Elméleti fizika I.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
1. hét csütörtöki előadás
- Ismétlés
vektor:
- irányított egyenes szakasz, hossza és iránya jellemzi
- skalárszorzattal ellátott lineáris tér (euklideszi tér) eleme
- háromkomponensű mennyiség
$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\\a_z\end{array}\right)$
a komponensek a koordinátarendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak,
ahogyan a derékszögű koordináták (a helyvektor komponensei).
vektorok skalárszorzata:
- a szorzás eredménye egyetlen szám
- $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\left|\mathbf{a}\right|\cdot
\left|\mathbf{b}\right|\cdot\cos\gamma$,
ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög
- $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z$
vagy rövidebben: $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_j\cdot b_j$. Az 1, 2, 3 indexek rendre
az x, y, z komponenseket jelentik.
ortonormált bázisvektorok:
egymásra merőleges egységvektorok:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{e}_1\cdot \mathbf{e}_1&=&\mathbf{e}_2\cdot \mathbf{e}_2=\mathbf{e}_3\cdot \mathbf{e}_3=1\\
\mathbf{e}_2\cdot \mathbf{e}_3&=&\mathbf{e}_3\cdot \mathbf{e}_1=\mathbf{e}_1\cdot \mathbf{e}_2=0
\end{eqnarray}
$
Más jelöléssel: $\mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_j=\delta_{ij}$
Itt $\delta_{ij}$ a Kronecker-szimbólum, $i=j$ esetén az értéke $1$, különben
$0$.
Tetszőleges vektor előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{a}&=& a_1\cdot \mathbf{e}_1+a_2\cdot \mathbf{e}_2+a_3\cdot \mathbf{e}_3=1\\
a_1&=&\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{a}\;,\quad a_2=\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{a}\;,\quad a_3=\mathbf{e}_3\cdot\mathbf{a}
\end{eqnarray}
$
Itt $\mathbf{a}$, $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ vektorok,
$a_1$, $a_2$, $a_3$ pedig számok. Utóbbiak az $\mathbf{a}$ vektor komponensei
az $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ bázison.
vektorok vektorszorzata:
- a szorzás eredménye egy vektor
- Az $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ szorzatvektor merőleges mindkét
tényezőjére (így az $\mathbf{a}$ és $\mathbf{b}$ vektorok által kifeszített
síkra is), úgy, hogy $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ és $\mathbf{a}\times
\mathbf{b}$ ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak.
- $\left|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right|
=\left|\mathbf{a}\right|\cdot
\left|\mathbf{b}\right|\cdot\sin\gamma$,
ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög
- $\mathbf{a}\times
\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\end{array}\right)$
(2-3, 3-1, 1-2)
- A szorzatvektor $i$-edik komponense:
$\left(\mathbf{a}\times
\mathbf{b}\right)_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k$. Itt $\epsilon_{ijk}$ a
Levi-Civita-szimbólum, értéke $1$, ha az i,j,k indexek az 1,2,3 számok páros
permutációját alkotják (1,2,3 vagy 2,3,1 vagy 3,1,2), $-1$, ha páratlan permutációját
(2,1,3 vagy 1, 3, 2 vagy 3,2,1), és nulla egyébként (amikor az indexek
nem mind különbözők).
Sebesség:
pillanatnyi sebesség ("időegység alatti elmozdulás"):
$$\mathbf{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta
t}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\dot{\mathbf{r}}$$
Gyorsulás:
pillanatnyi gyorsulás ("időegység alatti sebességváltozás"):
$$\mathbf{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\mathbf{v}(t+\Delta t)-\mathbf{v}(t)}{\Delta t}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\dot{\mathbf{v}}=\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=\ddot{\mathbf{r}}$$
Többváltozós függvények differenciálása:
parciális derivált:
$$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y,z)-f(x,y,z)}{\Delta x}$$
többváltozós függvény közvetett deriválása:
$$\frac{d \;f(x(t),y(t),z(t))}{d t}=\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\dot{z}$$
ugyanis
$
\begin{eqnarray}
&&\frac{d \;f(x(t),y(t),z(t))}{d t}=\lim_{\Delta t \rightarrow
0}\frac{f(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z(t+\Delta t))-f(x(t),y(t),z(t))}{\Delta
t}\\
&=&\lim_{\Delta t \rightarrow
0}\frac{f(x(t)+\dot{x}\Delta t,y(t)+\dot{y}\Delta t,z(t)+\dot{z}\Delta t)-f(x(t),y(t),z(t))}{\Delta
t}\\
&=&\lim_{\Delta t \rightarrow
0}\frac{f(x(t)+\dot{x}\Delta t,y(t)+\dot{y}\Delta t,z(t)+\dot{z}\Delta t)-f(x(t),y(t)+\dot{y}\Delta t,z(t)+\dot{z}\Delta t)}{\dot{x}\Delta t
}\dot{x}\\
&+&\lim_{\Delta t \rightarrow
0}\frac{f(x(t),y(t)+\dot{y}\Delta t,z(t)+\dot{z}\Delta t)-f(x(t),y(t),z(t)+\dot{z}\Delta t)}{\dot{y}\Delta t
}\dot{y}\\
&+&\lim_{\Delta t \rightarrow
0}\frac{f(x(t),y(t),z(t)+\dot{z}\Delta t)-f(x(t),y(t),z(t))}{\dot{z}\Delta t
}\dot{z}
\end{eqnarray}
$
- Hely, sebesség és gyorsulás speciális koordinátarendszerekben
- derékszögű koordinátarendszer:
helyvektor:
$$\mathbf{r}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$
bázisvektorok:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{e}_x&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\right|}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\\
\mathbf{e}_y&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right|}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\\
\mathbf{e}_z&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}\right|}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)
\end{eqnarray}
$
ezzel
$$\mathbf{r}=x\mathbf{e}_x+y\mathbf{e}_y+z\mathbf{e}_z$$
sebesség:
$$\mathbf{v}=\dot{x}\mathbf{e}_x+\dot{y}\mathbf{e}_y+\dot{z}\mathbf{e}_z$$
gyorsulás:
$$\mathbf{a}=\ddot{x}\mathbf{e}_x+\ddot{y}\mathbf{e}_y+\ddot{z}\mathbf{e}_z$$
- hengerkoordináták:
helyvektor:
$$\mathbf{r}=\left(\begin{array}{c}\rho\cos\varphi\\\rho\sin\varphi\\z\end{array}\right)$$
bázisvektorok:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{e}_\rho&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \rho}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \rho}\right|}=\left(\begin{array}{c}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{array}\right)\\
\mathbf{e}_\varphi&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}\right|}=\left(\begin{array}{c}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{array}\right)\\
\mathbf{e}_z&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}\right|}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)
\end{eqnarray}
$
ezzel
$$\mathbf{r}=\rho\mathbf{e}_\rho+z\mathbf{e}_z$$
sebesség:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{v}&=&\dot{\rho}\mathbf{e}_\rho+\rho\dot{\mathbf{e}}_\rho+\dot{z}\mathbf{e}_z\\
&=&\dot{\rho}\mathbf{e}_\rho+\rho\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi+\dot{z}\mathbf{e}_z
\end{eqnarray}
$
mivel
$$\dot{\mathbf{e}}_\rho=\frac{\partial \mathbf{e}_\rho}{\partial \rho}\dot{\rho}+\frac{\partial \mathbf{e}_\rho}{\partial \varphi}\dot{\varphi}+\frac{\partial \mathbf{e}_\rho}{\partial z}\dot{z}=\left(\begin{array}{c}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{array}\right)\dot{\varphi}=\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi$$
gyorsulás:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{a}&=&\ddot{\rho}\mathbf{e}_\rho+\dot{\rho}\dot{\mathbf{e}}_\rho+\rho\ddot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi+\dot{\rho}\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi+\rho\dot{\varphi}\dot{\mathbf{e}}_\varphi+\ddot{z}\mathbf{e}_z\\
&=&\ddot{\rho}\mathbf{e}_\rho+\dot{\rho}\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi++\rho\ddot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi+\dot{\rho}\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi-\rho\dot{\varphi}^2\mathbf{e}_\rho+\ddot{z}\mathbf{e}_z\\
&=&\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2\right)\mathbf{e}_\rho+\left(\rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi}\right)\mathbf{e}_\varphi+\ddot{z}\mathbf{e}_z
\end{eqnarray}
$
mivel
$$\dot{\mathbf{e}}_\varphi=\frac{\partial \mathbf{e}_\varphi}{\partial \rho}\dot{\rho}+\frac{\partial \mathbf{e}_\varphi}{\partial \varphi}\dot{\varphi}+\frac{\partial \mathbf{e}_\varphi}{\partial z}\dot{z}=\left(\begin{array}{c}-\cos\varphi\\-\sin\varphi\\0\end{array}\right)\dot{\varphi}=-\dot{\varphi}\mathbf{e}_\rho$$
- térbeli polárkoordináták:
helyvektor:
$$\mathbf{r}=\left(\begin{array}{c}r\sin\vartheta\cos\varphi\\r\sin\vartheta\sin\varphi\\r\cos\vartheta\end{array}\right)$$
bázisvektorok:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{e}_r&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\right|}=\left(\begin{array}{c}\sin\vartheta\cos\varphi\\\sin\vartheta\sin\varphi\\\cos\vartheta\end{array}\right)\\
\mathbf{e}_\vartheta&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \vartheta}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \vartheta}\right|}=\left(\begin{array}{c}\cos\vartheta\cos\varphi\\\cos\vartheta\sin\varphi\\-\sin\vartheta\end{array}\right)\\
\mathbf{e}_\varphi&=&\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}\right|}=\left(\begin{array}{c}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{array}\right)
\end{eqnarray}
$
ezzel
$$\mathbf{r}=r\mathbf{e}_r$$
sebesség:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{v}&=&\dot{r}\mathbf{e}_r+r\dot{\mathbf{e}}_r\\
&=&\dot{r}\mathbf{e}_r+r\dot{\vartheta}\mathbf{e}_\vartheta+r\sin\vartheta\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi
\end{eqnarray}
$
mivel
$
\begin{eqnarray}
\dot{\mathbf{e}}_r=\frac{\partial \mathbf{e}_r}{\partial
\rho}\dot{\rho}+\frac{\partial \mathbf{e}_r}{\partial
\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial \mathbf{e}_r}{\partial
\varphi}\dot{\varphi}&=&\left(\begin{array}{c}\cos\vartheta\cos\varphi\\\cos\vartheta\sin\varphi\\-\sin\vartheta\end{array}\right)\dot{\vartheta}+\left(\begin{array}{c}-\sin\vartheta\sin\varphi\\\sin\vartheta\cos\varphi\\0\end{array}\right)\dot{\varphi}\\
&=&\dot{\vartheta}\mathbf{e}_\vartheta+\sin\vartheta\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi
\end{eqnarray}
$
gyorsulás:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{a}&=&\ddot{r}\mathbf{e}_r+\dot{r}\dot{\mathbf{e}}_r+\dot{r}\dot{\vartheta}\mathbf{e}_\vartheta
+r\ddot{\vartheta}\mathbf{e}_\vartheta+r\dot{\vartheta}\dot{\mathbf{e}}_\vartheta\\
&+& \dot{r}\sin\vartheta\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi+r\cos\vartheta\dot{\vartheta}\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi+
r\sin\vartheta\ddot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi+r\sin\vartheta\dot{\varphi}\dot{\mathbf{e}}_\varphi\\
&=&\left(\ddot{r}-r\dot{\vartheta}^2-r\sin^2\vartheta\dot{\varphi}^2\right)\mathbf{e}_r+\left(2\dot{r}\dot{\vartheta}+r\ddot{\vartheta}-r\sin\vartheta\cos\vartheta\dot{\varphi}^2\right)\mathbf{e}_\vartheta\\
&+&\left(2\dot{r}\sin\vartheta\dot{\varphi}+2r\cos\vartheta\dot{\vartheta}\dot{\varphi}+r\sin\vartheta\ddot{\varphi}\right)\mathbf{e}_\varphi
\end{eqnarray}
$
mivel
$
\begin{eqnarray}
\dot{\mathbf{e}}_\vartheta=\frac{\partial \mathbf{e}_\vartheta}{\partial
\rho}\dot{\rho}+\frac{\partial \mathbf{e}_\vartheta}{\partial
\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial \mathbf{e}_\vartheta}{\partial
\varphi}\dot{\varphi}&=&\left(\begin{array}{c}-\sin\vartheta\cos\varphi\\-\sin\vartheta\sin\varphi\\-\cos\vartheta\end{array}\right)\dot{\vartheta}+\left(\begin{array}{c}-\cos\vartheta\sin\varphi\\\cos\vartheta\cos\varphi\\0\end{array}\right)\dot{\varphi}\\
&=&-\dot{\vartheta}\mathbf{e}_r+\cos\vartheta\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi
\end{eqnarray}
$
és
$
\begin{eqnarray}
\dot{\mathbf{e}}_\varphi=\frac{\partial \mathbf{e}_\varphi}{\partial
\rho}\dot{\rho}+\frac{\partial \mathbf{e}_\varphi}{\partial
\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial \mathbf{e}_\varphi}{\partial
\varphi}\dot{\varphi}&=&\left(\begin{array}{c}-\cos\varphi\\-\sin\varphi\\0\end{array}\right)\dot{\varphi}\\
&=&-\sin\vartheta\dot{\varphi}\mathbf{e}_r-\cos\vartheta\dot{\varphi}\mathbf{e}_\vartheta
\end{eqnarray}
$
(Az utolsó lépésben az ortonormált bázisvektorok szerinti kifejtés képleteit
alkalmaztuk, az együtthatókat a bázisvektorokkal való skalárszorzással kapjuk.)
- Általános görbevonalú mozgás jellemzése
ívhossz:
a pályavonal mentén mért távolság
kis megváltozása a pályamenti elmozdulás nagysága:
$$ds=\left|d\mathbf{r}\right|=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$$
kísérő triéder:
érintővektor:
$$\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}$$
normálvektor:
$$\mathbf{N}=\frac{1}{\kappa}\frac{d\mathbf{T}}{ds}$$
görbület:
$$\kappa=\left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|=\frac{1}{R}$$
ahol $R$ a görbületi sugár.
binormális egységvektor:
$$\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}$$
$$\frac{d\mathbf{B}}{ds}=\underbrace{\frac{d\mathbf{T}}{ds}}_{=\kappa
\mathbf{N}}\times\mathbf{N}+\mathbf{T}\times\frac{d\mathbf{N}}{ds}=-\tau \mathbf{N}$$
torzió:
$$\tau=-\mathbf{N}\cdot\frac{d\mathbf{B}}{ds}$$
A pálya síkjának változását jellemzi.
sebesség:
$$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}\frac{ds}{dt}=v\mathbf{T}$$
Itt $v=\left|\mathbf{v}\right|$ a sebesség nagysága.
gyorsulás:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{a}&=&\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d\left(v\mathbf{T}\right)}{dt}\\
&=&\dot{v}\mathbf{T}+v\frac{d\mathbf{T}}{dt}=\dot{v}\mathbf{T}+v\frac{d\mathbf{T}}{ds}\frac{ds}{dt}\\
&=&\dot{v}\mathbf{T}+\frac{v^2}{R}\mathbf{N}
\end{eqnarray}
$
a pálya meghatározása a sebességből és a gyorsulásból:
$
\begin{eqnarray}
\mathbf{r}(t)&=&\mathbf{r}(t_0)+\int_{t_0}^t\mathbf{v}(t')dt'\\
\mathbf{v}(t)&=&\mathbf{v}(t_0)+\int_{t_0}^t\mathbf{a}(t')dt'\\
\mathbf{r}(t)&=&\mathbf{r}(t_0)+\mathbf{v}(t_0)(t-t_0)+\int_{t_0}^t\int_{t_0}^{t'}\mathbf{a}(t")dt"dt'\\
&=&\mathbf{r}(t_0)+\mathbf{v}(t_0)(t-t_0)+\int_{t_0}^t\mathbf{a}(t")(t-t")dt"
\end{eqnarray}
$
- Néhány egyszerű példa
egyenesvonalú egyenletes mozgás
egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgás
egyenletes körmozgás
harmonikus rezgőmozgás
bene@arpad.elte.hu