\;, \end{align}$$ ami összhangban van a $p=h/\lambda$ deBroglie-összefüggéssel ($\lambda$ a hullámhossz, ami, mint minden távolság, $R$-rel arányosan növekszik), annak ellenére, hogy szokásos kvantumos viselkedés atomi skálájától távol, hatalmas tömegű égitestek esetére alkalmazzuk. Az impulzusra kapott eredmény azt mutatja, hogy az FRW-koordinátarendszerhez képest mozgó tömegpontok a tágulás során egyre lassulnak, és határesetben megállnak.

Friedmann-egyenletek

Számítsuk ki a görbületi tenzor komponenseit a (\ref{riemann_kov}), (\ref{FRW_metric}), (\ref{FRW_Ch1}), (\ref{FRW_Ch2}) képletek alapján! A térszerű és időszerű indexeket szétválasztva kapjuk, hogy\footnote{A ki nem írt komponensek a görbületi tenzor szimmetriatulajdonságai alapján közvetlenül felírhatók.} $$\begin{align} {\mathcal R}_{0\alpha0\beta}&=\frac{\ddot{R}}{R}\gamma_{\alpha\beta}\\ {\mathcal R}_{0\alpha\beta\gamma}&=0\\ {\mathcal R}_{\alpha\beta\gamma\delta}&=-P_{\alpha\beta\gamma\delta}-\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^2\left(\gamma_{\beta\delta}\gamma_{\alpha\gamma}-\gamma_{\beta\gamma}\gamma_{\alpha\delta}\right) \\ &=\left[-\frac{K}{R^2}-\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^2\right]\left(\gamma_{\beta\delta}\gamma_{\alpha\gamma}-\gamma_{\beta\gamma}\gamma_{\alpha\delta}\right) \end{align}$$ Ebből indexösszeejtéssel a Ricci-tenzor $$\begin{align} {\mathcal R}_{00}&=-3\frac{\ddot{R}}{R}\\ {\mathcal R}_{0\alpha}&=0\\ {\mathcal R}_{\alpha\beta}&=\left[\frac{\ddot{R}}{R}+2\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^2+\frac{2K}{R^2}\right]\gamma_{\alpha\beta}\;, \end{align}$$ a Ricci-skalár pedig $$\begin{align} {\mathcal R}=-6\frac{\ddot{R}}{R}-6\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^2-\frac{6K}{R^2} \end{align}$$ Ezzel az Einstein-egyenletek (melyeket ebben a speciális esetben Friedmann-egyenleteknek hívunk): \noindent A $0,0$ komponens (3-mal osztva) az első Friedmann-egyenlet: $$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}+\frac{Kc^2}{R^2}=\frac{8\pi k}{3c^2}\epsilon\phantom{fried1}\end{align}$$ Az $\alpha, \beta$ komponens ($-\gamma_{\alpha\beta}$-val leosztva) a második Friedmann-egyenlet: $$\begin{align}\frac{2\ddot R}{R}+\frac{\dot R^2}{R^2}+\frac{Kc^2}{R^2}=-\frac{8\pi k}{c^2}p\phantom{fried2}\end{align}$$

A divergenciaegyenlet

Az Einstein-egyenletekből következik, hogy az energia-impulzus tenzor kovariáns négyesdivergenciája eltűnik: $$\begin{align}T^{\phantom x k}_{i\phantom x ;k}=0\end{align}$$ Ez $i=0$ esetén $$\begin{align}T^{\phantom x k}_{0\phantom x ,k}+\Gamma^k_{\phantom x jk}T^{\phantom x j}_{0}-\Gamma^j_{\phantom x 0k}T^{\phantom x k}_{j}=0\end{align}$$ alakba írható, ami a makroszkopikus anyag és az FRW-metrika esetén érvényes $$\begin{align}T^{\phantom x 0}_{0}=\epsilon\;,\quad T^{\phantom x \beta}_{\alpha}=-p\delta^{\beta}_{\alpha}\;,\quad \Gamma^\alpha_{\phantom x0\beta} =\frac{\dot R}{R}\delta^\alpha_{\beta} \end{align}$$ összefüggések segítségével a következő, ún. divergenciaegyenletre vezet: $$\begin{align}\dot \epsilon+3\frac{\dot R}{R}(\epsilon+p)=0\phantom{divegy}\end{align}$$ Másképp: $$\begin{align}\int \frac{d\epsilon}{\epsilon+p}=-3\int \frac{dR}{R}\end{align}$$ A divergenciaegyenlet közvetlenül a Friedmann-egyenletekből is levezethető: az első Friedmann-egyenlet időderiváltjából és a második Friedmann-egyenletből az $\ddot{R}$-ot tartalmazó tag kiküszöbölésével kapható meg.
A divergenciaegyenlet megoldásához csak a $p(\epsilon)$ állapotegyenlet ismerete szükséges, és a megoldás az energiasűrűséget ill. a nyomást határozza meg a skálafaktor függvényében. Ezután az első Friedmann-egyenletből kapható meg a skálafaktor időfüggése.

A Friedmann-egyenletek megoldása

Sík tér, nemrelativisztikus anyag
$$\begin{align}K=0\;,\quad p=0\end{align}$$ A (\ref{divegy}) divergenciaegyenletből ebben az esetben azt kapjuk, hogy $$\begin{align} \epsilon \propto R^{-3}\;.\phantom{nrel1} \end{align}$$ Ez szemléletesen is könnyen megérthető. Nemrelativisztikus anyag esetében az egyes tömegpontok energiája gyakorlatilag a nyugalmi energia, így adott fizikai térfogatban az energia állandó. A térfogat azonban $R^3$-nal arányosan növekszik a tágulás folyamán, emiatt az energiasűrűség $R^{-3}$ szerint csökken.
A (\ref{nrel1}) energiasűrűséget az (\ref{fried1}) Friedmann-egyenletbe helyettesítve kapjuk a skálafaktor időfüggését: $$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}=\frac{8\pi k}{3c^2}\epsilon_0\frac{R_0^3}{R^3}\;\phantom{fried_nrel}\end{align}$$ amiből $$\begin{align} R\propto t^{2/3}\phantom{nrel2}\end{align}$$ adódik.
Sík tér, ultrarelativisztikus anyag
$$\begin{align}K=0\;,\quad p=\frac{1}{3}\epsilon\end{align}$$ A (\ref{divegy}) divergenciaegyenletből ebben az esetben azt kapjuk, hogy $$\begin{align} \epsilon \propto R^{-4}\;.\phantom{rel1} \end{align}$$ Relativisztikus anyag esetében az egyes tömegpontok (pl. fotonok) energiája a tágulás során a kozmológiai vöröseltolódás miatt $1/R$ törvény szerint csökken. A térfogatok azonban $R^3$-nal arányosan növekednek, emiatt az energiasűrűség $R^{-4}$ szerint csökken.
A (\ref{rel1}) energiasűrűséget az (\ref{fried1}) Friedmann-egyenletbe helyettesítve kapjuk a skálafaktor időfüggését: $$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}=\frac{8\pi k}{3c^2}\epsilon_0\frac{R_0^4}{R^4}\;\phantom{fried_rel}\end{align}$$ amiből $$\begin{align} R\propto t^{1/2}\phantom{rel2}\end{align}$$ adódik.
Görbületi tag
A görbületi tagot átvihetjük a (\ref{fried1}), (\ref{fried2}) Friedmann-egyenletek jobboldalára, és egyfajta anyag energia-impulzus tenzorának tekinthetjük. A megfelelő energiasűrűség $-(3c^2K)/(8\pi k R^2)$ lesz, a nyomás pedig $(c^2K)/(8\pi k R^2)$. Ebből következően a görbületi tagnak megfelelő állapotegyenlet $$\begin{align}p=-\frac{1}{3}\epsilon\;.\phantom{curv1}\end{align}$$ Ebből a energiára a divergenciaegyenletből természetesen ismét $\epsilon \propto 1/R^2$ adódik. Görbületdominált univerzumban (ami persze csak $K=-1$ esetén lehetséges) $$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}=-\frac{K}{R^2}\;\phantom{fried_curv}\end{align}$$ teljesülne, amiből $$\begin{align} R\propto t\;.\phantom{curv2}\end{align}$$
Kozmológiai állandó
Az Einstein-egyenletek levezetését módosíthatjuk úgy, hogy az ${\mathcal R}$ invariáns görbülethez hozzáadunk egy állandót: $$\begin{align}S_g=-\frac{c^3}{16\pi k}\int({\mathcal R}+2\Lambda)\sqrt{-g}d\Omega\end{align}$$ Ez a Lagrange-sűrűség skalár voltát nem változtatja meg, viszont újabb tag megjelenéséhez vezet az Einstein-egyenletekben: $$\begin{align}{\mathcal R}_{ik}-\frac{1}{2}{\mathcal R}g_{ik}=\frac{8\pi k}{c^4}T_{ik}+\Lambda g_{ik}\end{align}$$ A $\Lambda$ mennyiség neve kozmológiai állandó, és, amint az a bevezetéséből látszik, a vákuum univerzális görbületeként értelmezhető. Az egyenletből azonnal leolvasható, hogy a kozmológiai állandónak megfelelő állapotegyenlet: $$\begin{align}p=-\epsilon\end{align}$$ Ez az állapotegyenlet a (\ref{divegy}) divergenciaegyenlettel kombinálva $\epsilon \propto 1$ egyenletre vezet, vagyis a kozmológiai állandónak megfelelő energiasűrűség nem változik a táguláskor, így a kozmológiai állandó a vákuum univerzális energiasűrűségének is tekinthető. Az első Friedmann-egyenlet ezúttal $$\begin{align}\frac{\dot R^2}{R^2}=\frac{1}{3}c^2\Lambda\;,\end{align}$$ alakú, amiből exponenciálisan (gyorsulva) táguló megoldás következik: $$\begin{align}R\propto exp\left(\sqrt{\Lambda/3}ct\right)\;.\end{align}$$
Kozmológiai standard modell
\begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline \multicolumn{4}{|c|}{A Friedmann-egyenletek megoldásai egy-egy domináns anyagtípus esetén}\\ \hline anyagfajta& állapotegyenlet& energiasűrűség skálafüggése& skálafaktor időfüggése\\ \hline\hline nemrelativisztikus anyag& $p=0$& $\epsilon\propto 1/R^3$& $R\propto t^{2/3}\phantom{\left(\sqrt{\Lambda}\right)}$\\ \hline ultrarelativisztikus anyag& $p=\frac{1}{3}\epsilon$& $\epsilon\propto 1/R^4$& $R\propto t^{1/2}\phantom{\left(\sqrt{\Lambda}\right)}$\\ \hline görbület& $p=-\frac{1}{3}\epsilon$& $\epsilon\propto 1/R^2$& $R\propto t \quad (K=-1)\phantom{\left(\sqrt{\Lambda}\right)}$\\ \hline kozmológiai állandó& $p=-\epsilon$& $\epsilon\propto 1$& $R\propto exp\left(\sqrt{\Lambda/3}ct\right)$\\ \hline -& $p=w\epsilon$& $\epsilon\propto 1/R^{3(1+w)}$& $R\propto t^{2/3/(1+w)}\phantom{\left(\sqrt{\Lambda}\right)}$\\ \hline \end{tabular}
Az utolsó sor a nyomás és az energia általános lineáris kapcsolatát mutatja. Ennek speciális esetei a korábbiak.
Amennyiben több anyagfajta egyidejűleg van jelen, de egymással nem állnak kölcsönhatásban, akkor minden anyagfajta energia-impulzus tenzorára külön-külön érvényes a divergenciaegyenlet, ill. a belőle adódó skálafüggés.\footnote{Az első Friedmann-egyenlet megoldása természetesen ilyenkor már nem lesz egyszerű hatványfüggvény.} A fenti táblázatból látható, hogy a tágulás során a sugárzás energiasűrűsége csökken a leggyorsabban, ezt követi a nemrelativisztikus anyag, majd a görbület és végül a kozmológiai állandó. Ebből az következik, hogy a korai univerzum sugárzásdominált volt, majd (kb. 10 ezer évvel az Ősrobbanás után) anyagdominálttá vált, jelenleg pedig a megfigyelt gyorsuló tágulás szerint kozmológiai állandó dominált. Valójában az anyag és sugárzás (ill. a különféle elemi részek) a korai univerzumban nem függetlenek, így külön-külön az energia-impulzus tenzoruk nem tesz eleget a divergenciaegyenletnek, csak együttesen. A kölcsönhatás a tágulás folyamán a kinetikai gázelméletből jól ismert Boltzmann-egyenlet segítségével vehető figyelembe (ld. a következő fejezetben). Az egyes anyagfajták egyrészecske-fázistérbeli eloszlására felírt Boltzmann-egyenletek és az első Friedmann-egyenlet együttesen meghatározzák mind a különböző részecsketípusok sűrűségének időfüggését, mind pedig a skálafaktor időfüggését. Ezt az elméleti leírást szokás gyakran kozmológiai standard modellként emlegetni. A kozmológiai standard modell fényes sikere volt az univerzumban megfigyelhető elemgyakoriságok kvantitatív értelmezése. Az elmélet szerint primordiális nukleoszintézis az ősrobbanás utáni első három percben lezajlott, és a különböző elemek a rendszám növekedtével rohamosan csökkenő arányban fordulnak elő. A kölcsönhatás figyelembevételével is érvényben marad a korai sugárzásdominált, majd az azt követő anyagdominált univerzum képe. Az anyagdominált univerzum korai, fontos eseménye a sugárzás lecsatolódása az anyagról. A tágulás és hűlés folyamán ez akkor következik be - mintegy $380 000$ évvel az ősrobbanás után -, amikor a sugárzás fotonjai már nem képesek az atomi energiaszinteket gerjeszteni. Ezzel az univerzum átlátszóvá válik, az elektromágneses sugárzás akadálytalanul terjed benne. Mára a korai univerzum sugárzása a tágulás következtében a mikrohullámú tartományba esik. A korai univerzum szerkezetéről a talán legértékesebb információt a mikrohullámú háttérsugárzás hordozza.

A kozmológiai standard modell nehézségei

A kozmológiai standard modell sikerei ellenére súlyos problémákkal küzd. Ezek az időskála mindkét végén fellépnek: a nagyon korai univerzum nem lehetett sugárzásdominált, hanem exponenciálisan kellett, hogy táguljon (kozmológiai infláció), a késői univerzum viszont, mint nagy meglepetésre 1998-ban kiderült, szintén gyorsulva tágul, ami nem fér össze a nemrelativisztikus anyag dominálta univerzum képével. Az előbbi probléma feltételezhető megoldása vezetett az inflációs modellek tanulmányozásához, azonban ehhez a dolog lényegénél fogva egy olyan anyag tulajdonságait kell elméletileg elemezni, amely ma már nem létezik és ennél fogva csak az elmélet következetessége és a belőle erősen áttételes módon a levont következtetések helyessége adhatnak támpontot. A késői univerzumban fellépő nehézségek a mérésekkel összhangba hozhatók a kozmológiai állandó sokadszori újrabevezetése árán. Az így adódó összhang-modell (condordance model) azt a képet adja a világunkról, hogy jelenleg az anyag túlnyomó többsége ismeretlen fajtájú, részben kozmológiai állandó szerű sötét energiából áll, részben pedig egy szintén ismeretlen fajta nemrelativisztikus anyagból, az ún. sötét anyagból. Az általunk ismert barionos anyag átlagsűrűsége a teljes tömegsűrűség kb. 5 \%-ára tehető.

A finomhangolási probléma

%$$\begin{align}\Delta \Omega_0 \approx \frac{R_0}{R_1}\Delta \Omega_1\end{align}$$ %ahol $\Omega=\rho/\rho_c$, $\rho_c=3H^2/(8\pi k)=9.20\times 10^{-27} kg/m^3$, $H=\dot R/R=70\pm 2.4 %(km/s)/Mpc=(2.27\pm 0.08)\times 10^{-18} s^{-1} $.

A horizont-probléma

Infláció a korai univerzumban: kozmológia véges nyugalmi tömeggel rendelkező skalártér jelenlétében

Gyorsuló tágulás a késői univerzumban: sötét energia

1998-ban két kutatócsoport is - egymástól függetlenül - arra a következtetésre jutott, hogy az univerzum gyorsulva tágul. A Hubble-diagramot határozták meg úgy, hogy ``standard gyertyáknak'', azaz ismert abszolút luminozitású fényforrásoknak 1A típusú szupernovákat használtak. Ezek a szupernovák eredetileg fehér törpék, melyek egy kettős csillagrendszer tagjai, és folyamatosan anyagot vonzanak magukba a kísérőjüktől (ami vörös óriás), míg végül elérik a Chandrasekhar-határt, és szupernovaként felrobbannak. A fénygörbéjükből (tehát a látszó fényesség időbeli lefutásából) az elmélet szerint meghatározható a maximális abszolút fényességük. Egy távoli, ismert abszolút fényességű objektum látszó fényessége és vöröseltolódása közötti kapcsolat az $R(t)$ skálafaktortól függ (v.ö. (\ref{voros_flat}), (\ref{int_flat})). Tekintsük a skálafaktor sorfejtését a jelenkori $t_0$ időpont körül! $$\begin{align} R(t)=R_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2\;.\phantom{rsorf} \end{align}$$ Itt $v_0=\dot{R}=R_0 H_0$ nyilván pozitív, mivel az univerzum tágul (itt $H_0=67.80\pm 0.77 km/s/Mpc$ a Hubble-paraméter jelenkori értéke\footnote{Planck collaboration (2013), arXiv:1303.5062 }). Ha az univerzum anyagdominált, akkor $R=R_0(t/t_0)^{2/3}$, és így $$\begin{align} H_0=\frac{\dot{R}}{R_0}=\frac{2}{3}\frac{R_0}{t_0}\;. \end{align}$$ $$\begin{align} a_0=\ddot{R}=-\frac{2}{9}\frac{R_0}{t_0^2}=-\frac{1}{2}R_0H_0^2\;. \end{align}$$ Anyagdominált esetben a tágulás lineárisnál lassúbb, a gyorsulás ennek megfelelően negatív volna. Számítsuk most ki a vöröseltolódást és az intenzitásváltozást a sorfejtett (\ref{rsorf}) alak segítségével! A vöröseltolódást a $$\begin{align} z=\frac{\lambda_0}{\lambda_1}-1=\frac{R_0}{R_1}-1 \end{align}$$ paraméterrel jellemezzük, ahol $\lambda$ a hullámhossz, a 0 index a jelenkori, az 1 index pedig a kibocsátáskori értékre utal. Azt kapjuk, hogy $$\begin{align} z=H_0(t_0-t_1)+\left(1-\frac{a_0}{2R_0H_0^2}\right)H_0^2(t_0-t_1)^2\;, \end{align}$$ vagy megfordítva: $$\begin{align} H_0(t_0-t_1)=z-\left(1-\frac{a_0}{2R_0H_0^2}\right)z^2\;. \end{align}$$ Az intenzitásra ezzel az első nemtriviális rendben $$\begin{align} I_0=\frac{L}{4\pi c^2 R_0^4\left(\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{R(t)}\right)^2}\approx \frac{LH_0^2}{4\pi c^2 R_0 z^2}\left[1+\left(\frac{a_0}{R_0H_0^2}-1\right)z\right] \end{align}$$ adódik, ahol $L$ az abszolút luminozitás. Az $R_0$ paraméter csak a távolság mértékegységének megválasztását jelenti, a fenti képletben egyszerűen $R_0=1$ írható. Több különböző távolságban levő (különböző $z$ vöröseltolódású) távoli szupernovára végzett mérésből az $a_0$ gyorsulás elegendő pontossággal meghatározható volt az előjel eldöntéséhez, és meglepetésre pozitívnak adódott. Ez nyilván nem lenne lehetséges anyagdominált univerzumban. Az eddig tárgyalt állapotegyenletek közül egyedül a kozmológiai állandóé képes gyorsuló tágulást produkálni. Nem kizárható valamiféle skalártér jelenléte, de ez csupán spekuláció, mert jelenleg semmilyen ismert anyagtípus nem tud számot adni a megfigyelt jelenségről. Éppen ezért azt a hipotetikus anyagot - avagy kozmológiai állandót -, ami a gyorsuló tágulást okozza, sötét energiának nevezik.

Összhang-modell ($\Lambda$-CDM model)

A szupernova mérések mellett a mikrohullámú háttérsugárzás fluktuációiról és a galaxisok eloszlásáról is számot kell adnia a kozmológiai modellnek. Ez a két mérés kevésbé érzékeny a tágulás esetleges gyorsulására, mint az egyéb paraméterekre, a $H_0$ Hubble-konstansra és a görbületre. A precíziós kozmológiai mérések eredményei összhangba hozhatók egy egyszerű modellel, amely tulajdonképpen a kozmológiai standard modell kozmológiai állandóval. Valójában a standard modell a korai univerzumban gyakorlatilag nem változik ettől a bővítéstől, mivel a korai időszakban a skálafaktor kis értéke azt jelenti, hogy az anyag, de különösen a sugárzás energiasűrűsége hatalmas a skálafüggetlen kozmológiai állandó mellett. A módosításnak tehát csak a késői univerzumban van szerepe, amikor a sugárzás és az anyag sűrűsége a tágulás következtében lecsökkent. Ebben a tartományban viszont nem játszik lényeges szerepet a különböző anyagfajták kölcsönhatása, emiatt a modell lényegesen egyszerűsödik. Az így kapott összhang-modell (concordance model, $\Lambda$-CDM model) paraméterei meglepő képet rajzolnak a világunkról.
tovább fel vissza
bene@arpad.elte.hu