Elméleti fizika I.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
3. hét hétfői előadás
Egyenes menti (egydimenziós) mozgások
Mozgásegyenlet:
$$m\ddot{x}=-\frac{dV}{dx}$$
Energia megmaradása (a mozgásegyenlet első integrálja):
$$E=\frac{m}{2}\dot{x}^2+V(x)={\rm állandó}$$
$$\Rightarrow\quad V(x)\le E$$
1. ábra. Tömegpont mozgása egydimenziós potenciálban. A
$E_1$ energiájú mozgás nem valósulhat meg, az
$E_2$ energiájú mozgás korlátos (két
fordulópont, lilával), az $E_3$ energiájú
mozgás félvégtelen (egy fordulópont).
$$\dot{x}=\pm \sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(x)\right)}$$
A két lehetséges előjel a mozgás megfordíthatóságát (időtükrözési szimmetria)
fejezi ki.
Változók szétválasztása:
$$dt=\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(x)\right)}}$$
Integrálás:
$$t-t_0=\int_{x_0}^x\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(x)\right)}}$$
Itt $t_0$ integrációs állandó.
Korlátos mozgás periódusideje:
$$T=2\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(x)\right)}}=\sqrt{2m}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}$$
Harmonikus rezgőmozgás
$$F=-Dx\quad \Rightarrow \quad V(x)=\frac{1}{2}Dx^2$$
$$T=\sqrt{2m}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{E-\frac{1}{2}Dx^2}}=\sqrt{\frac{2m}{E}}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{D}{2E}x^2}}$$
Fordulópontok (v.ö. amplitudó):
$$x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{2E}{D}}$$
Új változó bevezetése:
$$\xi=\sqrt{\frac{D}{2E}}x$$
Ezzel
$$T=\sqrt{\frac{2m}{E}}\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{\frac{2E}{D}}d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}=2\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{-1}^{1}\frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}$$
Még egy új változó:
$$\xi=\sin\varphi$$
$$d\xi=\cos\varphi d\varphi$$
Ezzel
$$T=2\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos\varphi
d\varphi}{\cos\varphi}=2\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$$
$$\Rightarrow \quad \omega\equiv\frac{2\pi}{T}=\frac{D}{m}\quad\Rightarrow
\quad D=m\omega^2$$
A mozgásegyenlet megoldása ($x(t)$ meghatározása):
$$t=t_0+\sqrt{\frac{m}{2E}}\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{D}{2E}x^2}}$$
Változócserék (mint fent):
$$t=t_0+
\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{0}^{x\sqrt{D/(2E)}}\frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}$$
$$t=t_0+\sqrt{\frac{m}{D}}\int_{0}^{\arcsin\left(x\sqrt{D/(2E)}\right)}d\varphi$$
azaz
$$t=t_0+\sqrt{\frac{m}{D}}\arcsin\left(x\sqrt{\frac{D}{2E}}\right)$$
$$\Rightarrow x=\sqrt{\frac{2E}{D}}\sin\left(\sqrt{\frac{D}{m}}(t-t_0)\right)$$
bene@arpad.elte.hu