Differenciálegyenletek a fizikában II.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
2. Előadás
Homogén lineáris másodrendű differenciálegyenlet a komplex
síkon:
$$\frac{d^2y}{dz^2}+p(z)\frac{dy}{dz}+q(z)y=0$$
- Ha az együtthatók adott tartományban analitikus függvények, a megoldás
is analitikus, ezért az analitikus folytatás során a kezdőpontba
visszatérve ugyanazt a sort kapjuk, mint ami a
kiindulási pontban rendelkezésre állt.
- Ha az együtthatók valamelyik $z=\zeta$ pontban végtelenné válnak (szingularitás),
akkor ha az analitikus folytatást a szinguláris pontot megkerülő
kontúr mentén végezzük, nem feltétlenül kapjuk vissza a kiindulási függvényt.
Példa ilyen függvényekre: $$\sqrt{z}\;,\quad\ln z\;,\quad z^\alpha$$
Az alaprendszer függvényeinek változása:
$$\begin{eqnarray}
y_1(z_0)&\rightarrow & a y_1(z_0)+b y_2(z_0)\\
y_2(z_0)&\rightarrow & c y_1(z_0)+d y_2(z_0)
\end{eqnarray}$$
Az alaprendszer azonban nemszinguláris lineáris transzformációk erejéig
határozatlan, választhatjuk ezért alaprendszernek a $w_1(z)$, $w_2(z)$
függvényeket, melyekre
$$\begin{eqnarray}
y_1(z)&=&\alpha w_1(z)+\beta w_2(z)\\
y_2(z)&=&\gamma w_1(z)+\delta w_2(z)
\end{eqnarray}$$
teljesül, ahol $$\alpha\delta-\beta\gamma\ne 0\;.$$
Ez azt jelenti, hogy
$$\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{l}
w_1(z_0)\\w_2(z_0)
\end{array}\right)
\rightarrow
\left(\begin{array}{ll}
\alpha &\beta\\
\gamma &\delta
\end{array}\right)^{-1}
\left(\begin{array}{ll}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ll}
\alpha &\beta\\
\gamma &\delta
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{l}
w_1(z_0)\\w_2(z_0)
\end{array}\right)
\end{eqnarray}$$
Alkalmas hasonlósági transzformációval az $\left(\begin{array}{ll}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)$ mátrix egyszerűbb alakra hozható.
- Ha a mátrix sajátértékei
nem egyenlők, akkor hasonlósági transzformációval diagonalizálható:
$$\left(\begin{array}{ll}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{array}\right)$$
- Ha a mátrix sajátértékei
egyenlők, akkor hasonlósági transzformációval Jordan-féle normálalakra hozható:
$$\left(\begin{array}{ll}
\lambda & \nu\\
0 & \lambda
\end{array}\right)$$
$\Rightarrow$ Első eset (különböző sajátértékek):
$$(z-\zeta)^{r_1}$$
a $\zeta$ pont körbejárásakor
$\exp(2\pi r_1 i)$-vel szorzódik. Válasszuk $q_1$-et úgy, hogy
$$\lambda_1=\exp(2\pi r_1 i)$$
teljesüljön! Ekkor
$$\frac{w_1(z)}{(z-\zeta)^{r_1}}$$
a körbejáráskor nem változik, így (alkalmas $z_0$ körüli körgyűrűben) konvergens Laurent-sorba fejthető:
$$\frac{w_1(z)}{(z-\zeta)^{r_1}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n^{(1)}(z-\zeta)^n$$
Ugyanígy a multiplikatív alaprendszer másik tagjára, $w_2(z)$-re.
Tehát ilyenkor
$$w_j(z)=(z-\zeta)^{r_j}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n^{(j)}(z-\zeta)^n\;.$$
$\Rightarrow$ Második eset (egyenlő sajátértékek):
$$\begin{eqnarray}
w_1(z_0)&\rightarrow & \lambda w_1(z_0)+\nu w_2(z_0)\\
w_2(z_0)&\rightarrow & \lambda w_2(z_0)
\end{eqnarray}$$
Ebből az előbbieknek megfelelően következik, hogy
$$w_2(z)=(z-\zeta)^{r}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n^{(2)}(z-\zeta)^n\;.$$
Másrészt
$$\frac{w_1(z_0)}{w_2(z_0)}\rightarrow
\frac{w_1(z_0)}{w_2(z_0)}+\frac{\nu}{\lambda}\;.$$
Mivel pedig $$\frac{\nu}{2\pi i\lambda}\ln (z-\zeta)$$
megváltozása egy körüljáráskor szintén $\nu/\lambda$, így
$$\frac{w_1(z)}{w_2(z)}-\frac{\nu}{2\pi i\lambda}\ln
(z-\zeta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}d_n(z-\zeta)^n\;.$$
Ebből az következik, hogy az alaprendszer másik tagja
$$w_1(z)=(z-\zeta)^{r}\left(\frac{\nu}{2\pi i\lambda}\ln
(z-\zeta)\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n^{(2)}(z-\zeta)^n+\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n^{(1)}(z-\zeta)^n\right)\;.$$
Ha mindkét Laurent-sorban csak véges sok negatív hatvány fordul elő, nem lényeges
szinguláris helyről (a meghatározottság helyéről) beszélünk, egyébként
lényeges szingularitással (a meg nem határozottság helyével) van
dolgunk.
Nem lényeges szingularitás feltételei:
$$\begin{eqnarray}
w_1''+p(z)w_1'+q(z)w_1&=&0\\
w_2''+p(z)w_2'+q(z)w_2&=&0
\end{eqnarray}$$
Ebből
$$p(z)=-\frac{w_1w_2''-w_2w_1''}{w_1w_2'-w_2w_1'}=-\frac{d}{dz}\left\{\ln\left[w_2^2\frac{d}{dz}\left(\frac{w_1}{w_2}\right)\right]\right\}$$
ill.
$$q(z)=-\frac{w_2''}{w_2}-p(z)\frac{w_2'}{w_2}$$
$\Rightarrow$ A nem lényeges szingularitás helyei közelében
$$p(z)=\frac{\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\zeta)^n}{z-\zeta}$$
$$q(z)=\frac{\sum_{n=0}^\infty b_n(z-\zeta)^n}{(z-\zeta)^2}$$
$$w''+\frac{\sum_{n=0}^\infty
a_n(z-\zeta)^n}{z-\zeta}w'+\frac{\sum_{n=0}^\infty
b_n(z-\zeta)^n}{(z-\zeta)^2}w=0$$
Fuchs-féle osztály: azok a differenciálegyenletek, melyeknek minden
szinguláris helyük izolált nem lényeges szinguláris hely.
Viselkedés a végtelenben nem lényeges szingularitás esetén:
$$w''+\frac{\sum_{n=0}^\infty
a_n\left(\frac{1}{z}\right)^n}{z}w'+\frac{\sum_{n=0}^\infty
b_n\left(\frac{1}{z}\right)^n}{z^2}w=0$$