Elméleti fizika I.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
7. hét keddi előadás
Mozgás gyorsan oszcilláló erőtérben
$$\ddot{\phi}=-\frac{g}{l}\left(1-\frac{A\omega^2}{g}\cos \omega
t\right)\sin \phi$$
Ha $\omega^2\gg g/l$, a $\phi$ szög egy lassú ($\approx \sqrt{g/l}$
körfrekvenciájú) $\Phi$ és egy gyors ($\approx \omega$
körfrekvenciájú)
$\varphi$ rész összegeként írható fel úgy, hogy $\varphi\ll \Phi$.
Ekkor
$$\ddot{\Phi}=\overline{-\frac{g}{l}\left(1-\frac{A\omega^2}{g}\cos \omega
t\right)(\sin \Phi\cos \varphi+\cos \Phi\sin \varphi)}\approx -\frac{g}{l}\sin \Phi+\frac{A\omega^2}{l}\cos \Phi\;\overline{\varphi\cos \omega
t}$$
ahol a felülvonás a gyors mozgás $2\pi/\omega$ periódusidejére vett
időátlag.
A gyors mozgásra:
$$\ddot{\varphi}\approx -\frac{g}{l}\cos\Phi \;\varphi +\frac{A\omega^2}{l}\sin \Phi\;\cos \omega
t$$
Ez kényszerrezgés egyenlete (ha $2\pi\sqrt{l/g}$-hez képest rövid időtartamokra
$\Phi$ állandónak tekintjük), megoldása:
$$\varphi=\frac{\frac{A\omega^2}{l}\sin \Phi}{-\omega^2+\frac{g}{l}\cos\Phi }\cos \omega
t\approx -\frac{A}{l}\sin \Phi\;\cos \omega
t$$
Ezzel
$$\overline{\varphi\cos \omega
t}= -\frac{A}{2l}\sin \Phi$$
Végül:
$$\ddot{\Phi}\approx \left(-\frac{g}{l}-\frac{A^2\omega^2}{2l^2}\cos \Phi\right)\sin
\Phi$$
Ha $\Phi\approx \pi$, akkor
$\begin{eqnarray}
\sin\Phi&=&\sin(\pi-\Phi)\approx \pi-\Phi\\
\cos\Phi&\approx&-1\\
\frac{d^2}{dt^2}(\Phi-\pi)&\approx& \left(-\frac{g}{l}+\frac{A^2\omega^2}{2l^2}\right)(\pi-\Phi)=-\frac{g}{l}\left(\frac{A^2\omega^2}{2gl}-1\right)(\Phi-\pi)
\end{eqnarray}$
Ha $A^2\omega^2>2gl$, akkor ez harmonikus rezgőmozgás egyenlete, tehát a
felső holtpont stabil.
A felfüggesztési pont megfelelő frekvenciájú és
amplitudójú periodikus mozgatásakor az inga felső holtpontja stabil
Az
egyensúlyozás más elven alapul
Mozgás gyorsuló koordináta-rendszerekben
Inerciarendszerben ($K_0$):
- Lagrange-függvény:
$$L_0=\frac{mv_0^2}{2}-U({\bf r}_0)$$
- Mozgásegyenlet:
$$m\frac{d{\bf v}_0}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial {\bf r}_0}$$
A $K_0$-hoz képest ${\bf V}(t)$ sebességgel mozgó $K'$ rendszerben:
- Lagrange-függvény:
$\begin{eqnarray}
{\bf v}_0&=&{\bf v}'+{\bf V}(t)\\
L'&=&\frac{mv'^2}{2}+m{\bf v}'{\bf V}+\frac{mV^2}{2}-U({\bf r})
\end{eqnarray}$
Mivel
$$m{\bf v}'{\bf V}=m{\bf V}\frac{d{\bf r}'}{dt}=\frac{dm{\bf V}{\bf r}'}{dt}-m{\bf r}'\frac{d{\bf V}}{dt}\;,$$
elhagyva a teljes időderiváltakat:
$$L'=\frac{mv'^2}{2}-m\frac{d{\bf V}}{dt}{\bf r}'-U$$
- Mozgásegyenlet:
$$m\frac{d{\bf v}'}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial {\bf r}'}-m\frac{d{\bf
V}}{dt}$$
Inerciarendszerek ekvivalenciája: ha $d{\bf
V}/dt=0$, akkor $K'$ is inerciarendszer, és ilyenkor a $K_0$-beli és a
$K'$-beli mozgásegyenletek azonos alakúak.
A $K'$-höz képest ${\bf \omega}(t)$ szögsebességgel forgó $K$ rendszerben:
- Lagrange-függvény:
$\begin{eqnarray}
{\bf v}'&=&{\bf v}+{\bf \omega}\times{\bf r}\\
L&=&\frac{mv^2}{2}+m{\bf v}({\bf \omega}\times{\bf r}) +\frac{m}{2}({\bf \omega}\times{\bf r})^2-m\frac{d{\bf V}}{dt}{\bf r}-U({\bf r})
\end{eqnarray}$
- Mozgásegyenlet:
$\begin{eqnarray}
\frac{\partial L}{\partial {\bf v}}&=& m{\bf v}+m({\bf \omega}\times{\bf r})\\
\frac{\partial L}{\partial {\bf r}}&=& m{\bf v}\times {\bf \omega}+ m({\bf
\omega}\times{\bf r})\times {\bf \omega}-m\frac{d{\bf V}}{dt}-\frac{\partial U}{\partial {\bf r}}
\end{eqnarray}$
$$m\frac{d{\bf v}}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial {\bf r}}\underbrace{-m\frac{d{\bf
V}}{dt}+m{\bf r}\times \dot{{\bf \omega}}+2m{\bf v}\times {\bf \omega}+m{\bf
\omega}\times ({\bf r}\times {\bf \omega})}_{\rm tehetetlenségi\; erők}$$
$2m{\bf v}\times {\bf \omega}\quad$: Coriolis-erő
$m{\bf
\omega}\times ({\bf r}\times {\bf \omega})=m\left(\omega^2{\bf r}-({\bf
\omega}\cdot {\bf r}){\bf \omega}\right)\quad$: centrifugális erő
A Föld mint forgó koordinátarendszer
$$m\frac{d{\bf v}}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial {\bf r}}+2m{\bf v}\times {\bf \omega}+m{\bf
\omega}\times ({\bf r}\times {\bf \omega})$$
A Föld nyugatról kelet felé forog, így az ${\bf \omega}$ szögsebességvektor a
Déli-sarktól az Északi-sark felé mutat. Nagysága $\omega=2\pi/(1 {\rm
nap})=7,2722\times 10^{-5} \;s^{-1}$.
A Föld sugara $R=40000 km/(2\pi)= 6366 km\approx 6,4\times
10^6 m\quad $ (pontosabb érték: átlagos sugár: $6372,797\; km$,
egyenlítői sugár: $6378,137\; km$,
poláris sugár: $6356,752\; km$).
A nehézségi gyorsulás függése a földrajzi
szélességtől
Legyen $$g_0=G\frac{M}{R^2}\;.$$
Ez - gömb alakú Földet feltételezve - a Föld középpontja felé mutat.
A centrifugális gyorsulás $ \alpha$ szélességi fokon
$$a_c=R\cos\alpha\;\omega^2\;,$$
iránya a Föld tengelyére merőleges.
A két tag eredőjének nagysága a koszinusztételből
$$g=\sqrt{g_0^2+a_c^2-2g_0a_c\cos\alpha}\approx
g_0-a_c\cos\alpha=G\frac{M}{R^2}-R\omega^2\cos^2\alpha=(9,809-0,034\cos^2\alpha)\;\frac{m}{s^2}=9,775(1+0,0035\sin^2\alpha)\;\frac{m}{s^2}$$
Pontosabb formula:
$$g=9,780 318 \left( 1+0,0053024\sin^2 \alpha-0,0000058\sin^2 2\alpha
\right) - 3,086 \times 10^{-6}h\;,$$
itt $h$ a tengerszint feletti magasság méterben. Ez utóbbi a
$$G\frac{M}{(R+h)^2}\approx G\frac{M}{R^2}-2G\frac{M}{R^3}h\approx 9,809-3,078\times
10^{-6}h$$
sorfejtésből kapható. A szögfüggésben tapasztalható eltérést a Föld alakjának
gömbtől való eltérése magyarázza.
A Coriolis-erő hatásai
Gömbi polárkoordinátákban ($\vartheta=\pi/2-\alpha$) írjuk fel a
$2m{\bf v}\times {\bf \omega}\quad$ Coriolis-erőt:
Legyen
$${\bf v}=v_\vartheta{\bf e}_\vartheta+v_\varphi{\bf e}_\varphi\;.$$
A szögsebesség vektora Descartes-koordinátákban, ha a $z$ tengely a
Déli-sarktól az Északi-sark felé mutat,
$${\vec \omega}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\\omega\end{array}\right)\;,$$
polárkoordinátákban
$${\vec \omega}=\omega\cos\vartheta{\bf e}_r-\omega\sin\vartheta{\bf
e}_\vartheta \;.$$
Ezzel a Coriolis-erő
$${\bf F}_C=2m\omega\sin\vartheta v_\varphi {\bf e}_r +2m\omega\cos\vartheta v_\varphi{\bf
e}_\vartheta -2m\omega\cos\vartheta v_\vartheta {\bf
e}_\varphi$$
A Coriolis-erő vízszintes komponensei:
$$2m\omega\sin\alpha\left(- v_\varphi{\bf
e}_\alpha + v_\alpha {\bf
e}_\varphi\right)$$
Ez az északi féltekén ($\alpha>0$) jobbra, a déli féltekén ($\alpha <0$)
balra
térít
ki
a
sebesség
irányához
képest.
Itt $${\bf
e}_\alpha=-{\bf
e}_\vartheta$$
délről észak felé mutat. Ennek megfelelően $$v_\alpha=-v_\vartheta$$
a sebesség északi irányú komponense.
Szabadesés a forgó Földön
Az $x$ tengely mutasson kelet felé, az $y$ tengely észak felé, a $z$ tengely
pedig függőlegesen felfelé.
Ezúttal
$${\vec \omega}=\omega\sin\alpha\;{\bf e}_z+\omega\cos\alpha\;{\bf
e}_y$$
és
$${\bf v}=\dot{x}\; {\bf e}_x+\dot{y}\; {\bf e}_y+\dot{z}\; {\bf e}_z\;,$$
így a Coriolis-erő:
$${\bf F}_C=2m\omega(\sin\alpha\; \dot{y}-\cos\alpha\; \dot{z})
{\bf e}_x-2m\omega\sin\alpha\; \dot{x} {\bf e}_y+2m\omega\cos\alpha \;\dot{x} {\bf e}_z\;.$$
A nehézségi gyorsulás helyfüggését elhanyagolva
a mozgásegyenletek:
$\begin{eqnarray}
\ddot{x}&=&2\omega\sin\alpha \;\dot{y}-2\omega\cos\alpha \;\dot{z}\\
\ddot{y}&=&-2\omega\sin\alpha \;\dot{x}\\
\ddot{z}&=&-g+2\omega\cos\alpha \;\dot{x}
\end{eqnarray}$
Kezdetben legyen $$x=y=z=0$$
és
$$\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0\;.$$
Megoldás $\omega$ szerinti sorfejtéssel:
$\begin{eqnarray}
{x}&=&\frac{1}{3}\omega\cos\alpha \;gt^3\\
{y}&=&-\frac{1}{6}\omega^2\sin\alpha\cos\alpha \;gt^4\\
{z}&=&-\frac{g}{2}t^2+\frac{1}{6}\omega^2\cos^2\alpha \;gt^4
\end{eqnarray}$
A Foucault-inga
Mozgásegyenletek (hosszú inga, kis kitérés):
$\begin{eqnarray}
\ddot{x}&=&-\frac{g}{l}x+2\omega\sin\alpha \;\dot{y}\\
\ddot{y}&=&-\frac{g}{l}y-2\omega\sin\alpha \;\dot{x}
\end{eqnarray}$
Legyen
$$x=r\cos\zeta\quad{\rm és}\quad y=r\sin\zeta\;.$$
Mivel $r$ gyorsan változik, $\zeta$ pedig lassan, a fenti egyenletekből
közelítőleg
$\begin{eqnarray}
\ddot{r}&=&-\frac{g}{l}r\\
\dot{\zeta}&=&-\omega\sin\alpha
\end{eqnarray}$
adódik. A lengés síkja tehát $\omega\sin\alpha$ szögsebességgel fordul el. Az
elfordulás iránya az északi féltekén az óramutató járásával megegyezik, a déli
féltekén azzal ellentétes.
bene@arpad.elte.hu