előző	fel	következő

Differenciálegyenletek a fizikában II.

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A

6. Előadás

Green-függvények (folytatás)

Az $$y''+f(x)y'+(q(x)+\lambda p(x))y=\psi(x)$$ inhomogén egyenlet adott peremfeltételekhez tartozó megoldását keressük.
A $G(x,\xi)$ Green-függvényt az a tulajdonsága definiálja, hogy az inhomogén egyenlet adott homogén peremfeltételekhez tartozó megoldása $$y=\int_a^b G(x,\xi) \psi(\xi)d\xi$$ alakban írható fel tetszőleges $\psi(x)$ inhomogén rész esetén. Megköveteljük továbbá, hogy $$\lim_{\xi \rightarrow x-0} G(x,\xi)=\lim_{\xi \rightarrow x+0} G(x,\xi)$$ és $$\lim_{\xi \rightarrow x-0} \frac{\partial G(x,\xi)}{\partial x}-\lim_{\xi \rightarrow x+0} \frac{\partial G(x,\xi)}{\partial x}=1\;.$$ Ekkor ugyanis $$y'=\frac{d}{dx}\left(\int_a^x G(x,\xi)\psi(\xi)d\xi +\int_x^b G(x,\xi)\psi(\xi)d\xi \right)=\underbrace{G(x,x-0)\psi(x)-G(x,x+0)\psi(x)}_{=0}+\int_a^x \frac{\partial G(x,\xi)}{\partial x}\psi(\xi)d\xi +\int_x^b \frac{\partial G(x,\xi)}{\partial x}\psi(\xi)d\xi$$ és $$y''=\underbrace{\frac{\partial G(x,x-0)}{\partial x}\psi(x)-\frac{\partial G(x,x+0)}{\partial x}\psi(x)}_{=\psi(x)}+\int_a^x \frac{\partial^2 G(x,\xi)}{\partial x^2}\psi(\xi)d\xi +\int_x^b \frac{\partial^2 G(x,\xi)}{\partial x^2}\psi(\xi)d\xi$$ Ezeket az egyenletbe téve kapjuk: $$\int_a^x \left[\frac{\partial^2 G(x,\xi)}{\partial x^2}+f(x)\frac{\partial G(x,\xi)}{\partial x} +(q(x)+\lambda p(x))G(x,\xi)\right]\psi(\xi)d\xi +\int_x^b \left[\frac{\partial^2 G(x,\xi)}{\partial x^2}+f(x)\frac{\partial G(x,\xi)}{\partial x} +(q(x)+\lambda p(x))G(x,\xi)\right] \psi(\xi)d\xi=0$$ Ha tehát $G(x,\xi)$ rögzített $\xi$-re mind $a< \xi< x$, mind $x< \xi< b$ esetén kielégíti az egyenlet homogén részét, akkor $\int_a^b G(x,\xi) \psi(\xi)d\xi$ csakugyan megoldása az inhomogén egyenletnek.
Ha $y_1(x)$ és $y_2(x)$ a homogén egyenlet alaprendszerét alkotják, akkor $$G(x,\xi)=\left\{\begin{array}{ll}c_1(\xi)y_1(x)+k_1(\xi)y_2(x)&\text{ha}\quad a< \xi < x\\ c_2(\xi)y_1(x)+k_2(\xi)y_2(x)&\text{ha}\quad x < \xi < b \end{array}\right. $$ Az $c_1(\xi)$, $c_2(\xi)$, $k_1(\xi)$, $k_2(\xi)$ együtthatókat a $G(x,\xi)$-re kirótt két feltétel és a két peremfeltétel határozza meg. A $G(x,\xi)$-re kirótt két feltételből: $$c_1(\xi)y_1(\xi)+k_1(\xi)y_2(\xi)=c_2(\xi)y_1(\xi)+k_2(\xi)y_2(\xi)$$ és $$\left[c_1(\xi)y_1'(\xi)+k_1(\xi)y_2'(\xi)\right]-\left[c_2(\xi)y_1'(\xi)+k_2(\xi)y_2'(\xi)\right]=1$$ azaz $$\left(\begin{array}{ll}y_1(\xi)& y_2(\xi)\\ y_1'(\xi)& y_2'(\xi)\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_1(\xi)-c_2(\xi)\\k_1(\xi)-k_2(\xi)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$$ A megoldhatóság feltétele, hogy az $y_1y_2'-y_2y_1'$ Wronsky-determináns ne tűnjön el. Ez viszont az alaprendszer definíciója értelmében teljesül. A megoldás $$c_1-c_2=\frac{-y_2}{y_1y_2'-y_2y_1'}$$ $$k_1-k_2=\frac{y_1}{y_1y_2'-y_2y_1'}$$

• Általános homogén lineáris peremfeltételek $$\alpha_1\left[c_2(\xi)y_1(a)+k_2(\xi)y_2(a) \right]+\alpha_2\left[c_2(\xi)y_1'(a)+k_2(\xi)y_2'(a) \right]+\alpha_3\left[c_1(\xi)y_1(b)+k_1(\xi)y_2(b) \right]+\alpha_4\left[c_1(\xi)y_1'(b)+k_1(\xi)y_2'(b) \right]=0$$ és $$\beta_1\left[c_2(\xi)y_1(a)+k_2(\xi)y_2(a) \right]+\beta_2\left[c_2(\xi)y_1'(a)+k_2(\xi)y_2'(a) \right]+\beta_3\left[c_1(\xi)y_1(b)+k_1(\xi)y_2(b) \right]+\beta_4\left[c_1(\xi)y_1'(b)+k_1(\xi)y_2'(b) \right]=0$$ Behelyettesítjük $c_1-c_2$ ill. $k_1-k_2$ fenti értékét. A korábban már bevezetett $$\begin{eqnarray} l_1(y)&=& \alpha_1 y(a)+\alpha_2 y'(a)+\alpha_3 y(b)+\alpha_4 y'(b)\\ l_2(y)&=& \beta_1 y(a)+\beta_2 y'(a)+\beta_3 y(b)+\beta_4 y'(b) \end{eqnarray}$$ lineáris funkcionálokkal a kapott egyenletek áttekinthetőbb alakban írhatók fel: $$\begin{eqnarray} l_1(y_1)c_1(\xi)+l_1(y_2)k_1(\xi)&=& \frac{y_1(\xi)\left[\alpha_1y_2(a)+\alpha_2y_2'(a)\right]-y_2(\xi)\left[\alpha_1y_1(a)+\alpha_2y_1'(a)\right]}{y_1(\xi)y_2'(\xi)-y_2(\xi)y_1'(\xi)}\\ l_2(y_1)c_1(\xi)+l_2(y_2)k_1(\xi)&=&\frac{y_1(\xi)\left[\beta_1y_2(a)+\beta_2y_2'(a)\right]-y_2(\xi)\left[\beta_1y_1(a)+\beta_2y_1'(a)\right]}{y_1(\xi)y_2'(\xi)-y_2(\xi)y_1'(\xi)} \end{eqnarray}$$ A jobboldal nullától különböző, ezért a megoldhatóság elegendő feltétele, hogy $$l_1(y_1)l_2(y_2)-l_1(y_2)l_2(y_1)\ne 0\;.$$ Ez pontosan akkor teljesül, ha $\lambda$ nem az $l_1(y)=l_2(y)=0$ peremfeltételekhez tartozó sajátérték.
• Ha a homogén peremérték-feladatnak van megoldása (azaz $\lambda$ sajátérték) Ebben az esetben $$l_1(y_1)l_2(y_2)-l_1(y_2)l_2(y_1)= 0$$ teljesül, és így a két fenti egyenlet baloldala egymással arányos. A megoldhatósághoz ebben az esetben szükséges, hogy a jobboldalak aránya is ugyanaz legyen, amiből, mivel $y_1(\xi)$ és $y_2(\xi)$ lineárisan függetlenek, $$\begin{eqnarray} \frac{\alpha_1y_2(a)+\alpha_2y_2'(a)}{\beta_1y_2(a)+\beta_2y_2'(a)}=\frac{\alpha_1y_1(a)+\alpha_2y_1'(a)}{\beta_1y_1(a)+\beta_2y_1'(a)} \end{eqnarray}$$ következik. Ez azonban azt jelenti, hogy $y_1(x)$ és $y_2(x)$ logaritmikus deriváltja $x=a$-ban ugyanaz, ami a lineáris függetlenségüknek ellentmond. Ilyenkor tehát nincs tetszőleges $\psi(x)$ inhomogén tag esetén $\int_a^b G(x,\xi)\psi(\xi)d\xi$ alakú megoldás. A megoldhatóság feltételéhez írjuk fel az egyenletet Sturm-Liouville-alakban: $$\frac{d}{dx}\left[r(x)y'\right]+[\underbrace{r(x)q(x)}_{Q(x)}+\lambda \underbrace{r(x)p(x)}_{P(x)}]y=\underbrace{r(x)\psi(x)}_{\Psi(x)}\;,$$ ahol $$\frac{r'(x)}{r(x)}=f(x)\;.$$ Legyen $\eta(x)$ a $\lambda$-hoz tartozó sajátfüggvény, azaz $$ \frac{d}{dx}\left[r(x)\eta'\right]+[Q(x)+\lambda P(x)]\eta=0\;.$$ Az első egyenletet megszorozzuk $\eta$-val, a másodikat $y$-nal, majd a kettőt kivonjuk egymásból és az eredményt kiintegráljuk: $$\left.r(y' \eta-\eta' y)\right|_a^b=\int_a^b \Psi(x)\eta(x) dx$$ adódik. Ha a sajátértékek valósságát biztosító $$r(b)\left|\begin{array}{ll}\alpha_1& \alpha_2\\\beta_1 & \beta_2\end{array}\right|=r(a)\left|\begin{array}{ll}\alpha_3& \alpha_4\\\beta_3 & \beta_4\end{array}\right|$$ feltétel teljesül, akkor az előbbi egyenlet baloldala eltűnik, és a megoldhatóság feltételére azt kapjuk, hogy $$\int_a^b \Psi(x)\eta(x) dx=0\;.$$ Az inhomogén tagnak ortogonálisnak kell lennie a sajátfüggvényre. Ha ez teljesül, módosított $\mathcal{G}(x,\xi)$ Green-függvényt definiálunk a következőképpen:
  • $$\frac{d}{dx}\left[r(x)\mathcal{G}'\right]+[Q(x)+\lambda P(x)]\mathcal{G}-\eta(x)\eta(\xi)=0\;,\;\text{ha}\;x\ne \xi$$
  • $$\lim_{\xi \rightarrow x-0} \mathcal{G}(x,\xi)=\lim_{\xi \rightarrow x+0} \mathcal{G}(x,\xi)$$
  • $$\lim_{\xi \rightarrow x-0} \frac{\partial \mathcal{G}(x,\xi)}{\partial x}-\lim_{\xi \rightarrow x+0} \frac{\partial \mathcal{G}(x,\xi)}{\partial x}=\frac{1}{r(x)}$$
  • $$l_1(\mathcal{G})=l_2(\mathcal{G})=0$$
  • $$\int_a^b \mathcal{G}(x,\xi)\eta(\xi)d\xi=0$$
  Ekkor az inhomogén probléma megoldása $$y=\int_a^b \mathcal{G}(x,\xi)\Psi(\xi)d\xi+k\eta(x)$$ Itt $k$ tetszőleges állandó.
• A Green-függvény szemléletes jelentése:
  Az inhomogén egyenlet megoldása lokalizált, egységnyi erősségű forrástag esetén. $$\frac{d}{dx}\left[r(x) G'\right]+[Q(x)+\lambda P(x)] G=\delta(x-\xi)$$
• A Green-függvény szimmetriája (Sturm-Liouville-probléma esetén):
  $$G(x,\xi)=G(\xi, x)$$ akkor és csak akkor, ha a homogén probléma sajátértékei valósak.
• Különböző sajátértékhez tartozó sajátfüggvények ortogonalitása (Sturm-Liouville-probléma esetén):
  $$\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\left[r(x) \eta_1'\right]+[Q(x)+\lambda_1 P(x)] \eta_1&=& 0\\ \frac{d}{dx}\left[r(x) \eta_2'\right]+[Q(x)+\lambda_2 P(x)] \eta_2&=& 0 \end{eqnarray}$$ $\Rightarrow$ $$\left.r(\eta_1' \eta_2-\eta_2' \eta_1)\right|_a^b=(\lambda_1-\lambda_2)\int_a^b \eta_1(x)\eta_2(x)P(x) dx$$ A baloldal a határfeltételek következtében eltűnik (ha a sajátértékek valósságának feltétele teljesül).
• A Green-függvény kifejtése 1-re normált sajátfüggvények szerint:
  $$G(x,\xi)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\eta_j(x)\eta_j(\xi)}{\lambda-\lambda_j}$$ 1-re normálás: $$\eta_j(x)\rightarrow \frac{\eta_j(x)}{\sqrt{\int_a^b \eta_j^2(\xi) P(\xi) d\xi}}$$
• Kifejtési tétel (a sajátfüggvények teljes rendszert alkotnak):
  

  Legyen a $h(x)$ függvény az $[a,b]$ intervallumban kétszer folytonosan deriválható, és teljesítse az $l_1(h)=l_2(h)=0$ határfeltételeket. Legyenek továbbá $\eta_j(x)$-ek a $$\frac{d}{dx}\left[r(x) \eta_j'\right]+[Q(x)+\lambda_j P(x)] \eta_j= 0$$ sajátértékegyenlet ugyanilyen határfeltételhez ($l_1(\eta_j)=l_2(\eta_j)=0$) tartozó megoldásai.
  Ekkor létezik olyan $c_1\;,\;c_2\;,\;\dots$ számsorozat, hogy $$h(x)=\sum_{j=1}^\infty c_j\eta_j(x)\;,$$ ahol a jobboldalon álló sor $[a,b]$-ben egyenletesen konvergens.

  A különböző sajátfüggvények ortogonalitása miatt $$c_j=\frac{\int_a^b h(\xi) \eta_j(\xi) P(\xi) d\xi}{\int_a^b \eta_j^2(\xi) P(\xi) d\xi}$$ Tehát $$h(x)=\sum_{j=1}^\infty \frac{\eta_j(x)\int_a^b h(\xi) \eta_j(\xi) P(\xi) d\xi}{\int_a^b \eta_j^2(\xi) P(\xi) d\xi}\;,$$ amiből $$\sum_{j=1}^\infty \frac{\eta_j(x)\eta_j(\xi) P(\xi) }{\int_a^b \eta_j^2(\xi) P(\xi) d\xi}=\delta(x-\xi)$$ $\delta(x)$ a kompakt tartójú függvények terén értelmezett lineáris funkcionál, amely az $f(x)$ függvényhez $f(0)$-t rendeli hozzá.

Megjegyzés:
A sajátértékegyenletben alkalmas transzformációval $P(x)\equiv 1$ választható. Ui. osszuk el az egyenletet $P(x)$-szel és vezessük be az $u=\int P(x)dx$ új független változót ($du=P(x)dx$): $$\frac{d}{du}\left[r(x)P(x) \frac{dy}{du}\right]+\left[\frac{Q(x)}{P(x)}+\lambda\right] y= 0$$

előző	fel	következő