A $\Lambda$CDM modell (concordance-modell), avagy a mérések értelmezése a homogén, izotrop Friedmann-modell keretei között

• Friedmann-modell: a tér homogén és izotrop $$ds^2=c^2dt^2-a(t)^2\left(\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\vartheta^2+r^2\sin\vartheta^2d\varphi^2\right)$$ Ezt az $$R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R=g_{ik}\Lambda+\frac{8\pi G}{c^4}T_{ik}$$ Einstein-egyenletekbe beírva kapjuk a Friedmann-egyenleteket: $$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2+\frac{k c^2}{a^2}=\frac{\Lambda c^2}{3}+\frac{8\pi G}{3}\rho$$ $$2\frac{\ddot a}{a}+\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2+\frac{k c^2}{a^2}=\Lambda c^2-\frac{8\pi G}{c^2}p$$ feltéve, hogy $$T_{ik}=(p+\rho c^2)u_iu_k-pg_{ik}\;,\quad u_i=\delta_{i0}$$
  Ha az első Friedmann-egyenlet deriváltját véve kiküszöböljük $\ddot a$-t (alternatív lehetőség: az Einstein-egyenletekből következő $T^{ik}_{\phantom{ik};k}=0$ divergenciaegyenletet írjuk fel): $$\frac{d\rho}{da}=-\frac{3}{a}\left(\rho+\frac{p}{c^2}\right)$$ A $p(\rho)$ állapotegyenlet ismeretében ekkor a $\rho(a)$ függés meghatározható.
  Legyen $$\frac{p}{c^2}=w\rho\;,$$ ahol $w$ állandó. A divergenciaegyenletből $$\rho\propto a^{-3(w+1)}$$ adódik.
  Speciális esetek:

  Anyagtípus	Állapotegyenlet	$w$	Sűrűség függése a skálafaktortól
  Nemrelativisztikus anyag	$p=0$	$0$	$1/a^3$
  Sugárzás	$p/c^2=\rho/3$	$1/3$	$1/a^4$
  Görbület	$p/c^2=-\rho/3$	$-1/3$	$1/a^2$
  Kozmológiai állandó	$p/c^2=-\rho$	$-1$	$1$

  
  Az első Friedmann-egyenlet felírható úgy is, hogy $$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\left(\rho_m+\rho_k+\rho_\Lambda\right)\;,$$ ahol $$\rho_k=-\frac{3}{8\pi G}\frac{k c^2}{a^2}$$ $$\rho_\Lambda=\frac{\Lambda c^2}{8\pi G}$$ Ha bevezetjük a $$H=\frac{\dot a}{a}$$ Hubble-paramétert, a $$\rho_c=\frac{3H^2}{8\pi G}$$ kritikus sűrűséget, valamint a $$\Omega_m=\rho_m/\rho_c\;,\quad \Omega_k=\rho_k/\rho_c\;,\quad \Omega_\Lambda=\rho_\Lambda/\rho_c\quad $$ arányokat, akkor végül $$\Omega_m+\Omega_k+\Omega_\Lambda=1$$ írható.
  A skálafaktor időfüggése (ha egy anyagtípus dominál): $$a\propto t^{2/3/(w+1)}$$ Speciális esetek:

  Domináns anyagtípus	$w$	Skálafaktor időfüggése
  Nemrelativisztikus anyag	$0$	$t^{2/3}$
  Sugárzás	$1/3$	$t^{1/2}$
  Görbület	$-1/3$	$t$
  Kozmológiai állandó	$-1$	$\exp\left(\sqrt{\frac{\Lambda }{3}}c t\right)$

  
  Vöröseltolódás: $$z=\delta \lambda/\lambda=a(t_0)/a(t)-1$$
• A kozmológiai paraméterek értéke (Hinshaw et. al., 2008)
  
  A görbület járuléka: $-0.0175<\Omega_k < 0.0085$ $\Rightarrow$ sík Univerzum.
  
  
• A modell előnyei és hátrányai
  • Három független méréssel konzisztens
  • Nagy pontossággal illeszthetők a paraméterei
  • Összhangban van az inflációs modellekkel
  • 72+23=95% ismeretlen anyagfajta
• A kozmológiai állandó története
  • Einstein bevezeti a sztatikus megoldás érdekében (1917): $$\frac{k c^2}{a^2}=\frac{\Lambda c^2}{3}+\frac{8\pi G}{3}\rho$$ $$\frac{k c^2}{a^2}=\Lambda c^2$$ $$\Downarrow$$ $$\Lambda =\frac{4\pi G}{c^2}\rho\;,\quad k=1\;,\quad a=\frac{c}{\sqrt{4\pi G\rho}}$$ Zárt, sztatikus univerzum kozmológiai állandóval.
    
    Instabilitás: a Friedmann-egyenleteket $$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2+\frac{k c^2}{a^2}=\frac{\Lambda c^2}{3}+\frac{8\pi G}{3}\rho$$ $$2\frac{\ddot a}{a}+\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2+\frac{k c^2}{a^2}=\Lambda c^2$$ a sztatikus megoldás körül linearizálva adódik, hogy $$\delta\ddot a=\Lambda c^2\delta a$$
  • Hubble felfedezi az Univerzum tágulását (Hubble-törvény, 1929). $\Rightarrow$ Einstein visszavonja a kozmológiai állandót
  • A Hubble-paraméter korabeli értéke alapján 2 milliárd év adódik az univerzum korára, noha ismert, hogy a Föld legalább négymilliárd éves $\Rightarrow$ Újra felmerül a kozmológiai állandó szükségessége
  • A pontosabb mérések alapján az univerzum korára jóval nagyobb értékek adódnak kozmológiai állandó nélkül is $\Rightarrow$ A kozmológiai állandót elvetik
  • Felfedezik az Univerzum gyorsuló tágulását $\Rightarrow$ A kozmológiai állandó ismét bevezetésre kerül.