Kúpszeletek
Kúpfelület $u$, $v$, $w$ derékszögű koordinátákban:
$$u^2+v^2=(w-w_0)^2\tan^2\alpha$$
Itt $\alpha$ a kúp félnyílásszöge.
A $v$ tengelyen átfektetett, a $w$-tengellyel $\beta$ szöget bezáró szelősík
egyenlete
$$u=w\tan\beta$$
A kúppalást és a sík metszésvonala olyan pontokból áll, melyeknek koordinátái
mindkét egyenletnek eleget tesznek.
A szelősík derékszögű koordinátái legyenek
$\begin{eqnarray}
x&=& \frac{u}{\sin\beta}+d\\
y&=& v
\end{eqnarray}$
Itt $d$ valamilyen állandó, melyet úgy választunk, hogy a kúpszeletek
egyenleteinek megszokott alakjához jussunk (ld. alább).
A fentiekből a kúpszeletek egyenlete
$$(x-d)^2\sin^2\beta+y^2=\left((x-d)\cos\beta-w_0\right)^2\tan^2\alpha$$
Átrendezve:
$$(x-d)^2\cos^2\beta\left(\tan^2\beta-\tan^2\alpha\right)+y^2=-2 w_0 x\cos\beta\tan^2\alpha+w_0\left(2 d\cos\beta+w_0\right)\tan^2\alpha$$
- Ha $\beta=\alpha$, akkor az $x$-ben négyzetes tag eltűnik, és
$d=-w_0/2/\cos\beta$ választással
$$y^2=-2 w_0 \cos\alpha\tan^2\alpha \cdot x$$
adódik: parabola
- Ha $\beta\ne\alpha$, akkor
$$d=\frac{w_0}{\cos\beta}\frac{\tan^2\alpha}{\tan^2\beta-\tan^2\alpha}$$
választással az $x$-ben lineáris tagok eltűnnek, marad:
$$x^2\cos^2\beta\left(\tan^2\beta-\tan^2\alpha\right)+y^2=w_0^2\frac{\tan^2\beta\tan^2\alpha}{\tan^2\beta-\tan^2\alpha}$$
- Ha $\beta>\alpha$, akkor az egyenlet
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
alakra hozható (ellipszis), ahol
$$a=\frac{w_0}{\cos\beta}\frac{\tan\beta\tan\alpha}{\tan^2\beta-\tan^2\alpha}$$
és
$$b=w_0\frac{\tan\beta\tan\alpha}{\sqrt{\tan^2\beta-\tan^2\alpha}}$$
- Ha $\beta<\alpha$, akkor az egyenlet
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
alakra hozható (hiperbola), ahol
$$a=\frac{w_0}{\cos\beta}\frac{\tan\beta\tan\alpha}{\tan^2\alpha-\tan^2\beta}$$
és
$$b=w_0\frac{\tan\beta\tan\alpha}{\sqrt{\tan^2\alpha-\tan^2\beta}}$$
A kúpszeletek síkgeometriai definíciója
A direktrix és a fókusz távolsága legyen $d$. Ekkor
$$d=\frac{r}{\epsilon}+r\cos\varphi\;,$$
amiből $p=d\epsilon$ jelöléssel
$$r=\frac{p}{1+\epsilon\cos\varphi}$$
A $p$ paraméter szemléletes jelentése innen leolvasható: $\varphi=\pi/2$
esetén $r=p$, tehát $p$ a kúpszelet félszélessége a szimmetriatengelyre
merőlegesen a fókuszpont magasságában.
A kúpszeletek polárkoordinátás és Descartes-koordinátás alakja közötti
kapcsolat:
Legyen $$x=r\cos\varphi+s\;,$$
ahol $s$ valamilyen állandó eltolás,
valamint
$$y=r\sin\varphi\;.$$
Ekkor
$$r(1+\epsilon\cos\varphi)=p$$
átírható
$$r=p-\epsilon (x-s)$$
alakra, majd négyzetre emeléssel
$$(x-s)^2+y^2=p^2-2 p\epsilon (x-s) +\epsilon^2 (x-s)^2$$
adódik.
- Ha $\epsilon=1$, akkor az $x$-ben négyzetes tagok kiesnek, és
$s=-p/2$ választással
$$y^2=-2px$$
alakban parabola egyenletét kapjuk (a negatív előjel az $x$-tengely ellentétes
irányítása esetén nem lép fel).
- Ha $\epsilon\ne 1$, akkor $$s=\frac{p\epsilon}{1-\epsilon^2}$$
választással az $x$-ben lineáris tagok kiesnek, marad
$$(1-\epsilon^2)x^2+y^2=\frac{p^2}{1-\epsilon^2}$$
- Ha $\epsilon<1$, akkor a fenti egyenletből
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
következik (ellipszis), ahol
$$a=\frac{p}{1-\epsilon^2}$$
a nagytengely és $$b=\frac{p}{\sqrt{1-\epsilon^2}}$$
a kistengely.
- Ha $\epsilon>1$, akkor
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
következik (hiperbola), ahol
$$a=\frac{p}{\epsilon^2-1}$$
és $$b=\frac{p}{\sqrt{\epsilon^2-1}}\;.$$
bene@arpad.elte.hu