Bevezetés

Az egydimenziós leképezés diszkrét iteráció, amely az $x_0$, $x_1$, $x_2$ ... számsorozat képzési szabályát adja meg úgy, hogy minden elem egyértelműen meghatározza a rákövetkezőt:

$$x_{n+1}=f(r,x_n)$$

Itt $f(r,x)$ a leképező függvény, $r$ a leképezés kontrollparamétere. Néhány tipikus példa:

$$f(r,x)=rx(1-x)$$

logisztikus leképezés,

$$f(r,x)=r\vert 1-2x\vert$$

háztető-leképezés. Megjegyzendő, hogy kaotikus viselkedést csak nem invertálható leképezés esetén kaphatunk (mint amilyenek a fenti példák is).

Mint láttuk, egydimenziós leképezést kaphatunk differenciálegyenletekkel leírható fizikai rendszerek Poincaré-leképezéseként a végtelen erős disszipáció határesetében. Vannak egyéb (kémiai, biológiai, ökológiai, közgazdaságtani stb.) rendszerek, melyek leírására közvetlen megfontolásokkal vezethető le egydimenziós leképezés.

Az iteráció viselkedése adott, nem invertálható leképezés esetében (a kezdőpont mellett) a kontrollparaméter értékétől is függ. A kezdeti tranziensek eltűnése után ábrázolt trajektóriák a kontrollparaméter függvényében ilyen képet mutatnak:

Ábra: A logisztikus leképezés trajektóriáinak függése a kontrollparamétertől.

Az ábrán jellegzetes, sőt a konkrét leképezés részleteitől független, univerzális szabályszerűségek fedezhetők fel. Ezek megértése az előadás egyik célja.

Az egydimenziós leképezések jelentik a kaotikus rendszerek legegyszerűbb fajtáját. Számos kaotikus rendszerekben előforduló jelenség illusztrálható segítségükkel, így segítséget nyújtanak olyan bonyolultabb rendszerek megértésében, melyek a valóság pontosabb modelljei.