tovább fel vissza

Elméleti fizika I.

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
2. hét csütörtöki előadás

Egyenes menti (egydimenziós) mozgások

Mozgásegyenlet: $$m\ddot{x}=-\frac{dV}{dx}$$ Energia megmaradása (a mozgásegyenlet első integrálja): $$E=\frac{m}{2}\dot{x}^2+V(x)={\rm állandó}$$ $$\Rightarrow\quad V(x)\le E$$
1. ábra. Tömegpont mozgása egydimenziós potenciálban. A $E_1$ energiájú mozgás nem valósulhat meg, az $E_2$ energiájú mozgás korlátos (két fordulópont, lilával), az $E_3$ energiájú mozgás félvégtelen (egy fordulópont).
$$\dot{x}=\pm \sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(x)\right)}$$ A két lehetséges előjel a mozgás megfordíthatóságát (időtükrözési szimmetria) fejezi ki.
Változók szétválasztása: $$dt=\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(x)\right)}}$$ Integrálás: $$t-t_0=\int_{x_0}^x\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(x)\right)}}$$ Itt $t_0$ integrációs állandó.
Korlátos mozgás periódusideje: $$T=2\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(x)\right)}}=\sqrt{2m}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}$$
Harmonikus rezgőmozgás
$$F=-Dx\quad \Rightarrow \quad V(x)=\frac{1}{2}Dx^2$$ $$T=\sqrt{2m}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{E-\frac{1}{2}Dx^2}}=\sqrt{\frac{2m}{E}}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{D}{2E}x^2}}$$ Fordulópontok (v.ö. amplitudó): $$x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{2E}{D}}$$ Új változó bevezetése: $$\xi=\sqrt{\frac{D}{2E}}x$$ Ezzel $$T=\sqrt{\frac{2m}{E}}\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{\frac{2E}{D}}d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}=2\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{-1}^{1}\frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}$$ Még egy új változó: $$\xi=\sin\varphi$$ $$d\xi=\cos\varphi d\varphi$$ Ezzel $$T=2\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos\varphi d\varphi}{\cos\varphi}=2\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$$ $$\Rightarrow \quad \omega\equiv\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{D}{m}}\quad\Rightarrow \quad D=m\omega^2$$ A mozgásegyenlet megoldása ($x(t)$ meghatározása): $$t=t_0+\sqrt{\frac{m}{2E}}\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{D}{2E}x^2}}$$ Változócserék (mint fent): $$t=t_0+ \sqrt{\frac{m}{D}}\int_{0}^{x\sqrt{D/(2E)}}\frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}$$ $$t=t_0+\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{0}^{\arcsin\left(x\sqrt{D/(2E)}\right)}d\varphi$$ azaz $$t=t_0+\sqrt{\frac{m}{D}}\arcsin\left(x\sqrt{\frac{D}{2E}}\right)$$ $$\Rightarrow x=\sqrt{\frac{2E}{D}}\sin\left(\sqrt{\frac{D}{m}}(t-t_0)\right)=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}\sin\left(\omega(t-t_0)\right)=A\cos(\omega t -\delta)$$ amplitudó: $$A=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}$$ fázis: $$\delta=\omega t_0+\frac{\pi}{2}$$ Az $$\ddot{x}=-\omega^2 x$$ mozgásegyenlet általános megoldása: $$x=a\cos\omega t +b\sin\omega t$$ ebből $$\dot{x}=-a\omega\sin\omega t+b\omega\cos\omega t$$ Az $a$ és $b$ integrációs állandók a kezdeti $x_0$ hellyel és $v_0$ sebességgel fejezhetők ki, mivel $t=0$ esetén $$x_0=a\;,\quad v_0=b\omega$$ Ezzel $$x=x_0\cos\omega t +\frac{v_0}{\omega}\sin\omega t$$ ill. $$\dot{x}=v_0\cos\omega t - x_0\omega\sin\omega t$$ Másrészt $$x=A\cos(\omega t-\delta)=A\cos\delta\cos\omega t+A\sin\delta\sin\omega t$$ Tehát $$A\cos\delta=x_0$$ és $$A\sin\delta=\frac{v_0}{\omega}$$ Ebből $$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}$$ és $$\tan\delta=\frac{v_0}{x_0 \omega}$$ Mechanikai energia: $$E=\frac{1}{2}m v_0^2+\frac{1}{2}m \omega^2 x_0^2$$

Csillapított harmonikus rezgőmozgás
$$m\ddot{x}=-Dx-k\dot{x}$$ vagy $$\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^2x=0$$ Itt $\alpha=\frac{k}{2m}$ és $\omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}$. Keressük a megoldást exponenciális alakban, azaz tegyük fel, hogy $$x=A{\rm e}^{\kappa t}$$ Azt kapjuk, hogy $$\kappa^2+2\alpha\kappa+\omega_0^2=0$$ Tehát $$\kappa=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$$
tovább fel vissza
bene@arpad.elte.hu