Ljapunov-exponens

$$\delta x_t\propto {\rm e}^{\lambda t}$$

Általában $\bm x(t)$ vektor, ekkor

$$\delta \bm x(t)=\bm M(t)\delta \bm x(0)$$

$\bm M(t)$: Jacobi-mátrix.

$$\lambda=\lim_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t}\ln\left\vert\bm M(t)\delta \bm x(0)\right\vert$$

Másképpen $\lambda$ az $\bm M(t)$ mátrix legnagyobb abszolút értékű $m(t)$ sajátértékével fejezhető ki:

$$\lambda=\lim_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t}\ln\left\vert m(t)\right\vert$$

Ljapunov-spektrum (ugyanez minden sajátértékre).

Diszkrét esetben (leképezés):

$$\bm M(t)=\prod_{k=0}^{t-1}\bm{DF}(\bm x(k))$$

$$\lambda=\lim_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t}\ln\left\vert\prod_{k=0}^{t-1}\bm{DF}(\bm x(k))\delta\bm x(0)\right\vert$$

1D esetben:

$$\lambda=\lim_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t}\sum_{k=0}^{t-1}\ln\left\vert f'(x_k)\right\vert$$