Káosz konzervatív rendszerekben

Standard leképezés

• Hamilton-egyenletek, Liouville tétele
  
  $$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$$
  
  
  
  
  $$\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$
  
  
  Itt $H=H(\{p_i,q_i\})$ az energia az impulzusok és a koordináták függvényeként (Hamilton-függvény). Kapcsolat a Lagrange-függvénnyel:
  
  $$H\{p_i,q_i\})=\sum_i p_i\;\dot q_i-L(\{q_i,\dot q_i\})$$
  
  
  
  
  $$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$$
  
  

• Integrálható rendszerek, hatás- és szögváltozók, Hamilton-Jacobi-egyenlet
• Perturbációszámítás, kis nevezők problémája
• Stabil tóruszok, Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) tétel
• Instabil tóruszok, Poincaré-Birkhoff-tétel
• Homoklinikus pontok, káosz
• Kettőnél több szabadsági fokú rendszerek, Arnold-diffúzió
• Erősen irreguláris mozgás, ergodikus tulajdonságok
  • Poincaré visszatérési tétele:

    $\forall$ $\epsilon$-hoz $\exists$ $T_\epsilon$ úgy, hogy valamely $t\in[0,T_\epsilon]$ esetén a konzervatív rendszer visszatér a kezdeti feltétel $\epsilon$ sugarú környezetébe.

  • Birkhoff-Hincsin-féle ergodtétel:

    Majdnem minden $x_0$ kezdeti feltétel esetén létezik a
    

    $$\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_0^T dt f(x(t))$$
    
    
    időátlag.

    ...és értéke általában függ a kezdeti feltételtől.

  • Ergodicitás
  • Keverés
  • K-rendszer