előző	fel	következő

Differenciálegyenletek a fizikában II.

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

5. Előadás

Sajátértékek és oszcillációs tételek
$$y''+\rho(x)y=0$$ Az $y(x)$ megoldás zérushelyein $y'\ne 0$.
Az $y(x)$ megoldás zérushelyei nem torlódhatnak.
Tétel:

Legyen $$y''+\rho(x)y=0\quad\text{és}\quad z''+\sigma(x)z=0$$ ahol $$\rho(x)\ge\sigma(x)$$ valamilyen $x\in [\alpha,\beta]$ intervallumban. Legyen továbbá $$y(x_0)=z(x_0)=0\;,$$ ahol $$x_0\in [\alpha,\beta]\;.$$ Legyenek az $y(x)$ függvény gyökei $\eta_0,\;\eta_1,\;\eta_2,\;\dots \eta_m$, melyekre $$\eta_0=x_0<\eta_1<\eta_2<\dots \eta_m\le \beta\;.$$ Hasonlóan, legyenek a $z(x)$ függvény gyökei $\xi_0,\;\xi_1,\;\xi_2,\;\dots \xi_n$, melyekre $$\xi_0=x_0<\xi_1<\xi_2<\dots \xi_n\le \beta\;.$$ Ekkor $$n\le m$$ és $$\eta_k\le\xi_k\quad \forall\; 0\le k\le n\;\text{esetén.}$$

Oszcillációs tétel:

$$y''+(q(x)+\lambda p(x))y=0$$ Ha $p(x)>0$ és $q(x)$ az $[a,b]$ intervallumban folytonos függvények, akkor létezik olyan $\lambda_1,\;\lambda_2,\;\lambda_3,\dots$ számsorozat, melyre:

• $\lambda_k$-k az első peremérték-feladathoz tartozó sajátértékek
• $\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3\dots$, és $\lim_{k\rightarrow \infty} \lambda_k=\infty$.
• Az egyenlet $x=a$ esetén eltűnő megoldásának az $[a,b]$ intervallum belsejében $\lambda\le \lambda_1$ esetén nincs zérushelye, $\lambda_n<\lambda\le \lambda_{n+1}$ esetén pedig pontosan $n$ zérushelye van.

Oszcillációs tételek a második és harmadik peremérték-feladat esetére:

$$y''+(q(x)+\lambda p(x))y=0$$ Ha az első peremérték-feladat sajátértékei $\lambda_1,\;\lambda_2,\;\lambda_3,\dots$, a harmadik peremérték-feladat sajátértékei pedig $\nu_1,\;\nu_2,\;\nu_3,\dots$, akkor vagy $$\lambda_1<\nu_1<\lambda_2<\nu_2<\lambda_3<\nu_3\dots\;,$$ vagy $$\nu_1<\lambda_1<\nu_2<\lambda_2<\nu_3<\lambda_3<\dots\;.$$ A $\lambda_k$-hoz és $\nu_k$-hoz tartozó sajátfüggvények zérushelyei szétválasztják egymást.

Általános lineáris peremfeltételek esetén, ha a sajátértékek valósságát biztosító feltétel teljesül, annyi állítható, hogy a probléma pontosan egy sajátértéke található a harmadik peremérték-feladat bármely két szomszédos sajátértéke között.

Következmény:

Ha az $$y''+(q(x)+\lambda p(x))y=0$$ egyenlet első (vagy második, vagy harmadik) peremérték-feladathoz tartozó sajátértékei $\lambda_1,\;\lambda_2,\;\lambda_3,\dots$, és $$a<\xi_1<\xi_2<\dots<\xi_{n-1}< b$$ a $\lambda_n$-hez tartozó $y(x)$ megoldás (sajátfüggvény) zérushelyei, továbbá $$\eta_0=a<\eta_1<\eta_2<\dots<\eta_{n}< b$$ a $\lambda_{n+1}$-hez tartozó $y(x)$ megoldás zérushelyei, akkor $$\eta_k<\xi_k<\eta_{k+1}\quad \forall\;0< k< n\;\text{esetén.}$$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n}\quad\text{konvergens.}$$
A sajátértékek multiplicitásáról: az első három peremérték-feladat sajátértékei egyszeresek.

Példa kétszeres sajátértékekre más lineáris peremértékek-feladat esetén: $$y''+\lambda y=0\;,\quad y(a)=y(b)\;,\quad y'(a)=y'(b)$$ Az általános megoldás $$\alpha\sin\left(\sqrt\lambda (x-a)\right)+\beta\cos\left(\sqrt\lambda (x-a)\right)$$ alakba írható. Az egyik peremfeltételből ($y(a)=y(b)$) $$\beta=\alpha\sin\left(\sqrt\lambda (b-a)\right)+\beta\cos\left(\sqrt\lambda (b-a)\right)\;,$$ a másikból ($ y'(a)=y'(b)$) $$\alpha\sqrt\lambda=\alpha\sqrt\lambda\cos\left(\sqrt\lambda (b-a)\right)-\beta\sqrt\lambda\sin\left(\sqrt\lambda (b-a)\right)$$ adódik. Mátrixalakban: $$\left(\begin{array}{ll}\sin\left(\sqrt\lambda (b-a)\right) & \left[\cos\left(\sqrt\lambda (b-a)\right)-1\right] \\ \sqrt\lambda\left[\cos\left(\sqrt\lambda (b-a)\right)-1\right]& -\sqrt\lambda\sin\left(\sqrt\lambda (b-a)\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\alpha\phantom{\left(\sqrt\lambda\right)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ \beta\phantom{\left(\sqrt\lambda\right)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{array}\right)=0$$ A megoldhatóság feltétele az együtthatómátrix determinánsának eltűnése, azaz $$-\sqrt\lambda\sin^2\left(\sqrt\lambda (b-a)\right)-\sqrt\lambda\left[\cos\left(\sqrt\lambda (b-a)\right)-1\right]^2=-4\sqrt\lambda\sin^2\left(\frac{1}{2}\sqrt\lambda (b-a)\right)=0$$ Ez $$\frac{1}{2}\sqrt\lambda (b-a)=n\pi$$ azaz $$\lambda=\frac{4\pi^2}{(b-a)^2}n^2$$ esetén teljesül, ahol $n$ egész szám. Ekkor viszont minden mátrixelem eltűnik, tehát tetszőleges $\alpha$, $\beta$ esetén is a határfeltételeknek eleget tevő megoldást kapunk. A fenti $\lambda$ sajátértékhez tartozó két lineárisan független sajátfüggvény $$\sin\left(2n\pi\frac{x-a}{b-a}\right)\quad\text{és}\quad \cos\left(2n\pi\frac{x-a}{b-a}\right)\;.$$ A fenti egyszerű egyenlet esetében ellenőrizhetők az oszcillációs tételek állításai különböző peremfeltételek esetén.

Green-függvények

Az $$y''+r(x)y'+(q(x)+\lambda p(x))y=\psi(x)$$ inhomogén egyenlet megoldása az első peremfeltétel esetén:
Legyenek $y_1(x)$ és $y_2(x)$ a homogén egyenlet olyan megoldásai, melyekre $$y_1(a)=y_2(b)=0$$ és $$y_1'(a)=y_2'(b)=1$$ Ekkor az inhomogén egyenlet első peremérték-feladathoz tartozó megoldása $$y=\int_a^b G(x,\xi) \psi(\xi)d\xi$$ ahol $$G(x,\xi)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y_2(x)y_1(\xi)}{y_1(\xi)y_2'(\xi)-y_1'(\xi)y_2(\xi)}&\text{ha}\quad a < \xi < x\\\frac{y_1(x)y_2(\xi)}{y_1(\xi)y_2'(\xi)-y_1'(\xi)y_2(\xi)}&\text{ha}\quad x <\xi< b\end{array}\right.$$ a Green-függvény.

Példa: $$x^2\left(\ln x -1\right)y''-xy'+y=\left(x\ln x -x\right)^2$$ megoldása $$y(1)=y(2)=0$$ peremfeltételekkel.

• A fentiek alkalmazásához írjuk az egyenletet $$y''-\frac{1}{x\left(\ln x -1\right)}y'+\frac{1}{x^2\left(\ln x -1\right)}y=\ln x -1$$ alakba!
• Korábban láttuk, hogy $$x$$ és $$\ln x$$ a homogén egyenlet alaprendszerét alkotják. Ebből olyan alaprendszert képezünk, amelynek tagjai az $$\begin{eqnarray} y_1(1)&=&0\;,\quad y_1'(1)=1\\ y_2(2)&=&0\;,\quad y_2'(2)=1 \end{eqnarray}$$ feltételeknek tesznek eleget. Egyszerű számolással kapjuk, hogy $$y_1=\ln x$$ és $$y_2=\frac{x \ln 2-2\ln x}{\ln 2 -1}$$
• Wronsky-determináns: $$W=y_1(y)y_2'(x)-y_2(x)y_1'(x)=\frac{\ln 2}{\ln 2 -1}\left(\ln x -1\right)$$
• Green-függvény: $$G(x,\xi)=\left\{\begin{array}{ll} \left(x -\frac{2}{\ln 2}\ln x\right) \ln\xi \left(\ln \xi -1\right)^{-1} & \text{ha}\quad 1< \xi < x\\ \ln x\left(\xi -\frac{2}{\ln 2}\ln \xi\right)\left(\ln \xi -1\right)^{-1} & \text{ha}\quad x< \xi < 2\end{array}\right.$$
• A peremfeltételeknek eleget tevő megoldás $$\begin{eqnarray} y(x)&=&\left(x -\frac{2}{\ln 2}\ln x\right)\int_1^x \ln\xi\; d\xi +\ln x\int_x^2 \left(\xi -\frac{2}{\ln 2}\ln \xi\right)d\xi\\ &=&\left(x -\frac{2}{\ln 2}\ln x\right)(x\ln x -x +1)+\ln x\left(2-\frac{x^2}{2}+\frac{2}{\ln 2}(x\ln x - x -2\ln 2 +2)\right)\\ &=&\frac{1}{2}x^2\ln x-2\left(1-\frac{1}{\ln 2}\right)\ln x -x^2+x \end{eqnarray}$$

  előző	fel	következő