tovább fel vissza

Elméleti fizika I.

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
5. hét szerdai előadás


Mozgás taszító Coulomb-potenciálban (folytatás)
Centrális erőtérben történő mozgás $\Rightarrow$ az impulzusmomentum megmarad $\Rightarrow$ a mozgás síkbeli, Kepler második törvénye érvényes $$N=mr^2\dot{\varphi}$$ $$E=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)+\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Z_1Z_2q_e^2}{r}=\frac{m}{2}\dot{r}^2+V_{eff}(r)$$ $$V_{eff}(r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Z_1Z_2q_e^2}{r}+\frac{N^2}{2mr^2}$$ A potenciális energia formálisan a newtoni tömegvonzás esetére érvényes képletből $$GmM \;\rightarrow -\frac{Z_1Z_2q_e^2}{4\pi \epsilon_0}$$ cserével kapható. Emiatt a mozgásra érvényes összes formula is érvényben marad, mivel azonban csak $E > 0$ lehetséges, a pálya hiperbola ($N=0$ esetén speciálisan egyenes). $$r=\frac{p}{1+\epsilon\cos\varphi}\;,$$ ahol
$\begin{eqnarray} p&=&-\frac{4\pi \epsilon_0N^2}{mZ_1Z_2q_e^2}\\ \epsilon&=&\sqrt{1+\frac{2E}{m}\left(\frac{4\pi \epsilon_0 N}{Z_1Z_2q_e^2}\right)^2} \end{eqnarray}$
Nyilvánvaló, hogy az excentricitás 1-nél nagyobb. A negatív $p$ paraméter azt jelenti, hogy a mozgás során $\cos\varphi<-1/\epsilon<0$, azaz $\varphi>\pi/2$. Speciálisan, a fordulópontot $\varphi=\pi$ esetén kapjuk: $$r_1=\frac{p}{1-\epsilon}=\frac{Z_1Z_2q_e^2}{8\pi \epsilon_0 E}(1+\epsilon)$$ Tisztán radiális mozgás esetén $N=0$, ekkor $p=0$ és $\epsilon=1$.

Az eltérülés szöge $$\zeta=\pi-2\arccos\left(\frac{1}{\epsilon}\right)$$ Az impulzusmomentum a $b$ ütközési paraméterrel kifejezve: $$N=bmv_{\infty}=b\sqrt{2mE}$$ A fenti két képletből: $$\frac{1}{\epsilon}=\sin\left(\frac{\zeta}{2}\right)$$ Az excentricitás képletét ide beírva (mindkét oldal reciprokát vesszük, majd négyzetre emelünk): $$b^2=\left(\frac{Z_1Z_2q_e^2}{8\pi \epsilon_0 E}\right)^2\cot^2\left(\frac{\zeta}{2}\right)$$ A Rutherford-szórás differenciális hatáskeresztmetszete (a bejövő nyaláb keresztmetszetének az a része, amely $\zeta$ és $\zeta+d\zeta$ szögek közé szóródik): $$\sigma=2\pi b db=\frac{Z_1^2Z_2^2q_e^4}{64\pi \epsilon_0^2 E^2}\frac{\cos\left(\frac{\zeta}{2}\right)}{\sin^3\left(\frac{\zeta}{2}\right)}d\zeta=\left(\frac{Z_1Z_2q_e^2}{16\pi \epsilon_0 E}\right)^2\frac{d\Omega}{\sin^4\left(\frac{\zeta}{2}\right)}$$ Itt $$d\Omega=2\pi \sin\zeta d\zeta$$ az elemi térszög.

A tömegvonzás törvénye
A gravitációs vonzóerő a gravitációs térerősség és a tömeg szorzata: $${\bf F}=-G\frac{mM}{r^2}\frac{\bf r}{r}=m{\bf g}$$ ahol $${\bf g}=-G\frac{M}{r^2}\frac{\bf r}{r}$$ az $M$ tömegű pontszerű test által keltett gravitációs térerősség az ${\bf r}$ pontban (az $M$ tömegű pontszerű test az origóban van).
A gravitációs potenciális energia a gravitációs potenciál és a tömeg szorzata: $$V=-G\frac{mM}{r}=m\Phi$$ ahol $$\Phi=-G\frac{M}{r}$$ az $M$ tömegű pontszerű test által keltett gravitációs potenciál az ${\bf r}$ pontban.
Több tömegpont együttes gravitációs tere és potenciálja: $${\bf g}=\sum_{j=1}^n-GM_j\frac{{\bf r }-{\bf r }_j}{\left|{\bf r }-{\bf r }_j\right|^3}$$ $$\Phi=\sum_{j=1}^n-\frac{GM_j}{\left|{\bf r }-{\bf r }_j\right|}$$ $n$ db tömegpont együttes gravitációs potenciális energiája: $$V_{össz}=\sum_{j=1}^n\sum_{k=j+1}^n-\frac{GM_kM_j}{\left|{\bf r }_k-{\bf r }_k\right|}=\frac{1}{2}\sum_{j\ne k}-\frac{GM_kM_j}{\left|{\bf r }_k-{\bf r }_k\right|}$$ Folytonos tömegeloszlás gravitációs tere és potenciálja: $${\bf g}=\int -G\frac{{\bf r }-{\bf r '}}{\left|{\bf r }-{\bf r' }\right|^3}\rho({\bf r' })d^3{\bf r' }$$ $$\Phi=\int -G\frac{\rho({\bf r' })d^3{\bf r' }}{\left|{\bf r }-{\bf r' }\right|}$$ Tömegpont gravitációs térerősségének felületi integrálja koncentrikus gömbfelszínre: $$\oint_{gömb} {\bf g}d{\bf A}=-G\frac{M}{r^2}4\pi r^2=-4\pi G M$$ Tömegpont gravitációs térerősségének felületi integrálja tetszőleges zárt $S$ felületre: $$\oint_S {\bf g}d{\bf A}=\oint_{gömb} {\bf g}d{\bf A}+\oint_{S'} {\bf g}d{\bf A}$$ Az $S'$ zárt felület az origót nem tartalmazza, tehát ott $r>0$, így a második integrál integrandusa véges. Alkalmazhatjuk Gauss tételét (Egy vektortér zárt felületre vett felületi integrálja egyenlő a vektortér divergenciájának a felülettel körbefogott térfogatra vett térfogati integráljával): $$\oint_{S'} {\bf g}d{\bf A}=\int {\bf \nabla}{\bf g} dV$$ Azonban $${\bf \nabla}{\bf g}=\partial_j\left( -GM\frac{r_j}{r^3}\right)=-GM\left(\frac{\delta_{jj}}{r^3}+r_j(-3)\frac{1}{r^4}\frac{r_j}{r}\right)=0\;,$$ tehát a második integrál járuléka is nulla. Így viszont tetszőleges zárt $S$ felületre fennáll, hogy $$\oint_S {\bf g}d{\bf A}=-4\pi G M\;,$$ ahol $M$ az $S$ felület által körbezárt ponttömeg.
Ha több ponttömeg van az $S$ felületen belül: $$\oint_S {\bf g}d{\bf A}=-4\pi G \sum_jM_j$$ Ha folytonos tömegeloszlás van az $S$ felületen belül: $$\oint_S {\bf g}d{\bf A}=-4\pi G \int \rho dV$$ Ez esetben alkalmazhatjuk a baloldalra Gauss tételét: $$\int {\bf \nabla}{\bf g}dV=-4\pi G \int \rho dV$$ Mivel ez tetszőleges térfogatra teljesül, $$ {\bf \nabla}{\bf g}=-4\pi G \rho\;.$$ Azonban $${\bf g}=-{\bf \nabla}\Phi\;,$$ tehát $$\triangle \Phi= 4\pi G \rho\;.$$ Itt $$\triangle={\bf \nabla}\cdot{\bf \nabla}= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$ a Laplace-operátor.

Nehézségi gyorsulás a Föld felszínén
A nehézségi gyorsulás éppen a gravitációs térerősség. A gömbszimmetria miatt $\bf g$ csak sugárirányú lehet és $r$-től (a Föld középpontjától mért távolságtól) függhet. Ezért $$\oint {\bf g}d{\bf A}=-g4\pi R^2=-4\pi G M\;.$$ Ebből a nehézségi gyorsulás: $$g=G\frac{M}{R^2}\;.$$ Gravitációs állandó: $$G=6,6742 \times 10^{-11}\;\frac{m^3}{kg \;s^2}$$ Föld tömege: $$M=5,9736\times 10^{24}\;kg$$ Föld átlagos sugara: $$R=6372,8\; km$$ Ezekkel a számadatokkal $$g=9,809\;\frac{m}{s^2}$$ adódik. A Föld lapultsága, gömbszimmetrikustól eltérő tömegeloszlása és forgása ezt az értéket módosítja. A nehézségi gyorsulás értéke kismértékben függ a földrajzi helytől.

Nem tökéletesen gömbszimmetrikus tömegeloszlás gravitációs tere, multipólusok
$$\Phi=\int -G\frac{\rho({\bf r' })d^3{\bf r' }}{\left|{\bf r }-{\bf r' }\right|}$$ Egy hasznos azonosság: $$\frac{1}{\left|{\bf r }-{\bf r' }\right|}=\sum_{\ell=0}^\infty \frac{4\pi}{2\ell +1}\frac{r_<^\ell}{r_>^{\ell+1}}\sum_{m=-\ell}^\ell Y_\ell^m(\theta,\phi)Y_\ell^{m*}(\theta',\phi')$$ Itt az $r,\theta,\phi$ térbeli polárkoordináták az ${\bf r }$ vektorhoz, az $r',\theta',\phi'$ térbeli polárkoordináták pedig az ${\bf r' }$ vektorhoz tartoznak.
Az $r_<$ mennyiség $r$ és $r'$ közül a kisebbik, $r_>$ pedig a kettő közül a nagyobbik.
$Y_\ell^m(\theta,\phi)$-k az ún. gömbfüggvények vagy gömbharmonikus függvények. Az első néhány definíciója: $$\begin{eqnarray} Y_0^0(\theta,\phi)&=& \sqrt{\frac{1}{4\pi}}\\ Y_1^{-1}(\theta,\phi)&=& \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\; {\text e}^{-i\phi}\\ Y_1^0(\theta,\phi)&=& \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta\\ Y_1^1(\theta,\phi)&=& -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\; {\text e}^{i\phi}\\ Y_2^{-2}(\theta,\phi)&=& \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\sin^2\theta\; {\text e}^{-2i\phi}\\ Y_2^{-1}(\theta,\phi)&=& \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\sin\theta\; \cos\theta\;{\text e}^{-i\phi}\\ Y_2^0(\theta,\phi)&=& \sqrt{\frac{5}{16\pi}}\left(3\cos^2\theta-1\right)\\ Y_2^1(\theta,\phi)&=& -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\sin\theta\; \cos\theta\;{\text e}^{i\phi}\\ Y_2^2(\theta,\phi)&=& \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\sin^2\theta \;{\text e}^{2i\phi} \end{eqnarray}$$ A fentiekből egy tömegeloszláson kívül ezt kapjuk: $$\Phi=\sum_{\ell=0}^\infty \frac{1}{r^{\ell+1}}\sum_{m=-\ell}^\ell C_\ell^m Y_\ell^m(\theta,\phi)$$ ahol $$C_\ell^m=-\frac{4\pi G}{2\ell +1}\int \rho({\bf r' })r'^\ell Y_\ell^{m*}(\theta',\phi') d^3{\bf r' }$$ A sorfejtés első néhány tagja: $$\Phi=-G\frac{M}{r}-G\frac{d_jr_j}{r^3}-G\frac{Q_{jk}(3r_jr_k-\delta_{jk}r^2)}{6r^5}+\cdots $$ Itt $$M=\int \rho({\bf r' }) d^3{\bf r' }$$ a teljes tömeg, $${\bf d}=\int \rho({\bf r' }){\bf r' } d^3{\bf r' }$$ a dipólmomentum-vektor, $$Q_{jk}=\int \rho({\bf r' })(3r'_jr'_k -\delta_{jk}r'^2)d^3{\bf r' }$$ a kvadrupólmomentum-tenzor.
Látható, hogy ${\bf d}/M$ éppen a tömegközéppont helyvektora. Ha tehát az origót a tömegközéppontba helyezzük, akkor a dipólmomentum eltűnik.

Példa: homogén forgási ellipszoid $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$$ $$M=\int \rho dxdydz=\rho\int dxdydz$$ Vezessük be a $$\begin{eqnarray} \xi&=& \frac{x}{a}\\ \eta&=& \frac{y}{a}\\ \zeta&=& \frac{z}{a} \end{eqnarray}$$ új változókat! Ezekkel kifejezve a $$\xi^2+\eta^2+\zeta^2=1$$ egységsugarú gömb térfogatára kell integrálni: $$M=\rho a^2 b\int d\xi d\eta d\zeta =\frac{4\pi}{3}a^2 b \rho$$ A dipólmomentum vektora a forgásszimmetria miatt csak a $z$ tengely irányába mutathat, nagysága $$d= \rho a^2 b^2\int \zeta d\xi d\eta d\zeta=0$$ Az integrál eltűnése a legegyszerűbben abból látható be, hogy a $\zeta$ változót szimmetrikus tartományra kell integrálni, ahol $\zeta$ ugyanannyiszor lesz negatív, mint ahányszor pozitív.
A kvadrupólmomentum tenzora diagonális az ellipszoid főtengelyei által alkotott koordinátarendszerben, ezért a nullától különböző komponensek $$Q_{xx}=Q_{yy}= \rho \int (3x^2 - r^2)dxdydz=\rho \int (2x^2 - y^2-z^2)dxdydz=\rho a^2 b \int (2a^2\xi^2 - a^2 \eta^2-b^2 \zeta^2)d\xi d\eta d\zeta$$ és $$Q_{zz}=\rho \int (3z^2 - r^2)dxdydz=\rho \int (2z^2 - x^2-y^2)dxdydz=\rho a^2 b \int (2b^2\zeta^2 - a^2 \xi^2-a^2 \eta^2)d\xi d\eta d\zeta$$ Mivel itt az integrálás az egységgömb térfogatára történik, térbeli polárkoordinátákra térünk át: $$\begin{eqnarray} \xi&=& r\sin\theta\cos\phi\\ \eta&=& r\sin\theta\sin\phi\\ \zeta&=& r\cos\theta\\ d\xi d\eta d\zeta &=& r^2 dr \sin\theta d\theta d\phi \end{eqnarray}$$ Ezzel $$\begin{eqnarray} Q_{xx}&=& Q_{yy}= \rho a^2 b \int_0^1 dr\; r^4 \int_0^\pi d\theta \sin\theta \int_0^{2\pi} d\phi (2a^2\sin^2\theta \cos^2\phi - a^2 \sin^2\theta \sin^2\phi -b^2 \cos^2\theta)\\ &=& \frac{4\pi}{15}a^2 b (a^2-b^2) \rho=\frac{1}{5}M(a^2-b^2) \end{eqnarray}$$ és $$\begin{eqnarray} Q_{zz}&=& \rho a^2 b \int_0^1 dr\; r^4 \int_0^\pi d\theta \sin\theta \int_0^{2\pi} d\phi (2b^2\cos^2\theta - a^2 \sin^2\theta \cos^2\phi -a^2 \sin^2\theta\sin^2\phi)\\ &=& -\frac{8\pi}{15}a^2 b(a^2-b^2) \rho=-\frac{2}{5}M(a^2-b^2) \end{eqnarray}$$ Ezzel az ellipszoid gravitációs potenciálja közelítőleg $$\Phi=-GM\frac{1}{r}-\frac{1}{10}GM(a^2-b^2)\frac{x^2+y^2-2z^2}{r^5}$$

Kényszererők és kényszermozgások
Nem praktikus az erőket a hely függvényében megadni, ha azok igen rövid távolságon nagyon erősen változnak. Pl.:
Az erők olyanok lesznek, hogy a koordináták, a sebességek és az idő között valamilyen $f({\bf r}, {\bf v}, t)=0$ összefüggés teljesüljön. Az ilyen összefüggést nevezzük kényszerfeltételnek, az általuk meghatározott erőket kényszererőknek.

A kényszerek osztályozása
holonom anholonom
szkleronom $f({\bf r})=0$ Pl.: matematikai inga, lejtőn lecsúszó test $f({\bf r}, {\bf v})=0$ Pl.: talajon gördülő golyó
reonom $f({\bf r}, t)=0$ Pl.: mozgó lejtőn lecsúszó test $f({\bf r}, {\bf v}, t)=0$ Pl.: mozgó lejtőn gördülő golyó
tovább fel vissza
bene@arpad.elte.hu