Elméleti fizika I.

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
1. hét keddi előadás Vizsgatematika

Anyagi pont kinematikája

Vonatkoztatási rendszer. Derékszögű és polárkoordináták
- Az anyagi pont fogalma
  - Ha egy test mérete a vizsgált távolságskálán elhanyagolható, anyagi pontról vagy tömegpontról beszélünk. Ésszerű absztrakció, adott pillanatban térbeli helyzete egyetlen geometriai pontnak felel meg.
  - Az elemi részek közül a leptonoknak (elektron, müon, tau) semmilyen, a mai mérési pontossággal észlelhető szerkezete nincs, ezek ma minden praktikus szempontból pontszerű részecskék.
  - Az atommagok $10^{-5}$-szer kisebbek az atomok méreténél, így az atomi méretek tartományában az atommagok pontszerűek.
  - A levegőben a molekulák közötti tipikus távolság (átlagos szabad úthossz) $100 nm$ nagyságrendű, míg a molekulák mérete néhány tized nanométer. A gázokban normál állapotban a molekulák pontszerűnek tekinthetők.
  - A kilőtt puskagolyó vagy elhajított kő mérete elhanyagolható, ha a megtett út sokkal nagyobb náluk.
  - A Nap körüli keringés során a bolygók tömegpontnak tekinthetők
  - A galaxisokban a csillagok tömegpontnak tekinthetők, mivel a közöttük lévő távolság tipikusan sokkal nagyobb, mint a csillagok átmérője.
  - Az Univerzum ma megfigyelhető legnagyobb méretskáláján (kb. 3000 megaparsec) a galaxisok pontszerűnek tekinthetők, a köztük lévő távolságok is sokkal nagyobbak, mint a galaxisok tipikus mérete (ami néhányszor tíz kiloparsec).
- Az anyagi pont adott pillanatbeli helyét valamilyen ismert objektumhoz képest kell meghatározni. Az illető objektum legtöbb fizikai jellemzője nem játszik szerepet, ettől eltekinthetünk. Ezzel az absztrakcióval jutunk a vonatkoztatási rendszer fogalmához. Még az sem szükséges, hogy a vizsgált tömegpont pályája mentén mindenütt ott legyen valamilyen fizikai objektum (a mozgás történhet vákuumban - jóllehet a vákuumnak is vannak fizikai tulajdonságai). A vonatkoztatási rendszer legtöbbször csupán képzeletbeli test, melyre "felfestve" képzeljük a koordinátavonalak hálózatát. A hely meghatározása szempontjából éppen ez a képzeletbeli hálózat a legfontosabb: a hálózat adott pontjával való egybeesés jelöli ki az anyagi pont kordinátáit.
  - A vonatkoztatási rendszert a klasszikus mechanikában merev, szilárd testekből absztraháljuk, melyeknek lényeges tulajdonsága, hogy bármely két meghatározott pontjának távolsága időben állandó. Kiderül, hogy a merev koordinátarendszerek fogalma a relativitáselméletben nem tartható fent. Az ebből eredő fizikai következmények azonban a fénysebességhez képest kis sebességek és ($c^2$-hez képest) gyenge gravitációs potenciálok esetén nem, vagy csak speciálisan érzékeny mérési technikával észlelhetők.
  - A vonatkoztatási rendszer azt is jelenti, hogy elvben valódi anyagi testekkel megvalósítható. Az érdekesség kedvéért megemlítjük, hogy a relativitáselméletben használnak olyan vonatkoztatási rendszereket is, amelyek részben nem valósíthatók meg anyagi testekkel: ilyen pl. az egyenletes szögsebességgel forgó koordinátarendszer (ennek a forgástengelytől elegendően távoli pontjai a fénysebességnél gyorsabban mozognának, ami valódi testekkel nem érhető el).
  - Nagyon kis tömegű testek esetén (molekulák, atomok, szubatomi részecskék) az anyagi pont helye általában nem adható meg egyértelműen, ehelyett annak a valószínűségi amplitudóját lehet megadni, hogy a részecske valamely pontokban tartózkodik. A mikrorészek viselkedését helyesen a kvantummechanika írja le. Bár lényeges következményei vannak a mindennapi élet szempontjából is (a kvantumelmélettel magyarázható pl. a szilárdtestek stabilitása, a tárgyak színe, a kémiai kötések és reakciók), a makroszkopikus testek mechanikájában a kvantumeffektusok elhanyagolhatóak.
- A térbeli helyzetet adott pillanatban a tapasztalat szerint három számmal (koordinátával) lehet egyértelműen megadni.
  - Derékszögű koordináták: $x$, $y$, $z$ $$s^2=x^2+y^2+z^2$$
  - Síkbeli polárkoordináták: $\rho$, $\phi$
    $\begin{eqnarray} \rho&=&\sqrt{x^2+y^2}\\ \phi&=&\arctan(y/x)\\ x&=&\rho\cos \phi\\ y&=&\rho\sin \phi \end{eqnarray}$
  - Hengerkoordináták: $\rho$, $\phi$, $z$
    $\begin{eqnarray} x&=&\rho\cos \phi\\ y&=&\rho\sin \phi\\ z&=&z \end{eqnarray}$
  - Térbeli polárkoordináták: $r$, $\theta$, $\phi$
    $\begin{eqnarray} x&=&r\sin \theta\cos \phi\\ y&=&r\sin \theta\sin \phi\\ z&=&r\cos \theta \end{eqnarray}$
  - Helyvektor: a hely koordinátafüggetlen jellemzése
    - Geometriai szempontból a helyvektor az origóból az adott ponthoz húzott irányított szakasz
    - Algebrai szempontból euklideszi tér (skaláris szorzattal ellátott lineáris tér), melyben legfeljebb három lineárisan független elem létezik
    - A három lineárisan független elem neve bázisvektor. Bármely vektor előállítható a három bázisvektor lineáris kombinációjaként. A lineáris kombináció együtthatói a vektor komponensei.
A sebesség és a gyorsulás definíciója, felbontásuk derékszögű és poláris koordinátarendszerben
Körmozgás, centripetális gyorsulás. Általános görbe vonalú mozgás: érintő és normális irányú gyorsuláskomponensek

bene@arpad.elte.hu