Elméleti fizika I.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
6. hét pénteki előadás
Analitikus mechanika
Lagrange-függvény és hatás
Megmutatjuk, hogy potenciálban mozgó tömegpont esetén az
$$S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{m}{2}v^2-V({\bf r})\right)dt$$
hatás minimális (vagy stacionárius) a valódi pálya mentén. Ez úgy értendő, hogy ha különféle
${\bf r}(t)$ függvényeket választunk úgy, hogy az ${\bf r}(t_1)={\bf r}_1$ és
${\bf r}(t_2)={\bf r}_2$ peremfeltételeknek eleget tegyenek ($t_1$, $t_2$,
${\bf r}_1$ és ${\bf r}_2$ rögzítettek), majd ezekből kiszámítjuk a
$\bf{v}(t)=\dot{\bf{r}}(t)$ sebességet, aztán pedig
az
$$L({\bf r},{\bf v})=\frac{m}{2}v^2-V({\bf r})$$
Lagrange-függvényt és végül az $S$ hatást, akkor az összes lehetséges
$\bf{r}(t)$ függvény közül a valódi mozgás adja a legkisebb hatás (vagy
legalábbis a függvény kis megváltoztatásakor a hatás lineáris rendben nem változik).
Példák:
Egyenesvonalú egyenletes mozgás:
Ekkor a Lagrange-függvény $$L=\frac{m}{2}v^2$$
A valódi mozgás pályája
$${\bf r}(t)={\bf r}_1+\frac{{\bf r}_2-{\bf r}_1}{t_2-t_1}(t-t_1)$$
Adjunk ehhez hozzá egy tetszőleges $\bar{{\bf r}}(t)$ függvényt, melyre
$\bar{{\bf r}}(t_1)=\bar{{\bf r}}(t_2)=0$ teljesül. Ekkor az összeg teljesíti a
határfeltételeket. A Lagrange-függvény ekkor
$$L=\frac{m}{2}\left(\frac{{\bf r}_2-{\bf r}_1}{t_2-t_1}\right)^2+m\frac{{\bf
r}_2-{\bf r}_1}{t_2-t_1}\dot{\bar{{\bf r}}}+\frac{m}{2}\left(\dot{\bar{{\bf
r}}}\right)^2$$
Ezt integrálva kapjuk a hatást:
$$S=\frac{m\left({\bf r}_2-{\bf r}_1\right)^2}{2\left(t_2-t_1\right)}+m\frac{{\bf
r}_2-{\bf r}_1}{t_2-t_1}\left(\bar{{\bf r}}(t_2)-\bar{{\bf r}}(t_1)\right)+\frac{m}{2}\int_{t_1}^{t_2}\left(\dot{\bar{{\bf
r}}}\right)^2dt$$
Az első tag a valódi pályához tartozó hatás. A középső tag eltűnik, az utolsó
tag nemnegatív, és csak akkor nulla, ha $\bar{{\bf r}}(t)=0$. Látható, hogy
a valódi pálya esetén lesz a hatás minimális.
Harmonikus rezgőmozgás:
Lagrange-függvény:
$$L=\frac{m}{2}v^2-\frac{m\omega^2}{2}x^2$$
A valódi mozgásra
$$x(t)=x_1\cos\omega (t-t_1)+\frac{x_2-x_1\cos\omega (t_2-t_1)}{\sin\omega (t_2-t_1)}\sin\omega (t-t_1)$$
Adjunk ehhez hozzá egy tetszőleges olyan $\bar{x}(t)$ függvényt, melyre
$\bar{x}(t_2)=\bar{x}(t_1)=0$.
Ezzel
$$L=\frac{m}{2}\dot{x}^2+m\dot{x}\dot{\bar{x}}+\frac{m}{2}\dot{\bar{x}}^2-
\frac{m\omega^2}{2}x^2-m\omega^2x\bar{x}-\frac{m\omega^2}{2}\bar{x}^2$$
Az idő szerint integrálva:
$\begin{eqnarray}
S&=&\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{m}{2}\dot{x}^2-
\frac{m\omega^2}{2}x^2\right)dt\\
&+&\int_{t_1}^{t_2}\left(m\dot{x}\dot{\bar{x}}-
m\omega^2x\bar{x}\right)dt\\
&+&\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{m}{2}\dot{\bar{x}}^2-
\frac{m\omega^2}{2}\bar{x}^2\right)dt
\end{eqnarray}$
Megmutatjuk, hogyx a középső integrál eltűnik. Ennek az integrálnak az első
tagját parciálisan integráljuk:
$$\int_{t_1}^{t_2}\left(m\dot{x}\dot{\bar{x}}-
m\omega^2x\bar{x}\right)dt=m\dot{x}(t_2)\bar{x}(t_2)
-m\dot{x}(t_1)\bar{x}(t_1)
-\int_{t_1}^{t_2}\left(m\ddot{x}\bar{x}+
m\omega^2x\bar{x}\right)dt$$
A kiintegrált rész nulla, mivel $\bar{x}$ a kezdeti és a végső időpontban
eltűnik, a megmaradt integrál pedig az
$$\ddot{x}+\omega^2x=0$$
mozgásegyenlet következtében tűnik el. Végül tehát
$$S=\frac{m\omega\left[(x_1^2+x_2^2)\cos\omega(t_2-t_1)-2x_1x_2\right]}{2\sin\omega(t_2-t_1)}+\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{m}{2}\dot{\bar{x}}^2-
\frac{m\omega^2}{2}\bar{x}^2\right)dt$$
Ha $t_2-t_1<2\pi/\omega$, akkor ezúttal is minimumot kapunk, egyébként
stacionárius pontot (az $S$-beli az eltérés
$\bar{x}$-ban lineáris
rendben nulla).
Általános eset:
$$L({\bf r},{\bf v})=\frac{m}{2}v^2-V({\bf r})$$
A valódi ${\bf r}(t)$ pályához a kezdeti és a végső időpontban eltűnő kis
$\bar{{\bf r}}(t)$ korrekciót adunk és kiszámítjuk a hatás megváltozását
ebben a korrekcióban lineáris rendben.
A Lagrange-függvény:
$$ L({\bf r},{\bf v})=\frac{m}{2}\dot{\bf r}^2-V({\bf r})+m\dot{\bf
r}\dot{\bar{{\bf r}}}-\bar{{\bf r}}{\bf \nabla}V$$
A hatás:
$$S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{m}{2}\dot{\bf r}^2-V({\bf r})\right)dt
+\int_{t_1}^{t_2}\left(m\dot{\bf
r}\dot{\bar{{\bf r}}}-\bar{{\bf r}}{\bf \nabla}V\right)dt$$
A $\bar{{\bf r}}(t)$-ban lineáris második integrál eltűnik:
$$\int_{t_1}^{t_2}\left(m\dot{\bf
r}\dot{\bar{{\bf r}}}-\bar{{\bf r}}{\bf \nabla}V\right)dt=m\dot{\bf
r}(t_2)\bar{{\bf r}}(t_2)-m\dot{\bf
r}(t_1)\bar{{\bf r}}(t_1)-\int_{t_1}^{t_2}\bar{{\bf r}}\left(m\ddot{\bf
r}+{\bf \nabla}V\right)dt=0$$
Általánosított koordináták és
sebességek. Mozgásegyenletek felírása
Az általánosított koordináták ($q$) )tetszőleges, a vizsgált rendszer térbeli
elhelyezkedését meghatározó változók, az általánosított sebességek ezek
idő szerinti első deriváltjai ($\dot{q}$). A mozgásegyenletek
áttranszformálhatók általánosított koordinátákra (ezt tettük az inga
mozgásegyenletének levezetésekor).
A legkisebb hatás elve. Hatás,
Lagrange-függvény
Az
$$S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt$$
hatás stacionárius pontját keressük
$$q(t_1)=q_1 \quad{\rm és}\quad q(t_2)=q_2$$
peremfeltételek mellett.
Az $S$ hatás a $q(t)$ függvény funkcionálja, tehát a funkcionál első
funkcionálderiváltjának eltűnése a feltétel.
A hatás megváltozása a koordináták
$$q(t) \rightarrow q(t)+\delta q(t)$$
megváltozása esetén, miközben
$$\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0\;,$$
elsőrendű pontossággal
$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t)+\delta q(t),\dot{q(t)}+\dot{\delta q(t)},t)dt-
\int_{t_1}^{t_2}L(q(t),\dot{q(t)},t)dt\approx
\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}\dot{\delta q}\right)dt\;.$$
Az utolsó integrál második tagját parciálisan integráljuk, így
$$\delta S=\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}(t_2)\delta q(t_2)-\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}(t_1)\delta q(t_1)+\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q dt\;.$$
Euler-Lagrange-egyenletek
(mozgásegyenlet)
A kiintegrált rész eltűnik, a megmaradt integrál tetszőleges $\delta q(t)$-re
pedig csak akkor tűnik el, ha a
$$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}=0$$
Euler-Lagrange-egyenlet teljesül. Ez a mozgásegyenlet.
$$p=\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}$$
a $q$ általánosított koordinátához konjugált kanonikus impulzus.
Példák:
- Részecske mozgása potenciálban
Lagrange-függvény:
$$L=\frac{m}{2}v^2-V({\bf r})$$
Euler-Lagrange-egyenlet:
Most $q= {\bf r}$
$$\frac{\partial L}{\partial q}=-{\bf \nabla}V$$
$$\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}=m{\bf v}$$
Végül tehát
$$-{\bf \nabla}V-m\dot{{\bf v}}=0$$
- Inga periodikusan mozgó felfüggesztési ponttal
Tegyük fel, hogy a felfüggesztési pont $A$ amplitudójú, $\omega$
körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez. Az inga hossza legyen $l$, a
függőlegessel bezárt szöge $\phi$. Ekkor az inga végére rögzített tömegpont
koordinátái
$$x=l\sin\phi\quad ,\quad y=A\cos\omega t-l\cos\phi\;.$$
Ezeket az idő szerint deriválva kapjuk a sebesség komponenseit:
$$\dot{x}=l\cos\phi\; \dot{\phi}\quad ,\quad \dot{y}=-A\omega\sin\omega t+l\sin\phi\; \dot{\phi}\;.$$
Ezzel a Lagrange-függvény:
$$L=\frac{m}{2}\left(l^2\dot{\phi}^2-2A\omega l\sin\omega t \sin\phi\;
\dot{\phi}+A^2\omega^2\sin^2\omega t \right)-mg\left(A\cos\omega
t-l\cos\phi\right)$$
A csak az időtől függő tagok elhagyhatók, mivel a mozgásrgyenleteket nem
befolyásolják, így végül
$$L=\frac{m}{2}l^2\dot{\phi}^2-m\omega l A\sin\omega t \sin\phi\;
\dot{\phi}+mgl\cos\phi\;.$$
Ennek megfelelően
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=ml^2\dot{\phi}-m\omega l A\sin\omega
t \sin\phi$$
$$\frac{\partial L}{\partial {\phi}}=-m\omega l A\sin\omega t \cos\phi\;
\dot{\phi}-mgl\sin\phi$$
Ezzel a mozgásegyenlet:
$$ml^2\ddot{\phi}-m\omega^2 l A\cos\omega
t \sin\phi=-mgl\sin\phi$$
vagy
$$\ddot{\phi}=-\frac{g}{l}\left(1-\frac{A\omega^2}{g}\cos\omega
t\right)\sin\phi$$
Szimmetriák és megmaradási tételek
- Ha a Lagrange-függvény nem függ valamelyik $q_i$ általánosított
koordinátától, akkor a hozzá konjugált $p_i$ kanonikus impulzus időben
állandó (mozgásállandó, megmaradó mennyiség):
$$\dot{p_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$$
- Az impulzusmegmaradás a térbeli eltolási invariancia következménye:
ha a Lagrange-függvény térbeli eltoláskor nem változik, akkor derékszögű
koordinátákban
$${\bf \nabla} L=0\;,$$
amiből
$$m{\bf v}={\rm állandó}$$
következik.
- Az energiamegmaradás az időbeli eltolási invariancia következménye:
A Lagrange-függvény nem függ expliciten az időtől (csak közvetve, az
általánosított koordinátákon és sebességeken keresztül):
$$\frac{\partial L}{\partial t}=0$$
Emiatt
$$\frac{dL}{dt}=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial q}+\ddot{q}\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}$$
A jobboldal első tagját az Euler-Lagrange-egyenlet felhasználásával
átalakítjuk:
$$\frac{dL}{dt}=\dot{q}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\ddot{q}\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}\equiv \frac{d}{dt}\left(\dot{q}\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}\right)$$
Nullára redukálva:
$$\frac{d}{dt}\left(\dot{q}\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}-L\right)=0$$
Az
$$E=\dot{q}\frac{\partial
L}{\partial \dot{q}}-L$$
energia tehát megmaradó mennyiség.
- Az impulzusmomentum-megmaradás a térbeli elforgatási invariancia következménye:
ha a Lagrange-függvény térbeli elforgatáskor (valamilyen tengely
körül) nem változik, az azt jelenti, hogy a helyvektor
$$\delta{\bf r}=\delta{\bf \varphi}\times {\bf r}$$
és a sebességvektor
$$\delta{\bf v}=\delta{\bf \varphi}\times {\bf v}$$
megváltozásakor állandó marad:
$$\delta{\bf r}\frac{\partial L}{\partial {\bf r}}+\delta{\bf v}\frac{\partial
L}{\partial {\bf v}}=0$$
Ebből a mozgásegyenlet felhasználásával:
$$\delta{\bf r}\cdot \dot{\bf p}+\delta{\bf v}\cdot {\bf p}=0$$
vagyis
$$\left(\delta{\bf \varphi}\times {\bf r}\right)\dot{\bf p}+\left(\delta{\bf
\varphi}\times {\bf v}\right){\bf p}=\delta{\bf \varphi}\left({\bf
r}\times\dot{\bf p}+{\bf v}\times{\bf p}\right)=\frac{d}{dt}\left[\delta{\bf
\varphi}\cdot \left({\bf r}\times{\bf p}\right)\right]=0$$
Tehát az
$${\bf N}={\bf r}\times{\bf p}$$
impulzusmomentumnak a forgástengelyre (ami $\delta{\bf
\varphi}$ irányú) eső vetülete megmarad.
Hamilton-függvény (energia), Hamilton-féle kanonikus
mozgásegyenletek
Feltéve, hogy a kanonikus impulzusok
$$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$$
definíciójából az általánosított sebességek a kanonikus impulzusokkal és az
általánosított koordinátákkal kifejezhetők,
bevezetjük a
$$H(p,q)=\sum_i p_i\dot{q}_i-L$$
Hamilton-függvényt, vagyis az energiát a kanonikus impulzusokkal és az
általánosított koordinátákkal kifejezve.
Ebből következik, hogy a koordináták és impulzusok kis megváltozásakor
$$\delta H=\sum_i \delta p_i\dot{q}_i+\sum_i p_i\delta\dot{q}_i-\sum_i\delta q_i
\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_i\delta \dot{q}_i
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$$
A második és a negyedik tag kiejtik egymást. A mozgásegyenlet felhasználásával
kapjuk, hogy
$$\delta H=\sum_i \delta p_i\dot{q}_i-\sum_i\delta q_i\dot{p}_i
$$
Ebből pedig leolvasható, hogy
$\begin{eqnarray}
\dot{q}_i&=&\frac{\partial H}{\partial p_i}\\
\dot{p}_i&=&-\frac{\partial H}{\partial q_i}
\end{eqnarray}$
Ezek a Hamilton-féle kanonikus
mozgásegyenletek.
Ha például
$$L=\frac{m}{2}v^2-V({\bf r})\;,$$
akkor
$${\bf p}=m{\bf v}$$
a kanonikus impulzus,
$$E={\bf p}{\bf v}-L=\frac{m}{2}v^2+V({\bf r})$$
az energia, így
$$H=\frac{p^2}{2m}+V({\bf r})$$
a Hamilton-függvény, és
$\begin{eqnarray}
\dot{{\bf r}}&=&\frac{\partial H}{\partial {\bf p}}=\frac{{\bf p}}{m}\\
\dot{{\bf p}}&=&-\frac{\partial H}{\partial {\bf r}}=-{\bf \nabla}V
\end{eqnarray}$
a Hamilton-féle kanonikus
mozgásegyenletek.
A hatás mint a koordináták és az idő
függvénye
A valódi mozgás pályája mentén (v.ö. az Euler-Lagrange-egyenlet levezetése)
$$\delta S=p(t_2)\delta q(t_2)-p(t_1)\delta
q(t_1)$$
Ebből leolvasható, hogy
$$\frac{\partial S}{\partial q_2}=p(t_2)$$
$$\frac{\partial S}{\partial q_1}=-p(t_1)$$
Ha ugyanazon pálya mentén kiszámítjuk a hatást $t_1$ és $t_2$ között ill.
$t_1+\delta t_1$ és $t_2+\delta t_2$ között, akkor a hatás megváltozása
$$\delta S=L(t_2)\delta t_2-L(t_1)\delta
t_1\;.$$
Az "ugyanazon pálya" azonban azt jelenti, hogy
$$q(t_2)=q_2\quad {\rm és}\quad q(t_1)=q_1\;,$$
így viszont
$$q(t_2+\delta t_2)=q_2+\dot{q}(t_2)\delta t_2\quad {\rm és}\quad q(t_1+\delta
t_1)=q_1+\dot{q}(t_1)\delta t_1$$
Tehát
$$\delta S=\frac{\partial S}{\partial t_2}\delta t_2+\frac{\partial
S}{\partial q_2}\dot{q}(t_2)\delta t_2+\frac{\partial S}{\partial
t_1}\delta t_1+\frac{\partial S}{\partial q_1}\dot{q}(t_1)\delta t_1\;.$$
Ezt az előbbi kifejezéssel összevetve
$$\frac{\partial S}{\partial t_2}=L(t_2)-p(t_2)\dot{q}(t_2)\equiv -H(t_2)$$
$$\frac{\partial S}{\partial t_1}=-L(t_1)+p(t_1)\dot{q}(t_1)\equiv H(t_1)$$
Hamilton-Jacobi-egyenlet
Az $S$ hatást a végpont koordinátái és időpontja függvényének tekintve
$$\frac{\partial S}{\partial t}=-H\left(q,\frac{\partial S}{\partial
q}\right)$$
írható. Speciálisan, ha a Lagrange-függvény expliciten nem függ az időtől és
ennek megfelelően az energia megmarad:
$$S=S_0(q,E)-E t$$
$$E=H\left(q,\frac{\partial S_0}{\partial
q}\right)$$
$$\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{\partial S_0}{\partial E}-t=0$$
Az utóbbi egyenlet annak a feltétele, hogy
$$\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)_t=\left(\frac{\partial
S_0}{\partial q}\right)_E$$
teljesüljön.
Példa: harmonikus oszcillátor.
$$L=\frac{m}{2}v^2-\frac{m\omega^2}{2}x^2$$
$$H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}x^2$$
Hamilton-Jacobi-egyenlet:
$$E=\frac{1}{2m}\left(\frac{d S_0}{d
x}\right)^2+\frac{m\omega^2}{2}x^2$$
Mivel az $S_0$ rövidített hatás rögzített energia mellett most csak egyetlen változótól függ, közönséges
differenciálegyenletet kaptunk. Ebből
$$\frac{d S_0}{d
x}=\pm \sqrt{2m\left(E-\frac{m\omega^2}{2}x^2\right)}$$
Megoldás:
$$S_0=\int \sqrt{2m \left(E-\frac{m\omega^2}{2}x^2\right) }
dx$$
Időfüggés:
$$t=\frac{\partial S_0}{\partial E}=\int \frac{m}{\sqrt{2m
\left(E-\frac{m\omega^2}{2}x^2\right) } }
dx=\frac{1}{\omega }\arcsin\left(
\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E} } x
\right)+const.$$
azaz
$$x=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2} }\sin\left(\omega t+\varphi_0\right)\;.$$
bene@arpad.elte.hu