Elméleti fizika I.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
2. hét keddi előadás
Newton I. törvénye (tehetetlenség
törvénye)
"A magára hagyott test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez."
Ez a tehetetlenség törvénye. Hol érvényes a tehetetlenség törvénye?
Inerciarendszerben. Mi az inerciarendszer? Olyan vonatkoztatási rendszer,
melyben érvényes a tehetetlenség törvénye.
A circulus vitiosusból a kiút: van olyan vonatkoztatási rendszer, melyben
érvényes a tehetetlenség törvénye. Korlátozott távolságok és időtartamok
esetén a gravitációs térben szabadon eső testekhez rögzített
kordinátarendszerek ilyenek. Közelítőleg inerciarendszernek tekinthető a
távoli (a Tejútrendszerhez tartozó) csillagokhoz rögzített vonatkoztatási
rendszer is, vagy akár a földi koordinátarendszer (ha pl. vízszintes mozgásokat
vizsgálunk).
Megjegyzés: Az általános relativitáselmélet a természet törvényeinek olyan megfogalmazását
adja, amelyek bármely kordinátarendszerben azonos általános alakúak (kovariánsak).
Newton II. törvénye (a dinamika alaptörvénye)
$${\bf F}=m{\bf a}$$
avagy
$${\bf F}=\frac{d\; (m{\bf v})}{dt}\equiv m\frac{d^2{\bf
r}}{dt^2}\equiv m\ddot{{\bf r}}$$
A tehetetlenség törvényétől való eltérést inerciarendszerben erők jelenlétének
tulajdonítjuk.
Mi az erő? Két test kölcsönhatását jellemző olyan
fizikai mennyiség, amit a tömeg és gyorsulás szorzatával mérhetünk.
Mi a (tehetetlen) tömeg? Az erő és a gyorsulás közötti arányossági tényező,
rögzített erőhatás mellett különböző tömegek különböző gyorsulásokat
eredményeznek.
Valójában egy fizikai elmélet fogalmai összefüggéseikből kiszakítva sohasem
definiálhatók, ehelyett az elmélet hatókörébe eső tapasztalati tények
értelmezhetők az elmélet fogalmaival. Ezek kölcsönös összhangja és a
levezethető és ellenőrizhető mennyiségi kijelentések bizonyítják az elmélet
érvényességét és igazolják az elmélet fogalmi apparátusánal létjogosultságát.
Az erőt tekintjük a gyorsulás okának. Példák:
Két tömegpont közötti gravitációs erő:
$${\bf F}=G\frac{m_1 m_2 {\bf r}_{12}}{r_{12}^3}$$
Két ponttöltés között ható elektrosztatikus erő:
$${\bf F}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1 q_2 {\bf r}_{12}}{r_{12}^3}$$
Mágneses térben mozgó ponttöltésre ható erő (Lorentz-erő):
$${\bf F}=q{\bf v} \times {\bf B}$$
Rugóerő (kis megnyúlásnál):
$${\bf F}=-D{\bf r}$$
Közegellenállás (kis sebességek):
$${\bf F}=-6\pi \eta R{\bf v}$$
Közegellenállás (nagy sebességek):
$${\bf F}=-kv{\bf v}$$
A mozgásegyenletek pontrendszerre:
$$m\ddot{{\bf r}_i}=\sum_{j\ne i} {\bf F}_{ij}(\{{\bf r}_k, {\bf v}_k\})$$
$N$ számú tömegpont esetén $3N$ db másodrendű
differenciálegyenlet. Egyenletenként 2 db integrációs konstans van, melyeket a
kezdeti feltételekből lehet meghatározni. Összesen tehát $6N$ integrációs
konstans van az általános megoldásban, melyet az $N$ db kezdeti $\bf r_i(0)$
helyvektor és $N$ db $\bf v_i(0)$ kezdeti sebességvektor komponensei
határoznak meg.
Newton III. törvénye (a hatás-ellenhatás
törvénye)
Két test kölcsönhatása esetén az egyik által a másikra gyakorolt erő
ugyanolyan nagyságú és éppen ellentétes irányú, mint a másik által az
egyikre gyakorolt erő.
Münchhausen nem tudja magát kihúzni a hajánál fogva a mocsárból: az erő és az
ellenerő éppen egyenlőek.
Az erőhatások függetlensége (IV. axióma)
Az egyidejűleg ható erők vektorok módjára összegződnek.
A munkatétel
Munka (az erő szorozva az erő irányába eső elmozdulással):
$$\int_1^2 {\bf F} d{\bf r}$$
Munkatétel:
$$\int_1^2 {\bf F} d{\bf r}=\int_1^2 m \dot{\bf v}{\bf v} dt=\int_1^2 \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v^2\right) dt=\frac{1}{2}m v_2^2-\frac{1}{2}m v_1^2$$
Itt
$$\frac{1}{2}m v^2$$
a mozgási energia (kinetikus energia).
Konzervatív erőterek
A munka általában nemcsak a kezdeti és végső térbeli helyzettől, hanem a kettő
közötti pályától is függ. Fontosak azok az erőterek, ahol nincs ilyen függés:
$$\int_{L_{12}}{\bf F} d{\bf r}=\int_{L'_{12}}{\bf F} d{\bf r}$$
Példák: gravitációs tér, elektrosztatikus tér.
Potenciális energia :
$$V({\bf r})=-\int_{{\bf r}_0}^{{\bf r}}{\bf F} d{\bf r}$$
$$\Rightarrow$$
$${\bf F}=-{\rm grad}V\equiv -{\bf \nabla} V=\left(\begin{array}{c}-\frac{\partial V}{\partial
x}\\-\frac{\partial V}{\partial
y}\\-\frac{\partial V}{\partial
z}\end{array}\right)$$
Ugyanis
$$\Delta {\bf r}\cdot {\rm grad} V\approx V({\bf r}+\Delta {\bf r})-V({\bf
r})=-\int_{{\bf r}_0}^{{\bf r}+\Delta {\bf r}}{\bf F} d{\bf r}+\int_{{\bf
r}_0}^{{\bf r}}{\bf F} d{\bf r}=-\int_{{\bf
r}}^{{\bf r}+\Delta {\bf r}}{\bf F} d{\bf r}\approx -\Delta {\bf r}\cdot {\bf F}$$
Másrészt
$$\int_{L_{12}}{\bf F} d{\bf r}=\int_{L'_{12}}{\bf F} d{\bf r}$$
$$\Rightarrow$$
$$\oint_{LL'}{\bf F} d{\bf r}=0$$
Stokes tétele:
$$\oint {\bf F}\; d{\bf r}=\int {\rm rot}{\bf F}\; d{\bf A}$$
$${\rm rot}{\bf F}\equiv {\bf \nabla}\times {\bf
F}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial F_z}{\partial
y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\\\frac{\partial F_x}{\partial
z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\\\frac{\partial F_y}{\partial
x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\end{array}\right)$$
Mivel tetszőlegesen kis kontúrral határolt felületre
$$\int {\rm rot}{\bf F}\; d{\bf A}=0$$
$$\Rightarrow\quad {\rm rot}{\bf F}=0\quad\iff\quad {\bf F}=-{\rm grad}V$$
A rotációmentes tér potenciálból származtatható.
A mechanikai energia megmaradása
Konzervatív erőtérben végzett munka:
$$\int_1^2 {\bf F} d{\bf r}=\int_0^2 {\bf F} d{\bf r}-\int_0^1 {\bf F} d{\bf
r}=-V({\bf r}_2)+V({\bf r}_1)$$
A munkatétel szerint tehát
$$-V({\bf r}_2)+V({\bf r}_1)=\frac{1}{2}m v_2^2-\frac{1}{2}m v_1^2$$
azaz
$$\frac{1}{2}m v_1^2+V({\bf r}_1)=\frac{1}{2}m v_2^2+V({\bf r}_2)$$
A mechanikai energia, azaz a mozgási energia és a potenciális energia
összege megmarad.
$$\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v^2+V({\bf
r})\right)=m{\bf v}\dot{{\bf v}}+\dot{{\bf r}}{\bf \nabla}V={\bf v}\left(m\dot{{\bf v}}-{\bf F}\right)=0$$
Megjegyzés: az energia megmaradása az időeltolási invariancia (szimmetria)
következménye.
Galilei-invariancia: a mechanika egyenletei (csak koordinátáktól függő
erők esetén) változatlan alakban érvényesek különböző (pl. egymáshoz képest
állandó sebességgel mozgó) inerciarendszerekben.
bene@arpad.elte.hu