Differenciálegyenletek a fizikában II.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
7. Előadás
Peremérték-problémákból adódó sorfejtések
A Sturm-Liouville-féle differenciálegyenlet sajátfüggvényei szerint haladó sorfejtések
- Trigonometrikus sorok:
$$y''+\lambda y=0\;,\quad y(0)=y(\pi)=0$$
Sajátértékek és sajátfüggvények:
$$\lambda_n=n^2\;,\quad y=\sin nx$$
Keressük az
$$y''=f(x)$$
inhomogén egyenlet $y(0)=y(\pi)=0$ határfeltételeknek eleget tevő megoldását,
ha $f(x)$ sajátfüggvények szerinti kifejtése (Fourier-sora)
$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sin nx$$
A megoldás
$$y(x)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2} \sin nx$$
- Általános eset:
$$\frac{d}{dx}\left[r(x) y'\right]+[Q(x)+\lambda
P(x)] y= 0\;,\quad l_1(y)=l_2(y)=0$$
Sajátértékek és normált sajátfüggvények:
$$\lambda_n\;,\quad \eta_n(x)\quad (n=1,2,\dots)$$
Keressük a $$\frac{d}{dx}\left[r(x) y'\right]+Q(x) y= \psi(x)\;,\quad l_1(y)=l_2(y)=0$$
inhomogén probléma megoldását.
$$y=\int_a^b G(x,\xi)\psi(\xi)d\xi=\int_a^b \sum_{n=1}^\infty
\frac{\eta_n(x)\eta_n(\xi)}{-\lambda_n}\psi(\xi)d\xi=\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{\lambda_n}\int_a^b\eta_n(\xi)\psi(\xi)d\xi\right)\eta_n(x)$$
Másképp:
$\psi(x)$-et kifejtjük a $P(x)\eta_n(x)$ függvények szerint:
$$\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty\left(\int_a^b\eta_n(\xi)\psi(\xi)d\xi\right)P(x)\eta_n(x)$$
$y(x)$-et
$$y=\sum_{n=1}^\infty c_n \eta_n(x)$$
sor alakjában keressük. Az egyenletbe helyettesítva:
$$\frac{d}{dx}\left[r(x) y'\right]+Q(x) y= \sum_{n=1}^\infty c_n
\left(-\lambda_nP(x)\right)\eta_n(x)=\sum_{n=1}^\infty\left(\int_a^b\eta_n(\xi)\psi(\xi)d\xi\right)P(x)\eta_n(x)$$
$\eta_n(x)$ együtthatóit a két oldalon egyenlővé téve kapjuk, hogy
$$c_n=-\frac{1}{\lambda_n}\int_a^b\eta_n(\xi)\psi(\xi)d\xi\;.$$
Peremfeltételek a szingularitás helyein: Legendre-polinomok
- Differenciálegyenlet
$$(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0$$
vagy
$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)y'\right]+\lambda y=0$$
Sajátértékek és sajátfüggvények:
$$\lambda=l(l+1)\;,\quad y=P_l(x)\quad(P_l(1)=1)$$
$P_l(x)$: Legendre-polinom
- Rodrigues-formula
$$P_l(x)=\frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$$
- Generátorfüggvény
$$\Phi(x,h)=(1-2xh+h^2)^{-1/2}=\sum_{l=0}^\infty
h^l P_l(x)$$
- Rekurziós összefüggések
$$
\begin{eqnarray}
&& lP_l(x)=(2l-1)xP_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x)\\
&& xP_l'(x)-P_{l-1}'(x)=lP_{l}(x)\\
&& P_l'(x)-xP_{l-1}'(x)=lP_{l-1}(x)\\
&& (1-x^2)P_l'(x)=lP_{l-1}(x)-lxP_{l}(x)\\
&& (2l+1)P_l(x)=P_{l+1}'(x)-P_{l-1}'(x)\end{eqnarray}$$
- Ortogonalitás
$$\int_{-1}^1 P_l(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2l+1}\delta_{ln}$$
- Sorfejtés Legendre-polinomok szerint:
$$f(x)=\sum_{l=0}^\infty c_l P_l(x)$$
ahol
$$c_l=\left(l+\frac{1}{2}\right)\int_{-1}^1 f(x)P_l(x)dx$$
Asszociált Legendre-polinomok
- Differenciálegyenlet
$$(1-x^2)y''-2xy'+\left[\lambda -\frac{m^2}{1-x^2}\right]y=0$$
- Rodrigues-formula
$$P_l^m(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_l(x)$$
- Rekurziós összefüggések
- Ortogonalitás
$$\int_{-1}^1 P_l^m(x)P_n^m(x)dx=\frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{ln}$$
Gömbfüggvények
$$Y_{lm}(\theta,\varphi)=(-1)^\frac{m+|m|}{2}i^l\left[\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}\right]^{1/2}P_l^{|m|}(\cos\theta){\rm e}^{im\varphi}$$
- Ortogonalitás
$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} Y_{lm}(\theta,\varphi)Y_{l'm'}^*(\theta,\varphi)\sin\theta \,d\theta\, d\varphi =\delta_{ll'}\delta_{mm'}$$
Hermite-polinomok
- Differenciálegyenlet (példa: harmonikus oszcillátor időfüggetlen Schrödinger-egyenlete)
$$y''-x^2y+(2n+1)y=0$$
Megoldás: $y_n$ Hermite-függvények
$$y''-2xy'+2ny=0$$
Megoldás: $H_n$ Hermite-polinomok.
$$y_n(x)={\rm e}^{-x^2/2}H_n(x)$$
- Rodrigues-formula
$$H_n(x)=(-1)^n{\rm e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}{\rm e}^{-x^2}$$
- Generátorfüggvény
$$\Phi(x,h)={\rm e}^{2xh-h^2}=\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{h^n}{n!}$$
- Rekurziós összefüggések
$$H_n'(x)=2nH_{n-1}$$
$$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)$$
- Ortogonalitás
$$\int_{-\infty}^{\infty}H_n(x)H_m(x)\,{\rm e}^{-x^2}\,dx =\delta_{nm}\sqrt\pi \, 2^n n!$$
Laguerre-polinomok
- Differenciálegyenlet
$$xy''+(1-x)y'+ny=0$$
- Rodrigues-formula
$$L_n(x)=\frac{1}{n!}{\rm e}^{x}\frac{d^n}{dx^n}\left(x^n{\rm e}^{-x}\right)$$
- Generátorfüggvény
$$\Phi(x,h)=\frac{{\rm e}^{-xh/(1-h)}}{1-h}=\sum_{n=0}^\infty L_n(x)h^n$$
- Rekurziós összefüggések
$$L_{n+1}'(x)-L_{n}'(x)+L_{n-1}'(x)=0$$
$$(n+1)L_{n+1}(x)-(2n+1-x)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0$$
$$xL_{n}'(x)-nL_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0$$
- Ortogonalitás
$$\int_{0}^{\infty}L_n(x)L_m(x)\,{\rm e}^{-x}\,dx =\delta_{nm}$$
Asszociált Laguerre-polinomok
- Differenciálegyenlet
$$xy''+(k+1-x)y'+ny=0$$
- Rodrigues-formula
$$L_n^k(x)=(-1)^k\frac{d^k}{dx^k}L_{n+k}(x)$$
- Ortogonalitás
$$\int_{0}^{\infty}L_n^k(x)L_m^k(x)\,x^k{\rm e}^{-x}\,dx =\delta_{nm} \frac{(n+k)!}{n!}$$