előző	fel	következő

Differenciálegyenletek a fizikában II.

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

10. Előadás: Cauchy-feladat parabolikus és hiperbolikus egyenletekre

10.1. Disztribúciók

10.2. Állandó együtthatós $n$-edrendű differenciálegyenlet kezdetiérték-problémája
Tekintsük a következő állandó együtthatós inhomogén $n$-edrendű differenciálegyenletet: $$\frac{d^nG}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}G}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}G}{dt^{n-2}}+\dots +a_0G=\delta(t)$$ Megmutatjuk, hogy $$G(t)=\Theta(t)Z(t)\;,$$ ahol $Z(t)$ a homogén $$\frac{d^nZ}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}Z}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}Z}{dt^{n-2}}+\dots +a_0Z=0$$ egyenlet megoldása

$$\begin{eqnarray} Z(0)=0\;,\quad Z'(0)=0\;,\dots\quad Z^{(n-2)}(0)=0\;,\quad Z^{(n-1)}(0)=1 \end{eqnarray}$$ kezdeti feltételek esetén.
Valóban, $$\begin{eqnarray} G^{(j)}(t)&=&\sum_{k=0}^j{j \choose k}\Theta^{(j-k)}(t)Z^{(k)}(t)=\Theta(t)Z^{(j)}(t)+\sum_{k=0}^{j-1}{j \choose k}\Theta^{(j-k)}(t)Z^{(k)}(t)\\&=&\Theta(t)Z^{(j)}(t)+\sum_{k=0}^{j-1}{j \choose k}\delta^{(j-k-1)}(t)Z^{(k)}(t)\;, \end{eqnarray}$$ azonban $$\left(\delta^{(j-k-1)}(t)Z^{(k)}(t),\varphi(t)\right)=(-1)^{j-k-1}\left(Z^{(k)}(t)\varphi(t)\right)^{(j-k-1)}(0)=\sum_{m=0}^{(j-k-1)}{{j-k-1} \choose m}Z^{(j-1-m)}(0)\varphi^{(m)}(0)=\delta_{m,0}\delta_{j,n}\varphi(0)\;,$$ a kezdeti feltételek miatt, tehát $$\begin{eqnarray} G^{(j)}(t)&=&\left\{\begin{array}{ll}\Theta(t)Z^{(j)}(t)&\text{ ha }0\le j\le n-1\\ \Theta(t)Z^{(n)}(t)+\delta(t)&\text{ ha } j=n\end{array}\right. \end{eqnarray}$$ $Z$ egyenlete alapján ezzel $G$ a fenti egyenletet csakugyan kielégíti.

$G$ egyenletét felírjuk a $\tau$ független változóra, majd $f(t-\tau)$-val szorozva $\tau$ szerint mindkét oldalt integráljuk mínusz végtelentől plusz végtelenig. Azt kapjuk, hogy $$u(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}G(t-\tau)f(\tau)d\tau\equiv G*f \quad(\text{konvolúció})$$ eleget tesz a $$\frac{d^nu}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}u}{dt^{n-2}}+\dots +a_0u=f(t)$$ egyenletnek. Ez abból következik, hogy $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)\delta(\tau)d\tau=\left(\delta(\tau),f(t-\tau)\right)=f(t)$$ és $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)\frac{d^ju}{d\tau^j}d\tau =\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\left.\frac{d^ju}{dt'^j}\right|_{t'=t-\tau}d\tau =\frac{d^j}{dt^j}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)u(t-\tau)d\tau$$

Kezdeti feltételek mint inhomogén tagok:
Az előbbi egyenlet kezdetiérték-problémájának megoldását keressük, vagyis az $$u(0)=u_0\;,\quad u'(0)=u_1\;,\dots u^{(n-1)}(0)=u_{n-1}$$ feltételeknek eleget tevő megoldást.
Legyen $t<0$ esetén $u(t)=0$, $f(t)=0$ (Ennek hangsúlyozására a továbbiakban $f(t)$ helyett $f(t)\Theta(t)$-t írunk.), $t>0$ esetén pedig $f(t)$ folytonos, $u(t)$ $n$-szer folytonosan deriválható.
Jelöljük az általánosított függvények szakaszonként folytonos részét kapcsos zárójelekkel! (pl. $\{\delta(t)+t\}=t$) Ekkor $$\begin{eqnarray} u'(t)&= &\{u'(t)\}+u_0\delta(t)\;, \end{eqnarray} $$ mivel $u(t)$-nek $u_0$ nagyságú szakadása van $t=0$-ban.
Hasonlóan $$\begin{eqnarray} u''(t)&= &\{u''(t)\}+u_1\delta(t)+u_0\delta'(t)\\ u'''(t)&= &\{u'''(t)\}+u_2\delta(t)+u_1\delta'(t)+u_0\delta''(t)\\ &\vdots&\\ u^{(n)}(t)&= &\{u^{(n)}(t)\}+u_{n-1}\delta(t)+u_{n-2}\delta'(t)+\dots+u_0\delta^{(n-1)}(t) \end{eqnarray} $$ A folytonos részek $t<0$ és $t>0$ esetén eleget tesznek az egyenletnek ($f(t)\Theta(t)$ inhomogén taggal), így $$\begin{eqnarray} &&\frac{d^nu}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}u}{dt^{n-2}}+\dots +a_0u \\&&=f(t)\Theta(t)+\left(u_{n-1}+a_{n-1}u_{n-2}+\dots+a_1u_0\right)\delta(t)+\left(u_{n-2}+a_{n-1}u_{n-3}+\dots+a_2u_0\right)\delta'(t)+\dots+u_0\delta^{(n-1)}(t) \end{eqnarray} $$ Az olyan általánosított függvények (disztribúciók) körében, melyeknek a $G$ Green-függvénnyel vett konvolúciója értelmes, ennek az egyenletnek egyértelmű megoldása létezik, amely a fentiek szerint $t>0$-ra az eredeti kezdetiérték-feladat megoldásával azonos. Az egyértelműség abból következik, hogy a homogén egyenlet, $$\hat L u\equiv \frac{d^nu}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}u}{dt^{n-2}}+\dots +a_0u=0$$ egyetlen megoldása (az előbb leírt függvényosztályban) a nulla: $$u=u*\delta=u*\hat L G=\hat L u*G=0$$ Az egyértelmű megoldás pedig az inhomogén tagnak a Green-függvénnyel képzett konvolúciója, tehát a kezdetiérték-feladat megoldása: $$u(t)=\int_0^tG(t-\tau)f(\tau)d\tau+\left(u_{n-1}+a_{n-1}u_{n-2}+\dots+a_1u_0\right)G(t)+\left(u_{n-2}+a_{n-1}u_{n-3}+\dots+a_2u_0\right)G'(t)+\dots+u_0G^{(n-1)}(t)$$

Példák:
$$\frac{dG}{dt}+aG=\delta(t)$$ megoldása: $$G=\Theta(t){\rm e}^{-at}$$

$$\frac{d^2G}{dt^2}+a^2G=\delta(t)$$ megoldása: $$G=\Theta(t)\frac{\sin(at)}{a}$$

10.3. A hővezetés Cauchy-feladata
Egyenlet: $$\frac{\partial \Phi}{\partial t}-D\triangle \Phi=f({\bf r},t)\Theta(t)\quad {\bf r}\in {\mathcal R}^n$$ Kezdeti feltétel: $$\Phi(0)=u({\bf r})$$ Megoldás menete:
Térbeli (inverz) Fourier-transzformáció: $$\frac{\partial \tilde\Phi}{\partial t}+D k^2 \tilde\Phi=\tilde f({\bf k},t)\Theta(t)$$ Green-függvény: $$\tilde G({\bf k},t)=\Theta(t){\rm e}^{-D k^2 t}$$ Kezdetiérték-feladat megoldása $k$-térben: $$\tilde\Phi=\int_0^t {\rm e}^{-D k^2 (t-\tau)}\tilde f({\bf k},\tau)d\tau+\tilde u({\bf k}) {\rm e}^{-D k^2 t} \quad (t>0)$$ Kezdetiérték-feladat megoldása valós térben (Fourier-transzformáció): $$\Phi=\int_0^t \int \frac{\exp\left[-\frac{({\bf r}-{\bf r'})^2}{4D(t-\tau)}\right]}{\left(4\pi D(t-\tau)\right)^{n/2}}f({\bf r'},\tau)d^n{\bf r'}d\tau+\int \frac{\exp\left[-\frac{({\bf r}-{\bf r'})^2}{4Dt}\right]}{\left(4\pi Dt\right)^{n/2}}u({\bf r'})d^n{\bf r'}$$ Green-függvény valós térben:
Mivel $$ \frac{\partial \tilde G}{\partial t}+D k^2 \tilde G=\delta(t)\;$$ valós térben $$ \frac{\partial G}{\partial t}-D \triangle G=(2\pi)^{n/2}\delta(t)\delta({\bf r})\;.$$ Hagyományosan $(2\pi)^{-n/2}G$-t szokás a valós térbeli Green-függvénynek nevezni, ezért a továbbiakban ezt jelöljük $G$-vel. Erre $$ \frac{\partial G}{\partial t}-D \triangle G=\delta(t)\delta({\bf r})\;$$ teljesül. Expliciten ($\tilde G$-ból Fourier-transzformációval): $$G({\bf r},t)= \frac{1}{(2\pi)^n}\int d^n {\bf k}{\rm e}^{i{\bf k}{\bf r}}\Theta(t){\rm e}^{-D k^2 t}=\frac{\exp\left[-\frac{r^2}{4Dt}\right]}{\left(4\pi Dt\right)^{n/2}}\Theta(t)$$ Könnyű belátni, hogy $$\lim_{t\rightarrow +0}G({\bf r},t)= \delta({\bf r})\;.$$ A kezdetiérték-feladat megoldása $G({\bf r},t)$-vel kifejezve: $$\Phi=\int_0^t \int G({\bf r}-{\bf r'},t-\tau)f({\bf r'},\tau)d^n{\bf r'}d\tau+\int G({\bf r}-{\bf r'},t)u({\bf r'})d^n{\bf r'}$$

10.4. A hullámegyenlet Cauchy-feladata
Egyenlet: $$\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}-c^2\triangle \Phi=f({\bf r},t)\Theta(t)\quad {\bf r}\in {\mathcal R}^n$$ Kezdeti feltételek: $$\Phi(0)=u_0({\bf r})\;,\quad \frac{\partial \Phi}{\partial t}(0)=u_0({\bf r})$$ Megoldás menete:
Térbeli (inverz) Fourier-transzformáció: $$\frac{\partial \tilde\Phi}{\partial t}+c^2 k^2 \tilde\Phi=\tilde f({\bf k},t)\Theta(t)$$ Green-függvény: $$\tilde G({\bf k},t)=\Theta(t)\frac{\sin kc t}{kc}$$ Kezdetiérték-feladat megoldása $k$-térben: $$\tilde\Phi=\int_0^t \frac{\sin kc (t-\tau)}{kc}\tilde f({\bf k},\tau)d\tau+\tilde u_1({\bf k}) \frac{\sin kc t}{kc} +\tilde u_0({\bf k}) \cos kc t \quad (t>0)$$ Green-függvény egyenlete Fourier-térben: $$\frac{\partial \tilde G}{\partial t}+c^2 k^2 \tilde G=\delta(t)$$ Green-függvény egyenlete valós térben: $$\frac{\partial G}{\partial t}-c^2 \triangle G=(2\pi)^{n/2}\delta(t)\delta({\bf r})$$ $G$-t átdefiniáljuk: legyen $(2\pi)^{-n/2}G$ a valós térbeli Green-függvény. Ekkor $$\frac{\partial G}{\partial t}-c^2 \triangle G=\delta(t)\delta({\bf r})$$ Kezdetiérték-feladat megoldása valós térben (Fourier-transzformáció): $$\Phi=\int_0^t \int G({\bf r}-{\bf r'},t-\tau) f({\bf r'},\tau)d^n{\bf r'}d\tau+\int G({\bf r}-{\bf r'},t)u_1({\bf r'}) d^n{\bf r'} +\int \frac{\partial G({\bf r}-{\bf r'},t)}{\partial t}u_0({\bf r'}) d^n{\bf r'} \quad (t>0)$$ Green-függvény valós térben ($\tilde G$-ból Fourier-transzformációval): $$G({\bf r},t)=\frac{\Theta(t)}{(2\pi)^n}\int \frac{\sin kc t}{kc}{\rm e}^{i{\bf k}{\bf r}}d^n{\bf k}$$ Belátható, hogy ezúttal $$\lim_{t\rightarrow +0}G({\bf r},t)= 0$$ és $$\lim_{t\rightarrow +0}\frac{\partial G({\bf r},t)}{\partial t}= \delta({\bf r})\;.$$ Explicit formulák a valós térbeli Green-függvényre:
$n=1$ térdimenzió: $$G(x,t)=\frac{1}{2c}\Theta(ct-|x|)$$ $$\Phi=\frac{1}{2c}\int_0^t \int_{x-c(t-\tau)}^{x+c(t-\tau)}f(x',\tau)dx'd\tau+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(x')dx'+\frac{1}{2}u_0(x+ct)+\frac{1}{2}u_0(x-ct)$$
$n=2$ térdimenzió: $$G({\bf r},t)=\frac{\Theta(ct-r)}{2\pi c\sqrt{c^2t^2-r^2}}$$ $$\Phi=$$
$n=3$ térdimenzió: $$G({\bf r},t)=\frac{\Theta(t)}{2\pi c}\delta\left(c^2t^2-r^2\right)$$ $$\Phi=$$

előző	fel	következő